Kugelfunktionen Annette Eicker 27.03.2017.

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1 Kugelfunktionen Annette Eicker

2 Wiederholung: Gravitationspotential
Aufpunkt: Quellpunkt: Wir haben diese Integrale gelöst Kugel Hohlkugel Kugeloberfläche (für einfache Körper) Potential Feldstärke

3 Kugel mit homogener Dichteverteilung
z z z

4 Hohlkugel mit homogener Dichteverteilung
z z z

5 Potential im Außenraum
Gesamtmasse Potential im Außenraum Gesamtmasse Direktes Problem: Das Gravitationspotential ist durch eine gegebene Massenverteilung eindeutig bestimmt Inverses Problem: Aus einem Gravitationspotential lässt sich nicht eindeutig auf die Massenverteilung schließen.

6 Massenverteilung und Potential
Inverses Problem: Aus einem Gravitationspotential lässt sich nicht eindeutig auf die Massenverteilung schließen. Annahme: Massenveränderungen erfolgen nur auf der Erdoberfläche, Annahme einer dünnen Schicht In diesem Fall ist das inverse Problem eindeutig. Potential mit der Flächendichte Feldstärke

7 Kugeloberfläche mit konstanter Flächendichte
z z z

8 Divergenz und Laplaceoperator
Die Gravitationsfeldstärke lässt sich durch Gradientenbildung aus dem Potential bestimmen Divergenz der Gravitationsfeldstärke Laplaceoperator Mit Hilfe des Laplaceoperators lassen sich die Quellen des Gravitationsfeldes bestimmen

9 Laplace- und Poissongleichung
Für beliebige Massenanordnungen gilt: Außerhalb der Massen: Laplacegleichung Innerhalb der Massen: Poissongleichung Funktionen, die die Laplacegleichung erfüllen, nennt man harmonische Funktionen.

10 Gaußscher Integralsatz
Anwendung auf das Gravitationsfeld Gaußsche Formel Integration aller Quellen eines Volumens = Integraler Fluss durch die Oberfläche

11 Repräsentation des Gravitationspotentials
(Kugelfunktionen)

12 Bisher: Für einfache Körper lassen sich auch „einfache“ Formeln angeben.
Kugel Hohlkugel Kugeloberfläche Jetzt: Für die reale Erde lässt sich das Schwerefeld nicht so leicht beschreiben…

13 Gravitationspotential
product_type gravity_field modelname ITG-Grace03 comment static field from to of GRACE data earth_gravity_constant e+14 radius max_degree key L M C S sigma C sigma S end_of_head ========================================================================= gfc e e e e+00 gfc e e e e+00 gfc e e e e+00 gfc e e e e+00 gfc e e e e-13 gfc e e e e-13 gfc e e e e+00 gfc e e e e-13 gfc e e e e-13 gfc e e e e-13 gfc e e e e+00 gfc e e e e-13 gfc e e e e-13 gfc e e e e-13 gfc e e e e-13 gfc e e e e+00 gfc e e e e-13 ... Wie kann man das Gravitationsfeld der Erde abspeichern? - Benötigt wird das gesamte Feld im Außenraum (Werte auf der Erdoberfläche, Bahnberechung von Satelliten o. Mond)

14 Approximation Beispiel: Bestimmung der Temperaturabhängigkeit eines EDMs y Approximation durch ein Polynom Vorteile: - Es müssen nur wenige Polynomkoeffizienten abgespeichert werden. - Es kann auch zwischen den Messwerten Funktionswerte berechnet werden. x

15 Approximation Approximation des Potentials durch räumliche Polynome
Gruppierung in Polynome mit homogenem Grad n Homogenes Polynom vom Grad n Beispiel: Homogenes Polynom vom Grad 5

16 Homogene Polynome Homogenes Polynom vom Grad n Es gilt:
Es gibt linear unabhängige homogene Polynome von Grad n Beweis: Beispiel: n=2 Polynome:

17 Homogene harmonische Polynome
Das Gravitationspotential ist im Außenraum harmonisch => Die Approximation sollte auch harmonisch sein => Alle Basisfunktionen sollten harmonisch sein Approximation des Potentials durch Summe von homogenen harmonischen Polynomen Homogenes harmonisches Polynom vom Grad n dargestellt als Linearkombination von linear unabhängigen Basispolynomen Beispiel: Grad n=2 Wie viele Basisfunktionen gibt es?

