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Herleitung der Formel zur Berechnung von Winkeln zwischen 2 Vektoren
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Gegeben sind 2 Vektoren, gesucht ist der Winkel zwischen beiden
Gegeben sind die Vektoren 𝑎 𝑢𝑛𝑑 𝑏 . Wie berechnet man den Winkel α zwischen den beiden Vektoren? 𝑏 − 𝑎
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Anwendung des Cosinussatzes
Nun wendet man den Kosinussatz an: a² = b² + c² – 2∙ b ∙ c ∙ cos(α) Hier: a = 𝑏 − 𝑎 b = 𝑎 c = 𝑏 Also gilt: 𝑏 − 𝑎 2 = 𝑎 𝑏 2 – 2 ∙ 𝑎 ∙ 𝑏 ∙ cos(α)
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Ausrechnen des terms 𝑏 − 𝑎 2 = 𝑎 2 + 𝑏 2 – 2 ∙ 𝑎 ∙ 𝑏 ∙ cos(α)
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cos(α) = −2∙ 𝑎 1 ∙ 𝑏 1 −2∙ 𝑎 2 ∙ 𝑏 2 −2∙ 𝑎 3 ∙ 𝑏 3 – 2 ∙ 𝑎 ∙ 𝑏
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ZusammenfASSUNG cos(α) = ( 𝑎 1 ∙ 𝑏 1 + 𝑎 2 ∙ 𝑏 2 + 𝑎 3 ∙ 𝑏 3 ) 𝑎 ∙ 𝑏
Wenn zwei Vektoren 𝑎 𝑢𝑛𝑑 𝑏 gegeben sind, so berechnet man den Winkel zwischen ihnen mit: cos(α) = 𝑎 ∙ 𝑏 𝑎 ∙ 𝑏
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