Ganzrationale Funktionen

Präsentation zum Thema: "Ganzrationale Funktionen"—  Präsentation transkript:

1 Ganzrationale Funktionen
Nullstellen Faktorisieren Substitution Polynomdivision

2 Nullstellen Die Schnittpunkte einer Funktion mit der x-Achse nennt man Nullstellen der Funktion. Für Schnittpunkte mit der x-Achse gilt: f(x)=0

3 Nullstellen 1. Beispiel

4 Anzahl der Nullstellen Beispiele
Funktion 3. Grades mit 3 Nullstellen Funktion 3. Grades mit 2 Nullstellen

5 Anzahl der Nullstellen Beispiele
Funktion 4. Grades mit 4 Nullstellen Funktion 4. Grades mit 2 Nullstellen

6 Anzahl der Nullstellen Regeln
Der Grad einer ganzrationalen Funktion gibt an, wie viele Nullstellen die Funktion höchstens haben kann. Ist der Grad der Funktion ungerade, gibt es mindestens eine Nullstelle.

7 Anzahl der Nullstellen Besonderheiten
Funktion 4. Grades ohne Nullstellen Funktion 3. Grades mit einer Nullstelle

8 Besondere Nullstellen
Berührpunkt Schnittpunkt

9 Berechnung der Nullstellen Beispiele
Quadratische Funktionen Sonderfälle Rein-quadratische Funktionen

10 Berechnung der Nullstellen Beispiele
Quadratische Funktionen Sonderfälle Faktorisieren Ein Produkt ist Null, wenn ein Faktor Null ist!

11 Berechnung der Nullstellen Beispiele
Quadratische Funktion [ Quadratische Ergänzung ] alternativ: pq-Formel

12 Berechnung der Nullstellen Beispiele
Funktion 3. Grades Faktorisieren

13 Berechnung der Nullstellen Beispiele
Funktion 3. Grades Faktorisieren N1 ist eine sog. doppelte Nullstelle. Doppelte Nullstellen sind Berührpunkte.

14 Berechnung der Nullstellen Beispiele Berührpunkt

15 Berechnung der Nullstellen Beispiele
Funktion 3. Grades ? Verbraucherfreundliche Variante

16 Linearfaktorzerlegung
Besitzt eine ganzrationale Funktion z.B. 3. Grades drei Nullstellen bei x1, x2 und x3, so kann man den Funktionsterm wie folgt in Linearfaktoren zerlegen: f (x) = a ( x - x1 )( x - x2 )( x - x3 ) Beispiel: f(x) ist 0, wenn einer der Faktoren 0 ist !

17 Linearfaktorzerlegung
Hieraus entsteht die Möglichkeit der Polynomdivision: Beispiel: Was bringt uns das ?

18 Polynomdivision Ist eine Nullstelle einer ganzrationalen Funktion bekannt, lassen sich weitere Nullstellen durch Polynomdivision berechnen! Beispiel:

19 Polynomdivision Um die Polynomdivision durchzuführen, muss eine Nullstelle bekannt sein. Die Nullstelle ist in der Aufgabe gegeben oder muss durch Ausprobieren gefunden werden. Die Polynomdivision lässt sich entsprechend auch bei Funktionen höheren Grades anwenden.

20 Nullstellen von Funktionen 4. Grades
Sonderfall Substitution Beispiel:

21 Verfahren zur Berechnung von Nullstellen bei ganzrationalen Funktionen
Übersicht Quadratische Funktionen: nach x² auflösen ( rein-quadratisch ) Faktorisieren ( kein absoluter Summand vorhanden ) Quadratische Ergänzung pq-Formel Funktionen 3. Grades: Faktorisieren ( kein absoluter Summand vorhanden ) Polynomdivision Funktionen höheren Grades: Faktorisieren ( kein absoluter Summand vorhanden ) Sonderfall Substitution Polynomdivision

22 Kleiner Quiz Lösungsverfahren: Faktorisieren

23 Kleiner Quiz Lösungsverfahren: Substitution

24 Kleiner Quiz Lösungsverfahren: Polynomdivision

25 Kleiner Quiz Lösungsverfahren: Faktorisieren pq-Formel

26 Kleiner Quiz Lösungsverfahren: Faktorisieren Polynomdivision

27 Und jetzt seid ihr dran!