18 Homogene harmonische Polynome
Satz: Der Laplace Operator angewendet auf ein homogenes Polynom hn liefert ein homogenes Polynom vom Grad n-2 Beweis Es gibt linear unabhängige homogene Polynome von Grad n Das Ergebnis der Laplace Operation ist durch linear unabhängige homogene Polynome von Grad n-2 eindeutig bestimmt. Es verbleiben linear unabhängige homogene harmonische Polynome. Es gibt 2n+1 linear unabhängige harmonische homogene Polynome Hnm von Grad n

19 Homogene harmonische Polynome
Das Gravitationspotential ist im Außenraum harmonisch => Die Approximation sollte auch harmonisch sein => Alle Basisfunktionen sollten harmonisch sein Approximation des Potentials durch Summe von homogenen harmonischen Polynomen Homogenes harmonisches Polynom vom Grad n dargestellt als Linearkombination von linear unabhängigen Basispolynomen Beispiel: Grad n=2 oder wenn man negative Indizies einführt: Grad n Ordnung m

20 Kugelflächenfunktionen
Sphärische Polarkoordinaten homogene harmonische Polynome Kugelflächenfunktion: homogenes harmonisches Polynom beschränkt auf die Kugeloberfläche Darstellung des Potentials Approximation von Funktionen auf der Kugel

21 Approximation durch Kugelflächenfunktionen

22 Approx. durch Kugelflächenfunktionen
Grad n Anzahl der Koeffizienten 4 25 8 81 16 289 30 961 60 3721 120 14641 240 58081

23 Approx. durch Kugelflächenfunktionen
Grad n Anzahl der Koeffizienten 4 25 8 81 16 289 30 961 60 3721 120 14641 240 58081

24 Approx. durch Kugelflächenfunktionen
Grad n Anzahl der Koeffizienten 4 25 8 81 16 289 30 961 60 3721 120 14641 240 58081

25 Approx. durch Kugelflächenfunktionen
Grad n Anzahl der Koeffizienten 4 25 8 81 16 289 30 961 60 3721 120 14641 240 58081

26 Approx. durch Kugelflächenfunktionen
Grad n Anzahl der Koeffizienten 4 25 8 81 16 289 30 961 60 3721 120 14641 240 58081

27 Approx. durch Kugelflächenfunktionen
Grad n Anzahl der Koeffizienten 4 25 8 81 16 289 30 961 60 3721 120 14641 240 58081

28 Approx. durch Kugelflächenfunktionen
Grad n Anzahl der Koeffizienten 4 25 8 81 16 289 30 961 60 3721 120 14641 240 58081

29 Kugelfunktionen Approximation des Potentials
Laplacesche Kugelflächenfunktionen Die Reihe konvergiert nur für r<1 Approximation des Potentials Diese Reihe ist ebenfalls harmonisch und konvergiert für r>1 Beweis: nächste Folien

30 Laplace und Beltrami Operator
Laplace Operator Laplace Operator in sphärischen Koordinaten Beltrami Operator (Laplace Operator beschränkt auf die Kugeloberfläche)

31 Kugelfunktionen Approximation des Potentials
Wir wissen, dass die Laplacegleichung hierfür gilt Die Reihe konvergiert nur für r<1 Ziel: zeigen, dass dann die Laplacegleichung auch dafür gilt! Approximation des Potentials Diese Reihe ist ebenfalls harmonisch und konvergiert für r>1 Beweis: nächste Folien

32 Laplace und Beltrami Operator
Laplace Operator

33 Kugelflächenfunktionen
Kugelfunktionen Approximation des Potentials für r<1 Laplacesche Kugelflächenfunktionen Kugelflächenfunktionen Approximation des Potentials für r>1

34 Herleitung der Kugelfunktionen über die Lösung der Laplacegleichung

35 Lösung der Laplace Gleichung
Gesucht sind alle Lösungen der Laplacegleichung Beltrami Operator Annahme: Lösung entspricht folgendem Separationsansatz In die Laplacegleichung eingesetzt:

36 Lösung der Laplace Gleichung
Die linke Seite hängt nur von r ab, die rechte nur von => Damit beide Seiten immer gleich sind, müssen beide Seiten konstant sein. => Wahl der Konstanten Linke Seite: Rechte Seite: DGL hat zwei linear unabhängige Lösungen

37 Lösung der Laplace Gleichung
Rechte Seite: Beltrami Operator Annahme: Lösung entspricht folgendem Separationsansatz eingesetzt:

38 Lösung der Laplace Gleichung
Die linke Seite hängt nur von ab, die rechte nur von => Damit beide Seiten immer gleich sind, müssen beide Seiten konstant sein. => Wahl der Konstanten Linke Seite: Rechte Seite: Lösung der DGL sind die sogenannten zugeordneten legendreschen Polynome DGL hat zwei linear unabhängige Lösungen

39 Lösung der Laplace Gleichung
Die linke Seite hängt nur von ab, die rechte nur von => Damit beide Seiten immer gleich sind, müssen beide Seiten konstant sein. => Wahl der Konstanten Linke Seite: Rechte Seite: Lösung der DGL sind die sogenannten zugeordneten legendreschen Polynome DGL hat zwei linear unabhängige Lösungen

40 Lösung der Laplace Gleichung
Gesucht sind alle Lösungen der Laplacegleichung Spezielle Lösung mit Die allgemeine Lösung ist eine Linearkombination aller Lösungen Vergleich: Fourier-Reihe Kugelfunktionsentwicklung kann man interpretieren als 2D Fourier-Reihe auf der Kugel