Differentialgleichungen oder wie beschreibt man Veränderung

Präsentation zum Thema: "Differentialgleichungen oder wie beschreibt man Veränderung"—  Präsentation transkript:

1 Differentialgleichungen oder wie beschreibt man Veränderung
ETHZ Studienwoche 2016 Differentialgleichungen oder wie beschreibt man Veränderung

2 Übersicht Ableitung Analytisch Numerische Ableitung Integral
Numerische Integration Differentiagleichungen Numerische Verfahren

3 Computer-Experimente
Übersicht Ableitung Analytisch Numerische Ableitung Integral Numerische Integration Differentiagleichungen Numerische Verfahren Computer-Experimente mit PYTHON

4 Die Ableitung Wie bestimmt man die Geschwindigkeit eines Gegenstands?
Messungen: A B C Zeit t [s] 1.0 2.0 3.7 Hoehe h [m] 19.10 28.38 21.65

5 Die Ableitung Wie bestimmt man die Geschwindigkeit eines Gegenstands?
Variation der Position Mittlere Geschwindigkeit = A Variation der Zeit Messungen: A B C Zeit t [s] 1.0 2.0 3.7 Hoehe h [m] 19.10 28.38 21.65

6 Die Ableitung Wie bestimmt man die Geschwindigkeit eines Gegenstands?
Variation der Position Mittlere Geschwindigkeit = A Variation der Zeit Messungen: A B C Zeit t [s] 1.0 2.0 3.7 Hoehe h [m] 19.10 28.38 21.65 Mittlere Geschw. 9.28 m/s -3.96 m/s

7 Die Ableitung Wie bestimmt man die Geschwindigkeit eines Gegenstands?
Graphische Interpretation: B B C C Variation der Position Mittlere Geschwindigkeit A = A Variation der Zeit Messungen: A B C Zeit t [s] 1.0 2.0 3.7 Hoehe h [m] 19.10 28.38 21.65 Hoehe als Funktion der Zeit Mittlere Geschw. 9.28 m/s -3.96 m/s

8 Die Ableitung Wie bestimmt man die Geschwindigkeit eines Gegenstands?
Graphische Interpretation: B B C C Variation der Hoehe Variation der Position Mittlere Geschwindigkeit A = A Variation der Zeit Variation der Zeit Messungen: A B C Zeit t [s] 1.0 2.0 3.7 Hoehe h [m] 19.10 28.38 21.65 Hoehe als Funktion der Zeit Mittlere Geschw. 9.28 m/s -3.96 m/s

9 Die Ableitung Wie bestimmt man die Geschwindigkeit eines Gegenstands?
Graphische Interpretation: B B C C Variation der Position Mittlere Geschwindigkeit A = A Variation der Zeit Messungen: A B C Zeit t [s] 1.0 2.0 3.7 Hoehe h [m] 19.10 28.38 21.65 Hoehe als Funktion der Zeit Mittlere Geschw. 9.28 m/s -3.96 m/s

10 Die Ableitung Wie bestimmt man die Geschwindigkeit eines Gegenstands?
Instantane Geschwindigkeit??? B C Variation der Position Mittlere Geschwindigkeit = A Variation der Zeit A B C Zeit t [s] 1.0 2.0 3.7 Hoehe h [m] 19.10 28.38 21.65 Mittlere Geschw. 9.28 m/s -3.96 m/s

11 Die Ableitung Wie bestimmt man die Geschwindigkeit eines Gegenstands? A1 Instantane Geschwindigkeit??? B A C Variation der Position Instantane Geschw. = A “Sehr kleine” Variation der Zeit ZOOM! ... A A1 A2 Zeit t [s] 1.0 1.1 1.05 Hoehe h [m] 19.1 20.46 19.79 Geschw. 13.70 m/s 13.94 m/s

12 Die Ableitung Wie bestimmt man die Geschwindigkeit eines Gegenstands? A1 Instantane Geschwindigkeit??? B A C Instantane Geschw. = A ZOOM! ... A A1 A2 Zeit t [s] 1.0 1.1 1.05 Hoehe h [m] 19.1 20.46 19.79 Geschw. 13.60 m/s

13 Die Ableitung Wie bestimmt man die Geschwindigkeit eines Gegenstands? A1 Instantane Geschwindigkeit??? B A C Instantane Geschw. = A ZOOM! ... A A1 A2 Zeit t [s] 1.0 1.1 1.05 Hoehe h [m] 19.1 20.46 19.79 Geschw. 13.80 m/s

