Vorlesung: Biometrie für Studierende der Veterinärmedizin 19.1.2006 Spezielle Tests Test auf einen Anteilswert (Binomialtest) Vergleich zweier Anteilswerte Test auf einen Mittelwert (Ein-Stichproben Gauss bzw. t-Test) Vergleich zweier Mittelwerte (t-Test) Vorlesung: Biometrie für Studierende der Veterinärmedizin 19.1.2006

Test auf einen Anteilswert (Binomialtest) Beispiel: Untersucht werden soll ein Präparat zur Rückbildung von Tumoren Dabei: Weiterentwicklung des Präparats bei Rückbildung in mindestens 40% der Fälle H0:  ≤ 40% H1:  > 40% : Anteil der Fälle, in denen sich der Tumor zurückbildet „Erfolgswahrscheinlichkeit“ Vorlesung: Biometrie für Studierende der Veterinärmedizin 19.1.2006

Vorlesung: Biometrie für Studierende der Veterinärmedizin 19.1.2006 Exakter Binomialtest Y: Anzahl der Erfolge Lehne H0 zugunsten von H1 ab, falls Y > c Berechnung des kritischen Wertes Hier:  = 0.05, H0:  ≤ 40% vs. H1:  > 40% n = 10: c = 7 n = 20: c = 12 n = 100: c = 48 Vorlesung: Biometrie für Studierende der Veterinärmedizin 19.1.2006

Berechnung des Fehlers 2. Art Signifikanzniveau:  = 0.05,  = P(H0 wird beibehalten | H1) : wahre Erfolgswahrscheinlichkeit 1- : Teststärke (Power) n = 10:  = 0.45  = 0.97  = 0.6  = 0.83  = 0.8  = 0.32 n = 20:  = 0.45  = 0.94  = 0.6  = 0.58  = 0.8  = 0.03 n = 100:  = 0.45  = 0.75  = 0.6  = 0.01  = 0.8  = 0.000 Vorlesung: Biometrie für Studierende der Veterinärmedizin 19.1.2006

Vorlesung: Biometrie für Studierende der Veterinärmedizin 19.1.2006 Beachte: Wahrscheinlichkeit für Fehler 2. Art abhängig von wahrer Erfolgswahrscheinlichkeit, d.h. der Abweichung von H0 Stichprobenumfang Für große N: Approximation der Binomialverteilung durch die Normalverteilung  approximativer Binomialtest Vorlesung: Biometrie für Studierende der Veterinärmedizin 19.1.2006

Vergleich zweier Anteilswerte Beispiel: Verglichen werden soll ein neues Präparat zur Rückbildung von Tumoren mit einem Standardpräparat. 1: Erfolgswahrscheinlichkeit Standardpräparat 2: Erfolgswahrscheinlichkeit neues Präparat Zweiseitiger Test: H0: 2 = 1 vs. H1: 2 ≠ 1 Randomisierte Studie mit je n = 30 für Standardpräparat und m=30 für neues Präparat. Vorlesung: Biometrie für Studierende der Veterinärmedizin 19.1.2006

Vorlesung: Biometrie für Studierende der Veterinärmedizin 19.1.2006 Ergebnis wird in Form einer Vierfeldertafel dargestellt: Erfolgsanteile: Erfolg kein Erfolg Summe Standardpräparat 10 20 30 neues Präparat 15 25 35 60 Vorlesung: Biometrie für Studierende der Veterinärmedizin 19.1.2006

Vorlesung: Biometrie für Studierende der Veterinärmedizin 19.1.2006 Es gibt 2 Möglichkeiten zur Berechnung der Testgröße: 1. Verwendung des approximativen Binomialtests. Testgröße Z ist approximativ N(0,1)-verteilt: Vorlesung: Biometrie für Studierende der Veterinärmedizin 19.1.2006

Vorlesung: Biometrie für Studierende der Veterinärmedizin 19.1.2006 Im Beispiel: Z = 1.31 Kritischer Wert (zweiseitig) für α=0.05 ist 1.96. Also |Z| < 1.96. Damit kann H0 nicht abgelehnt werden! 2. Möglichkeit (äquivalent zu Möglichkeit 1). H0 ist äquivalent zur Hypothese, dass die Merkmale Erfolg und Präparat unabhängig sind! Berechne Pearsons Chi-Quadrat (siehe Vorlesung vom 8.12.2005!) und führe einen Chi-Quadrat-Test durch. Im Beispiel: Vorlesung: Biometrie für Studierende der Veterinärmedizin 19.1.2006

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Vorlesung: Biometrie für Studierende der Veterinärmedizin 19.1.2006 Es gilt: Deshalb sind beide Möglichkeiten äquivalent. Bemerkungen: 1. Bei kleinen Stichprobenumfängen sollte der exakte Test nach Fisher verwendet werden. 2. Der obige Test lässt sich auf einseitige Fragestellungen übertragen, z.B. H0: 1 ≥ 2 vs. H1: 1 < 2 Vorlesung: Biometrie für Studierende der Veterinärmedizin 19.1.2006

