(4) Die Schwerkraft (c) M. Perscheid EF Geophysik 30.

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1 (4) Die Schwerkraft (c) M. Perscheid EF Geophysik 30

2 Schwerkraft (1) Die Gravitationskraft
Gravitation ist die gegenseitige Anziehungskraft zwischen Körpern aufgrund ihrer Masse. Die Kraft, die ein Körper auf den anderen ausübt, wird durch das Newtonsche Gravitationsgesetz (1666) beschrieben Dabei ist r der Abstand zwischen den Schwerpunkten von zwei Körpern mit den Massen m1 und m2. Die Massen der beiden Körper gehen völlig symmetrisch in das Gravitationsgesetz ein. Bei einem großen Unterschied der beiden Massen kann man sich aber auch auf den Standpunkt stellen, dass ein Massenpunkt die Quelle eines Kraftfeldes ist, in dem sich der andere Massenpunkt bewegt. Die Masse der Erde wird dabei häufig mit M bezeichnet, die „Probemasse“ mit m. Ein fallender Körper zieht die Erde genau mit der gleichen Kraft an wie diese ihn, aufgrund der wesentlich größeren Masse der Erde ist die Beschleunigung, die die Erde erfährt, natürlich wesentlich geringer. Das Gravitationsgesetz gilt strenggenommen nur für Punktmassen, (zum Glück) aber auch für alle Körper, bei denen die Dichte nur vom Abstand vom Schwerpunkt abhängt (Kugelsymmetrie). Mit einem relativen Fehler von etwa 1‰ ist die Gravitationskonstante G damit die am ungenauesten bekannte Naturkonstante. Wesentlich genauer kennt man das Produkt aus Gravitationskonstante und Masse der Erde auch geozentrische Gravitationskonstante genannt: EF Geophysik 31

3 Schwerkraft (2) Das Gravitationsfeld
Auf der vorigen Folie haben wir vorerst einmal nur den Betrag der Gravitationskraft berücksichtigt. Das Gravitationsfeld ist kugelsymmetrisch und hängt damit nur vom Abstand vom Schwerpunkt ab. Die Kraft ist eine Zentralkraft und weist immer zum Schwerpunkt. Wenn wir nun auch die Richtung berücksichtigen, erhalten wir: Dabei gibt (r/r) als Einheitsvektor die Richtung des Ortsvektors an. Die Kraft weist aber in die entgegengesetzte Richtung, daher das Minus. Wegen der Proportionalität zwischen schwerer und träger Masse ist eine Zerlegung in eine Eigenschaft des Feldes und eine Eigenschaft des Probekörpers möglich. Der Ausdruck ist dabei eine reine Eigenschaft des Feldes, man nennt diese Größe die Feldstärke g´ des Gravitationsfeldes. Die Feldstärke ist dabei definiert als die Kraft auf eine Probemasse (m), bzw. als die Beschleunigung, die die Probemasse erfährt. Oft wird zwischen Gravitationsfeld und Schwerefeld nicht sauber unterschieden. Da wir g später für die Schwere-beschleunigung brauchen werden, steht g´ hier für die Gravitationsbeschleunigung. Die Beschleunigung, die von einem komplex aufgebauten Körper verursacht wird, kann man bestimmen, indem man die Beschleunigungen, die von den einzelnen Massen-punkten (aus denen der Körper aufgebaut ist) verursacht werden, vektoriell addiert. Wesentlich einfacher ist es aber, die Beschleunigung aus einem Potential abzuleiten. EF Geophysik 32

4 Schwerkraft (3) Das Gravitationspotential
Das Gravitationsfeld hängt nur vom Ort ab, es ist wirbelfrei und damit konservativ. Die Energie, die benötigt wird, um ein Teilchen vom Punkt A zum Punkt B zu bringen, ist unabhängig vom gewählten Weg. In diesem Fall haben wir es mit einer Potentialkraft zu tun, sie kann als Ableitung einer skalaren Funktion, dem Potential, geschrieben werden. Das erleichtert unser Problem enorm. Da die Gradientenbildung ein linearer Operator ist (Nabla-Operator ), können die Potentiale einzelner Punktmassen addiert werden. Die Gesamtkraft ist dann einfach der Gradient des Gesamtpotentials. Der Gradient eines Skalarfeldes weist immer in die Richtung der stärksten Änderung, und steht damit jeweils normal auf die Äquipotentialflächen (Flächen konstanten Potentials, VG = const). Der Nabla-Operator, angewandt auf ein Skalarfeld, liefert den Gradienten dieses Feldes. Dabei weist der Gradient in die Richtung des stärksten Anstieges. Die potentielle Energie im Gravitationsfeld nimmt mit wachsendem Abstand zu, die Gravitationskraft weist also genau in die entgegengesetzte Richtung wie der Gradient, daher das Minus. Alle Punkte, die auf einer Äquipotentialfläche (oder Niveau-fläche) liegen, haben die gleiche potentielle Energie. Für alle Bewegungen auf einer Niveau-fläche ist daher keine Arbeit nötig. Bei Punktmassen oder sphärisch geschichteten Körpern sind alle Niveauflächen konzentrische Kugelflächen. EF Geophysik 33

