Kapitel 2: Analoge, periodische Signale

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1 Kapitel 2: Analoge, periodische Signale
SiSy, Rumc, 2-1 Analoges Signal Funktion mit kontinuierlichem Definitions- und Wertebereich meist Amplitude (U, I) in Funktion der Zeit oft auch Darstellung im Frequenzbereich s(t) t Deterministische Signale gehorchen einer Gesetzmässigkeit (z.B. mathematischer Formel) tragen keine Information (wichtige Test-, Hilfs- und Trägersignale) => Periodische Signale => Transiente oder nicht-periodische Signale Stochastische Signale (Zufallssignale) Beschreibung mit statistischen Grössen (z.B. Amplitudenverteilung) tragen Information oder stellen Rauschen, Störungen dar

2 Linearer Mittelwert s(t) = s(t-kT) für k=0, ±1, ±2, ...
SiSy, Rumc, 2-2 s(t) 1 s(t) = s(t-kT) für k=0, ±1, ±2, ... Grundfrequenz f0 = 1/T [Hz] T/m T t IA0I -1 Periode T Linearer Mittelwert (t0 beliebig) Beispiel: A0 = 2/m – 1 (z.B. m=2 => A0 = 0, m=4 => A0 = -0.5) Mittelwertfreies Signal s(t) - A0 (z.B. durch AC-Kopplung beim KO) Mittelwertbildung als TP-Funktion: s(t) A0 Approximation (T=N·Δt)

3 Leistung Normierte Momentan-Leistung
SiSy, Rumc, 2-3 Normierte Momentan-Leistung p(t) = u(t) · i(t) @ R = 1 Ohm => p(t) = s2(t) Mittlere normierte Leistung 1 Ohm) Periodische Signale haben endliche Leistung (Leistungssignale)! Beispiel Rechtecksignal oben: P = 1 für alle m Effektivwert bzw. rms-Wert (Root Mean Square) Srms = √PT Beispiel: s(t) = Spsin(2πf0t) => PT = Sp2/2 = Seff2 = (Srms)2 => Sp=√2·Srms

4 Winkelfunktionen SiSy, Rumc, 2-4 Die bekanntesten periodischen Signale sind die Winkelfunktionen. s(t) = Sp·sin(2πf0t) oder s(t) = Sp·cos(2πf0t) = Sp·sin(2πf0t+π/2) φ Sp (π/2) (3π/2) (φ) t T/2 T -Sp ejφ = cos(φ) + j·sin(φ) Euler-Formeln: j cos(φ) = ( ejφ + e-jφ ) / 2 j·sin(φ) φ 1 sin(φ) = ( ejφ - e-jφ ) / 2j cos(φ)

5 Herleitung Eulerformeln
SiSy, Rumc, 2-5 komplexe Zahl z und konjugiert komplexe Zahl z* z = a + j∙b z* = a - j∙b Real- und Imaginär-Teil von z a = (z + z*) / 2 b = (z - z*) / 2j Euler-Formel ejφ = cos(φ) + j·sin(φ) z = ejφ j j·sin(φ) a = (ejφ + e-jφ) / 2 = cos(φ) φ 1 b = (ejφ - e-jφ) / 2j = sin(φ) cos(φ)

6 Fourierreihe SiSy, Rumc, 2-6 Fourier ( ): Jede periodische Funktion s(t) kann durch eine Summe harmonischer Schwingungen dargestellt werden: „gerade“ „ungerade“ wobei linearer Mittelwert, „DC-Anteil“ k≥1 Cosinus-Amplitudenspektrum Linienspektrum k≥1 Sinus-Amplitudenspektrum Beispiel: periodisches, symmetrisches Rechtecksignal (m=2)

7 Gütekriterium für die Approximation
SiSy, Rumc, 2-7 Jede cos- oder sin-Schwingung in der Fourierreihe approximiert das periodische Signal s(t) im Sinne der kleinsten Fehlerquadrate. Beispiel: s(t) soll mit A1·cos(2π·f0·t) approximiert werden, wobei f0 = 1/T Frage: Welches A1 minimiert die Summe der Fehlerquadrate? Lösung: dΔ / dA1 = 0 => optimaler Koeffizient A1 ist aber identisch mit dem entsprechenden Fourierkoeffizienten Die einzelne Koeffizienten Ak und Bk dürfen unabhängig voneinander optimiert werden, weil die harmonischen Schwingungen orthogonal sind. Fehler r(t)

8 Gibb‘sches Phänomen SiSy, Rumc, 2-8 Approximation symmetrisches, periodisches Rechtecksignal Gibb’sches Phänomen (Überschwingen bei Nachbildung der Flanke) verschwindet selbst für K   nicht.

9 Fourierreihe (Betrag / Phase)
SiSy, Rumc, 2-9 Betrag-/Phasen-Darstellung Zusammenhang mit Cosinus- und Sinus-Koeffizienten Mk Bk φk Ak M·cos(2πkf0t+φ) = M·cos(φ)·cos(2πkf0t) + M·sin(φ)·sin(2πkf0t) Beispiel: symmetrisches, periodisches Rechtecksignal M1 Mk = Bk = (4/π)/k M3 φ1 φ3 φ5 φk = atan(Bk/0) = π/2 M5 f f f0 3f0 5f0 f0 3f0

10 Fourierreihe (komplex)
SiSy, Rumc, 2-10 1 komplexer statt 2 reelle Koeffizienten pro Harmonische Ausgangspunkt: einzelne Fourierkomponente Umformung mit Euler-Formel Zusammenfassung ej… und e-j… Terme ck c-k

11 Fourierreihe (komplex)
SiSy, Rumc, 2-11 Zweiseitige Betrag-/Phasen-Darstellung Zusammenhang mit anderen Fourier-Koeffizienten für k≥1 Beispiel: zweiseitiges Linienspektrum s(t) ck 1 t f T T f0 3f0 2

12 Leistung Satz von Parseval
SiSy, Rumc, 2-12 Satz von Parseval Harmonische sind orthogonal => Addition der mittleren Leistungen DC- Leistung AC- Leistungen Klirrfaktor Mass für Abweichung von einem reinen Sinus-Signal Mass für Verzerrung bei Verarbeitung oder analoger Übertragung Klirrfaktor-Messgerät: Effektiv-Voltmeter mit tunable Notch-Filter

13 Numerische Approximation
SiSy, Rumc, 2-13 Approximation mit N Abtastwerten einer Periode (T=N·Δt, t0=0) DFT k=0, 1, …, N-1 Approximation ck ≈ S[k] / N für k=0, 1, …, N/2 Beispiel N=1024; % Stützwerte pro Periode s=[ones(1,N/2) (-1)*ones(1,N/2)]; S=fft(s); % DFT c=S/N; % Achtung c0=c(1), c1=c(2) stem([0:19], abs(c(1:20))); grid; % Beträge erste 20 ck-Werte P=sum(abs(c).^2) % Leistung (Parseval) N Stützwerte 1 T=N·Δt Δt -1