Seminar Stringtheorie und Geometrische Methoden der Physik

Präsentation zum Thema: "Seminar Stringtheorie und Geometrische Methoden der Physik"—  Präsentation transkript:

1 Seminar Stringtheorie und Geometrische Methoden der Physik
Elliptische Funktionen Bayrischzell, –

2 Gliederung Einführung Elliptische Funktionen
Die Weierstrass‘sche Funktion

3 Ausgangspunkt: Elliptische Integrale
Elliptische Funktionen Die Weierstrass‘sche Funktion Einführung Ausgangspunkt: Elliptische Integrale Berechnung der Länge von Ellipsenbögen Spezielles elliptisches Integral (seit 1718, G.C. Fagnano): Abel: Umkehrfunktion f ist meromorph fortsetzbar in ganz mit C Offensichtlicher reeller Periode Verborgener komplexer Periode Doppelt periodisch!

4 Neuer Zugang zu elliptischen Integralen:
Elliptische Funktionen Die Weierstrass‘sche Funktion Einführung Neuer Zugang zu elliptischen Integralen: Deren Eigenschaften lassen sich einfach aus funktionentheoretischen Eigenschaften der elliptischen Funktionen ableiten Weierstrass (1862/1863): Vorlesung mit rein funktionentheoretischer Einführung in die Theorie der elliptischen Funktionen Ausgangspunkt: Funktion (spezielle elliptische Funktion) Genügt Differentialgleichung Jede elliptische Funktion darstellbar als rationale Funktion in und

5 Elliptische Funktionen

6 Elliptische Funktionen
Die Weierstrass‘sche Funktion Einführung Definition: Eine Teilmenge L с heißt Gitter, wenn es zwei R-linear unabhängige „Vektoren“ ω1 und ω2 in gibt, so dass gilt: C C Re Im ω1 ω2 ω1+ω2 -ω1 -ω2

7 Bezeichnung: doppelt periodisch
Elliptische Funktionen Die Weierstrass‘sche Funktion Einführung Definition: Eine elliptische Funktion zum Gitter L ist eine meromorphe Funktion mit der Eigenschaft Bezeichnung: doppelt periodisch Mengen der Null- und Polstellen sind selbst „periodisch“:

8 Geometrisches Modell:
Elliptische Funktionen Die Weierstrass‘sche Funktion Einführung Der Periodentorus Re Im ω1 ω2 ω1+ω2 Gesamte Information über eine elliptische Funktion ist in der „Grundmasche“ codiert Geometrisches Modell: ω1 ω2 ω1+ω2 a b a b a b

9 f hat in a einen Pol der Vielfachheit n
Elliptische Funktionen Die Weierstrass‘sche Funktion Einführung Definition: Die Ordnung einer elliptischen Funktion ist die Anzahl aller Pole auf dem Periodentorus, wobei jeder Pol so oft gezählt wird, wie seine Vielfachheit angibt Dabei: f hat in a einen Pol der Vielfachheit n Satz: Es gibt keine elliptische Funktion der Ordnung 1

10 Die Weierstrass‘sche -Funktion

11 Gesucht: Möglichst einfaches Beispiel einer elliptischen Funktion
Elliptische Funktionen Die Weierstrass‘sche Funktion Einführung Gesucht: Möglichst einfaches Beispiel einer elliptischen Funktion Ord(f) = 1 Ord(f)= 2 Zwei Pole 1.Ordnung Einen Pol 2. Ordnung Konstruiere elliptische Funktion zweiter Ordnung, die in 0 einen Pol zweiter Ordnung besitzt! Folgerung: Auch jeder andere Pol muss dann Gitterpunkt sein!