5 Schwerkraft (4) Der Nabla-Operator
Der Nabla-Operator ist ein Vektor, der als Komponenten die partiellen Ableitungen nach den einzelnen Koordinaten des Koordinatensystems enthält. Wenn man den Nabla-Operator auf einen Skalar anwendet, so ist das Ergebnis ein Vektor. In kartesischen Koordinaten und in Kugelkoordinaten sieht der Nabla-Operator folgendermaßen aus: Beim Gravitationsfeld bietet sich wegen der herrschenden Kugelsymmetrie natürlich die Beschreibung in Kugelkoordinaten an. Da das Potential nur von r abhängt, sind die partiellen Ableitungen nach  und  jeweils = 0. Der Gradient hat also nur eine Radialkomponente. Im Gegensatz zu den geographischen Koordinaten wird bei den Kugelkoordinaten die Poldistanz  von der Symmetrieachse weg gezählt. Das Gravitationspotential Um die Sache jetzt allerdings noch etwas zu komplizieren, verwendet man gerne eine analoge Formulierung für die Beschleunigung, also die Kraft pro Probemasse (und sagt Gravitationspotential dazu). Hier ist also Raum für „potentielle“ Verwirrung. Diese Formulierung hat den Vorteil, dass sie von der Probemasse unabhängig ist. EF Geophysik 34

6 Schwerkraft (5) Fz   Die Zentrifugalkraft
Infolge der Erdrotation der Erde wirkt auf jeden Punkt auf der Erde (außer an den Polen) die Zentrifugalkraft oder Fliehkraft (im Bezugssystem des bewegten Beobachters, siehe Farbfolie 54). Da an jedem Massenpunkt sowohl die Gravitationskraft als auch die Zentrifugalkraft angreifen, kann man die beiden nicht unterscheiden. Die Vektorsumme beider Kräfte wird Schwerkraft genannt. Die Zentrifugalkraft ist senkrecht von der Rotationsachse weg gerichtet, sie hängt neben der Winkelgeschwindigkeit der Rotation () vom Abstand zur Drehachse () ab. Die Winkelgeschwindigkeit der Erdrotation ist natürlich 360° oder 2 pro Tag. Hier ist allerdings zu beachten, dass als „ein Tag“ nicht ein Sonnentag ( s), sondern ein Sterntag zu verwenden ist ( s). Die Zentrifugalkraft ist gleich Die Winkelgeschwindigkeit der Erde: Die Zentrifugalkraft wächst also linear mit zunehmendem . Eine genauere Angabe von  ist nicht sinnvoll, da die Rotationsgeschwindigkeit der Erde im Jahresverlauf durch Massenverlagerungen in der Atmosphäre schwankt (Änderung des Trägheitsmomentes). Dadurch variiert die wahre Tageslänge während eines Jahres um etwa eine halbe Millisekunde. Die Erde „als Uhr“ geht um maximal 20 Millisekunden vor oder nach. r  Fz  EF Geophysik 35

7 Schwerkraft (6) Das Zentrifugalpotential
Auch die Zentrifugalkraft kann man durch Gradientenbildung aus einem Potential ableiten. Für die Zentrifugalbeschleunigung erhält man dann: Das Zentrifugalpotential ist zylindersymmetrisch. Das Schwerepotential Das Schwerepotential der Erde setzt sich aus dem Gravitationspotential und dem Zentrifugalpotential zusammen. Das Schwerepotential einer homogenen, rotierenden Kugel ist dann: EF Geophysik 36

8 Schwerkraft (7) Die Schwerebeschleunigung
Die Komponenten der Schwerebeschleunigung erhält man durch Gradientenbildung. Zur Erinnerung an Galileo Galilei (1564 – 1642) nennt man in der Geophysik die cgs-Einheit der Schwerebeschleunigung: Bei der Radialkomponente überwiegt der erste Term bei weitem (Übungen), durch den zweiten Term kommt es nun aber zu einer (leichten) Abhängigkeit von der Poldistanz. Im Gegensatz zur Gravitationsbeschleunigung gibt es bei der Schwerebeschleunigung eine Tangentialkomponente. Sie ist immer zum Äquator hin gerichtet (Übungen) und hat im Lauf der Erdgeschichte zur Abplattung der Erde geführt. Der Vektor der Schwerebeschleunigung zeigt (außer an den Polen und am Äquator) nicht genau zum Erdmittelpunkt, er steht aber an jedem Punkt normal auf die örtliche Äquipotentialfläche des Schwerefeldes. Das Gravitationspotential eines abgeplatteten Ellipsoides ist aber nun leider nicht mehr so einfach zu beschreiben, wie das einer homogenen oder sphärisch geschichteten Kugel. EF Geophysik 37