14 Die Ableitung Wie bestimmt man die Geschwindigkeit eines Gegenstands? A1 Instantane Geschwindigkeit??? B A C Instantane Geschw. = A ZOOM! ... A A1 A2 Zeit t [s] 1.0 1.1 1.05 Hoehe h [m] 19.1 20.46 19.79 Geschw. 13.80 m/s

15 Die Ableitung Wie bestimmt man die Geschwindigkeit eines Gegenstands? A1 Instantane Geschwindigkeit??? B !!! Endliche Genauigkeit des Rechners !!! A C Instantane Geschw. = A ZOOM! ... A A1 A2 Zeit t [s] 1.0 1.1 1.05 Hoehe h [m] 19.1 20.46 19.79 Geschw. 13.80 m/s

16 Das Integral Wie bestimmt man die Position eines Gegenstands wenn man seine Geschwindigkeit kennt? B C Distanz = Geschwindigkeit x Zeit A A B C Zeit t [s] 1.0 2.0 3.7 Geschw. v [m/s] 14.19 4.38 -12.30

17 Das Integral Wie bestimmt man die Position eines Gegenstands wenn man sein Geschwindigkeit kennt? A B C B Distanz = Geschwindigkeit x Zeit A C A B C Zeit t [s] 0.5 1.0 1.7 Geschw. v [m/s] 14.19 4.38 -9.35

18 Das Integral Wie bestimmt man die Position eines Gegenstands wenn man sein Geschwindigkeit kennt? A B C B Distanz = Geschwindigkeit x Zeit A C A B C Zeit t [s] 0.5 1.0 1.7 Geschw. v [m/s] 14.19 4.38 -9.35

19 Das Integral Wie bestimmt man die Position eines Gegenstands wenn man sein Geschwindigkeit kennt? A B C B Distanz = Geschwindigkeit x Zeit A C A B C Zeit t [s] 0.5 1.0 1.7 Geschw. v [m/s] 14.19 4.38 -9.35

20 Das Integral Wie bestimmt man die Position eines Gegenstands wenn man sein Geschwindigkeit kennt? A B C B Distanz = Geschwindigkeit x Zeit A C A B C Zeit t [s] 0.5 1.0 1.7 Geschw. v [m/s] 14.19 4.38 -9.35

21 Das Integral Allgemein: ?

22 Das Integral Allgemein: ?

23 Das Integral Allgemein: Untersumme ~ Minimum

24 Das Integral Allgemein: Obersumme ~ Maximum

25 Das Integral Allgemein:

26 Das Integral Allgemein:

27 Das Integral Allgemein:

28 Das Integral Allgemein:

29 Das Integral Allgemein:

30 Zusammenhang Stammfunktion
Fundamentalsatz der Differential- und Integralrechnung

31 Numerische Behandlung
Gegeben: Berechne eine Approximation der Ableitung mit sog. vorwaerts finiten Differenzen in PYTHON

32 Numerische Behandlung
Gegeben: Berechne eine Approximation des Integrals mit der sog. Trapezregel in PYTHON

33 Differentialgleichungen
DGL erster Ordnung DGL zweiter Ordnung DGL n-ter Ordnung

34 Differentialgleichungen
Beispiele Zweites newtonsches Gesetz (1D) Radioaktiver Zerfall Masse Oft: Kraft Beschleunigung Anzahl Atomkerne Zerfallskonstante

35 Projekt 1 Wurf mit Luftwiderstand Gewichtskraft Widerstandskraft

36 Projekt 1 Wurf mit Luftwiderstand Gewichtskraft Widerstandskraft

37 Projekt 1 Wurf mit Luftwiderstand

38 Projekt 1+ Wurf mit Luftwiderstand Gewichtskraft Widerstandskraft

39 Projekt 1+ Wurf mit Luftwiderstand Gewichtskraft Widerstandskraft

40 Projekt 1+ Wurf mit Luftwiderstand

41 Projekt 1++ Wurf mit Luftwiderstand: Bestimme Anfangsgeschwindigkeit so dass das Projektil das Auto trifft! Tipp: Verwende Bisektion! Gewichtskraft Widerstandskraft Wasserballon!!!