12 Problem: Keine absolute Konvergenz!
Elliptische Funktionen Die Weierstrass‘sche Funktion Einführung Denkbarer Ansatz: Problem: Keine absolute Konvergenz! Beweis: Für z=0, L=Z+Zi, gilt für ω=m+ni: 1. Hilfssatz: Die Reihe konvergiert dann und nur dann, wenn > 1 ist

13 2. Hilfssatz: Sei L с C ein Gitter. Die Reihe
Elliptische Funktionen Die Weierstrass‘sche Funktion Einführung 2. Hilfssatz: Sei L с C ein Gitter. Die Reihe konvergiert für s>2. Idee (Weierstrass): Einführung von konvergenzerzeugenden Summanden 3. Hilfssatz: Sei M с L\{0} eine Menge von Gitterpunkten. Die Reihe konvergiert in C\M normal und stellt dort eine analytische Funktion dar.

14 Definition (K.Weierstrass 1862/63): Die durch
Elliptische Funktionen Die Weierstrass‘sche Funktion Einführung Definition (K.Weierstrass 1862/63): Die durch definierte Funktion heißt Weierstrass‘sche -Funktion zum Gitter L Abbildung: Die Weierstrass‘sche -Funktion und ihre Ableitung

15 Satz: Eigenschaften der -Funktion zum Gitter L In ganz C meromorph
Elliptische Funktionen Die Weierstrass‘sche Funktion Einführung Satz: Eigenschaften der -Funktion zum Gitter L In ganz C meromorph Pole zweiter Ordnung in den Gitterpunkten Außerhalb von L analytisch Gerade, also Laurententwicklung um z0=0:

16 Satz: Charakterisierung der -Funktion
Elliptische Funktionen Die Weierstrass‘sche Funktion Einführung Satz: Charakterisierung der -Funktion Die Weierstraßsche -Funktion ist eine elliptische Funktion der Ordnung 2 Ihre Ableitung ist eine elliptische Funktion der Ordnung 3 Ungerade:

17 Satz: Nullstellen von :
Elliptische Funktionen Die Weierstrass‘sche Funktion Einführung Satz: Nullstellen von : Ein Punkt a Є C ist genau dann eine Nullstelle von , falls gilt: Es gibt genau drei einfache Nullstellen auf C/L Nullstellen von : Halbwerte der -Funktion:

18 Herleitung der Differentialgleichung für die -Funktion
Elliptische Funktionen Die Weierstrass‘sche Funktion Einführung Herleitung der Differentialgleichung für die -Funktion Aussage: Die Umkehrung der -Funktion ist ein elliptisches Integral  Theorie der elliptischen Integrale „mitgeliefert“ Erinnerung: Laurentreihe der -Funktion Bestimmung der Koeffizienten mit Hilfe der Taylorschen Formel:

19 Induktion nach n liefert für n>1:
Elliptische Funktionen Die Weierstrass‘sche Funktion Einführung Induktion nach n liefert für n>1: Und damit:

20 konvergiert absolut, und es gilt: Eisenstein-reihen
Elliptische Funktionen Die Weierstrass‘sche Funktion Einführung Satz: Die Reihe konvergiert absolut, und es gilt: Eisenstein-reihen

21 Zurück zur Differentialgleichung für die -Funktion
Elliptische Funktionen Die Weierstrass‘sche Funktion Einführung Zurück zur Differentialgleichung für die -Funktion Ziel: Stelle als Polynom in dar

22 Elliptische Funktion ohne Pole
Elliptische Funktionen Die Weierstrass‘sche Funktion Einführung Elliptische Funktion ohne Pole Elliptische Funktionen ohne Pole sind Konstanten, diese muss in diesem Fall -140G6 sein.

23 Theorem: Algebraische Differentialgleichung der -Funktion
Elliptische Funktionen Die Weierstrass‘sche Funktion Einführung Theorem: Algebraische Differentialgleichung der -Funktion

24 Vielen Dank für die Aufmerksamkeit!
Elliptische Funktionen Die Weierstrass‘sche Funktion Einführung Vielen Dank für die Aufmerksamkeit!