Normalverteilung bei stetigen Zufallsgrößen Magnus Frühling
Inhalt Gaußsche Normalverteilung Wahrscheinlichkeitsdichte Standardnormalverteilung Verallgemeinerung Zentraler Gernzwertsatz Beispiele Quellen
Gaußsche Normalverteilung Dichteverteilung bei stetigen (Zufalls-) Variablen µ = Erwartungswert („Mittelwert“ einer Zufallsvariablen) σ² = Varianz π=3,14... e=2,72… Symmetrisch (um µ)
Wahrscheinlichkeitsdichte Stetige Zufallsvariable -> ein bestimmter Wert hat keine zuordenbare Wahrscheinlichkeit bzw. Wahrscheinlichkeit Null P(X =ℝ) = 0 Nur Intervalle tragen Wahrscheinlichkeit -> Wahrscheinlichkeitsdichte
Standardnormalverteilung Bei Standardisierung wird die Normalverteilung in die Standardnormalverteilung N (0;1) gebracht Z-Transformation: 𝑧= ℝ−𝜇 𝜎 Dichtefunktion : 𝑃(𝑋 ≤ℝ)=Φ(𝑧)
Verallgemeinerung Ca. 68 % der Werte liegen in einem Bereich von +/- 1 σ um den Mittelwert. Gut 95 % der Werte liegen in einem Bereich von +/- 2 σ um den Mittelwert. 99,7 % der Werte liegen in einem Bereich von +/- 3 σ um den Mittelwert.
Zentraler Gernzwertsatz Mit steigender Stichprobengröße und identischer Wahrscheinlichkeitsverteilung nähert sich die Verteilungen der Standardnormalverteilung an. Stichprobengröße n ≥ 30
Beispiel Schraube NIE alle gleich groß „Atomgröße“
Beispiele Massen von Körpern Körperlängen Abstand von Treppenstufen Korngrößen Teilchengeschwindigkeiten bei konstanter Temperatur und Druck Fehlerverteilung
Quellen www.uni-siegen.de/phil/sozialwissenschaften/soziologie/mitarbeiter/ ludwig-mayerhofer/ statistik/statistik_downloads/statistik_ii_3b.pdf Mathematik 3.1 Cornelsen Verlag 2011 S.118ff
Bildquellen http://www.rahmen-manufaktur.de/images/product_images/ original_images/1048_0.jpg www.uni-siegen.de/phil/sozialwissenschaften/soziologie/mitarbeiter/ludwig-mayerhofer/statistik/statistik_downloads/statistik_ii_3b.pdf