Normalverteilung bei stetigen Zufallsgrößen

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 Präsentation transkript:

Normalverteilung bei stetigen Zufallsgrößen Magnus Frühling

Inhalt Gaußsche Normalverteilung Wahrscheinlichkeitsdichte Standardnormalverteilung Verallgemeinerung Zentraler Gernzwertsatz Beispiele Quellen

Gaußsche Normalverteilung Dichteverteilung bei stetigen (Zufalls-) Variablen µ = Erwartungswert („Mittelwert“ einer Zufallsvariablen) σ² = Varianz π=3,14... e=2,72… Symmetrisch (um µ)

Wahrscheinlichkeitsdichte Stetige Zufallsvariable -> ein bestimmter Wert hat keine zuordenbare Wahrscheinlichkeit bzw. Wahrscheinlichkeit Null P(X =ℝ) = 0 Nur Intervalle tragen Wahrscheinlichkeit -> Wahrscheinlichkeitsdichte

Standardnormalverteilung Bei Standardisierung wird die Normalverteilung in die Standardnormalverteilung N (0;1) gebracht Z-Transformation: 𝑧= ℝ−𝜇 𝜎 Dichtefunktion : 𝑃(𝑋 ≤ℝ)=Φ(𝑧)

Verallgemeinerung Ca. 68 % der Werte liegen in einem Bereich von +/- 1 σ um den Mittelwert. Gut 95 % der Werte liegen in einem Bereich von +/- 2 σ um den Mittelwert. 99,7 % der Werte liegen in einem Bereich von +/- 3 σ um den Mittelwert.

Zentraler Gernzwertsatz Mit steigender Stichprobengröße und identischer Wahrscheinlichkeitsverteilung nähert sich die Verteilungen der Standardnormalverteilung an. Stichprobengröße n ≥ 30

Beispiel Schraube NIE alle gleich groß „Atomgröße“

Beispiele Massen von Körpern Körperlängen Abstand von Treppenstufen Korngrößen Teilchengeschwindigkeiten bei konstanter Temperatur und Druck Fehlerverteilung

Quellen www.uni-siegen.de/phil/sozialwissenschaften/soziologie/mitarbeiter/ ludwig-mayerhofer/ statistik/statistik_downloads/statistik_ii_3b.pdf Mathematik 3.1 Cornelsen Verlag 2011 S.118ff

Bildquellen http://www.rahmen-manufaktur.de/images/product_images/ original_images/1048_0.jpg www.uni-siegen.de/phil/sozialwissenschaften/soziologie/mitarbeiter/ludwig-mayerhofer/statistik/statistik_downloads/statistik_ii_3b.pdf