9 Schwerkraft (8) Gravitationspotential eines Rotationsellipsoides
Das Gravitationspotential eines „auseinandergezogenen“ Ellipsoides könnte man sehr gut durch zwei Punktmassen auf der Rotationsachse darstellen. Für eine abgeplattetes Ellipsoid ist die beste Näherung eine Kugel + ein Torus in der Äquatorebene. Im Fall der Erde ist es ein Torus mit etwa 2 Promille der Erdmasse. Das an der Erdoberfläche oder von Satelliten aus tatsächlich gemessene Gravitations-potential der Erde lässt sich als Summe der Wirkung eines Gravitations-Monopols und weiterer Multipole (aufgrund von lokalen Dichte-Inhomogenitäten) mit Hilfe der Kugelfunktionen und ihrer Koeffizienten darstellen. Beim Gravitationspotential eines Rotationsellipsoides kommen wegen der Rotations-symmetrie nur gewöhnliche (zonale) Kugelfunktionen vor, wegen der Symmetrie zur Äquatorebene außerdem nur gerade Ordnungen. Die Äquipotentialfläche, die das Niveau-Ellipsoid beschreibt, ist gegeben durch Mittlere Dichte der Erde Aus der Umlaufperiode von Satelliten oder aus der Schwerebeschleunigung an der Erdoberfläche kann die geozentrische Gravitationskonstante und in weiterer Folge die Masse der Erde bestimmt werden, sie beträgt Mit dem mittleren Erdradius kommt man auf eine mittlere Dichte von 5.51 g/cm3. Nachdem typisches Oberflächengestein aber nur eine Dichte von 2.5 bis 3 g/cm3 hat, haben wir hier einen weiteren wichtigen Hinweis auf einen schweren Erdkern. EF Geophysik 38

10 Schwerkraft (9) Internationale Schwereformel
Das Schwerepotential ist zwar überall am Referenzellipsoid gleich groß, das bedeutet aber nicht, dass auch der Gradient des Potentials, und damit die Schwere-beschleunigung überall gleich groß ist. Die Abhängigkeit der Oberflächen-Schwerebeschleunigung von der geographischen Breite wird durch die internationale Schwereformel (mit meist ausreichender Genauigkeit) angegeben: In der Nähe der Erdoberfläche kann man die Abhängigkeit der Schwerebeschleunigung von der Höhe annähern durch: Den globalen Schwereänderungen sind kleinräumige Schwereanomalien überlagert, die auf Abweichungen von der gleichförmigen Massenverteilung in der Erdkruste zurückzuführen sind. Schwereanomalien äußern sich sowohl im Betrag als auch in der Richtung des Beschleunigungsvektors. Änderungen des Betrages werden mit Gravimetern (im Prinzip sehr empfindliche Federwaagen) gemessen. Richtungs-anomalien werden als Lotabweichung bezeichnet. Isostatische Kompensation Große Gebirge führen meist zu erstaunlich geringen Schwereanomalien, da sie tiefreichende „Gebirgswurzeln“ aus weniger dichtem Material als das umgebende Mantelmaterial haben (fast so wie Eisberge). Bei den Alpen reichen die Wurzeln z.B. bis in 50 – 60 km Tiefe. Wenn sich Gebirge im Schwimmgleichgewicht befinden (Isostasie), verursachen sie keine Schwereanomalie an der Oberfläche (Isostatische Kompensation). Damit haben wir wieder einen wichtigen Hinweis auf den Aufbau der Erde – offenbar ist ein Teil des Erdmantels verformbar. Größere Schwereanomalien weisen häufig auf dynamische Prozesse hin, z.B. Subduktion im Bereich von Tiefseegräben (siehe Plattentektonik). EF Geophysik 39

11 Schwerkraft (10) Isostasie
Es gab lange Zeit zwei konkurrierende Modelle zur isostatischen Kompensation. Im Modell nach J. H. Pratt ( ) beruht die unterschiedliche Höhe einzelner Gebirgsteile auf Dichteunterschieden im Material. Im Modell nach G. B. Airy (1801 – 1892) ist die Dichte einheitlich, höheres Herausragen wird durch tieferes Eintauchen kompensiert (wie bei Eisbergen). Die „Wahrheit“ liegt näher bei Airy – hohe Gebirge haben tatsächlich tiefe Wurzeln, daneben spielen aber auch Dichteunterschiede eine gewisse Rolle. EF Geophysik 40