Gedämpfte Schwingungen

Präsentation zum Thema: "Gedämpfte Schwingungen"—  Präsentation transkript:

1 Gedämpfte Schwingungen
i. A. sind Schwingungen gedämpft, d. h. ihre Amplitude nimmt über die Zeit ab. Dies wird durch Reibungskräfte bewirkt. Bew.Gl.: Die Reibungskraft FR ist oft eine Funktion der Geschwindigkeit. z. B viskose Reibung (z.B. Stokes): Neue Bew.gl.: Ansatz: Gaub WS 2014/15

2 1) Starke Dämpfung (Wurzel reell)
c1 und c2 aus Randbedg. wenn x(0)=0 und v(0)=v0 2) Schwache Dämpfung (Wurzel imaginär) Im Re IxI Lösungen haben die Form Damit x reell ist, muß Frequenz wird durch Reibung reduziert! Gaub

3 Amplitude fällt exponentiell ab.
nach ist die Amplitude auf abgefallen ; Gaub WS 2014/15

4 { 3) Aperiodischer Grenzfall (Wurzel =0)
Ansatz liefert nur eine Lösung Es muß noch eine weitere Lösung geben! Neuer Ansatz: Im aperiod. Grenzfall relaxiert das System schnellstmöglich ohne überzuschwingen. => Optimale Dämpfung für Messinstrumente. { c1 und c2 aus Randbedg.

5 über Gaub WS 2014/15

6 Erzwungene Schwingungen
m Erzwungene Schwingungen Von außen angelegte Kraft F0 und x0 komplex! Gaub WS 2014/15

7 Amplitude Phasenverschiebung Gaub WS 2014/15

8 In der Resonanz liegt die Phase des Erregers um p/2 vor dem Oszillator
z. B. Anregung mit cos (w0t) -> Resonanz cos(w0t-p/2)=sin(w0t) - Für w->0 gleichphasig, für w->∞ gegenphasig Versuche Pohl‘sches Rad und Glas Film Tacoma Bridge

9 Näherung für schwache Dämpfung g<<w
In der Nähe der Resonanz Maximum: Halbwertsbreite: „Güte“ des Oszillators: Gaub WS 2014/15

10 Energie im Harmonischen Oszillator
Ungedämpfter harm. Oszillator: kinetische Energie: Potentielle Energie: Mittelwerte über eine Periode Gaub WS 2014/15

11 dissipierte Leistung:
Energieübertragung bei erzwungener Schwingung im gedämpften harm. Oszillator: Im eingeschwungenen Zustand ändert sich die Amplitude der Schwingung mit der Zeit nicht mehr. Alle Energie, die dem System von außen zugeführt wird, muß vollständig in Reibungswärme umgewandelt werden. dissipierte Leistung: Pro Zyklus aufgenommene Arbeit: Die Erklärung im Demtröder ist falsch für die erzwungene Schwingung. Auf der linken Seite der DGL steht nicht mehr die Ableitung von Eges, da die Voraussetzung wäre, daß das System mit w0 schwingt aber das System kann mit beliebigem w getrieben werden. Mittlere Leistung: Maximal für weil A dann maximal Gaub WS 2014/15

12 Parametrischer Oszillator (Kinderschaukel):
Fadenpendel : w0 = (g/L)1/2 Periodisches verkürzen des Fadens: Mathieu-Gleichung optimaler Antrieb bei Die Erklärung im Demtröder ist falsch für die erzwungene Schwingung. Auf der linken Seite der DGL steht nicht mehr die Ableitung von Eges, da die Voraussetzung wäre, daß das System mit w0 schwingt aber das System kann mit beliebigem w getrieben werden. Ansatz: mit: und Winkelfunktionsmassage (siehe Demtröder) Exponentielles aufschaukeln für

13 Detaillierte Stabilitätsanalyse siehe §12
wo2 Gaub WS 2014/15

14 Gekoppelte Oszillatoren
A) Gekoppelte Federn, eine Masse m D1 D2 m D1 D2 Gaub WS 2014/15

15 B) Gekoppelte Federn, mehrere Massen
x2 x1 Kopplung der DGL Vereinfachung: Versuche Gekoppelte Pendel und Metronome Normalkoordinaten Eigenschwingungen, „Normalmoden“ „Schwebungen“

16 B) Gekoppelte Federn, mehrere Massen

17 B) Gekoppelte Pendel unter externer Anregung
Gaub

18 C) Gekoppelte Federn, mehrere Massen
Gaub WS 2014/15