Test auf einen bestimmten Mittelwert Beispiel: Ist Mittelwert eines Laborparameters in behandelter Population größer als Standardwert 0 = 15.5? Gauss-Test: Hypothesen: H0:  ≤ 0 vs. H1:  > 0 Annahme: Laborparameter normalverteilt mit Standardabweichung  = 2.0 (bekannt) Daten: y1, …, yn mit Mittelwert Testvorschrift: Lehne H0 ab, falls ≥ c c = 0 + z1- x für  = 0.05 bzw. 1.64 Vorlesung: Biometrie für Studierende der Veterinärmedizin 19.1.2006

Vorlesung: Biometrie für Studierende der Veterinärmedizin 19.1.2006 In der Praxis ist die Annahme bekannter Streuung häufig unrealistisch  Schätzung der Streuung aus den Daten t-Test (Ein-Stichproben-Fall) Hypothesen: H0:  ≤ 0 vs. H1:  > 0 Annahme: Laborparameter normalverteilt Daten: y1, …, yn mit Lehne H0 ab, falls T > t1-(n-1) t1-(n-1): (1-)-Quantil der t-Verteilung mit n-1 Freiheitsgraden Vorlesung: Biometrie für Studierende der Veterinärmedizin 19.1.2006

Vorlesung: Biometrie für Studierende der Veterinärmedizin 19.1.2006 Daten aus dem Beispiel: t-Test:  = 0.05 t0.95(10) = 1.81 3.29 > 1.81  H0 wird abgelehnt p-Wert: 0.019 Gauss-Test: Annahme  = 5 = 21.39 > 17.97  H0 wird abgelehnt Vorlesung: Biometrie für Studierende der Veterinärmedizin 19.1.2006

Vorlesung: Biometrie für Studierende der Veterinärmedizin 19.1.2006 Bemerkungen: Häufig wird die zweiseitige Fragestellung verwendet. Testvorschrift (Gauss-Test) Lehne H0 ab, falls Bei größeren Stichprobenumfängen (n  30) sind t-Test und Gauss-Test praktisch identisch. Bei größeren Stichprobenumfängen (n  30) ist die Normalverteilungsannahme nicht erforderlich. Das Auftreten von Ausreißern kann zu falschen Testentscheidungen führen. Vorlesung: Biometrie für Studierende der Veterinärmedizin 19.1.2006

Vergleich zweier Mittelwerte Beispiel: Vergleich zweier Futtermittel Zielgröße: Gewichtszunahme 2 unabhängige Stichproben (jeweils n = 6) Futtermittel A: 22, 21, 18, 16, 22, 17 Futtermittel B: 20, 22, 17, 13, 17, 18 1: Mittelwert der Gewichtszunahme durch Futtermittel 1 2: Mittelwert der Gewichtszunahme durch Futtermittel 2 Fragestellung: Gibt es Unterschiede zwischen den Futtermitteln? Vorlesung: Biometrie für Studierende der Veterinärmedizin 19.1.2006

Zwei-Stichproben t-Test Annahme: Unabhängige normalverteilte Stichproben mit gleicher Varianz Hypothesen: Teststatistik: Lehne H0 ab, falls Vorlesung: Biometrie für Studierende der Veterinärmedizin 19.1.2006

Vorlesung: Biometrie für Studierende der Veterinärmedizin 19.1.2006 Im Beispiel: t = 0.9064 Kritischer Wert: 2.28 0.9064 < 2.28  H0 wird nicht abgelehnt p-Wert: 0.3865 Vorlesung: Biometrie für Studierende der Veterinärmedizin 19.1.2006

Zusammenfassung I (was Sie können müssen) Beide Möglichkeiten für Tests zum Vergleich zweier Anteilswerte (zweiseitige Fragestellung) Ein-Stichproben Gauss-Test und Ein-Stichproben t-Test (ein –und zweiseitige Fragestellung) Zwei-Stichproben t-Test (zweiseitige Fragestellung) Die kritischen Werte werden Ihnen vorgegeben Vorlesung: Biometrie für Studierende der Veterinärmedizin 19.1.2006

Bestimmung der erforderlichen Tierzahl Allgemeines Vorgehen Exakter Binomialtest t-Test Fisher-Test zum Vergleich zweier Anteile Vorlesung: Biometrie für Studierende der Veterinärmedizin 19.1.2006

Festlegung der wissenschaftlichen Fragestellung Typ der Studie: Orientierungsstudie Vergleichsstudie Äquivalenzstudie Festlegung der Hauptzielgrößen Nebenzielgrößen Vorlesung: Biometrie für Studierende der Veterinärmedizin 19.1.2006

Festlegung der statistischen Auswertungsstrategie Häufig: Bestimmung des Stichprobenumfangs durch primäre Fragestellung Dazu sind folgende Angaben notwendig: Art des statistischen Tests -Fehler (meist 1% oder 5%) -Fehler (meist 0.2) Größe des nachzuweisenden Effekts Vorlesung: Biometrie für Studierende der Veterinärmedizin 19.1.2006

Vorlesung: Biometrie für Studierende der Veterinärmedizin 19.1.2006 Beispiel: Präparat zur Rückbildung von Tumoren Vergleichsstudie (mit Standardwert  = 40%) Hauptzielgröße: Anteil der rückgebildeten Tumoren Testverfahren: Exakter Binomialtest H0:  = 40% vs. H1:  > 40% Biol. rel. Unterschied: d = 20%Punkte Signifikanzniveau:  = 0.05 Fehler 2. Art:   0.20 Wahl des Stichprobenumfangs N: N = 20,  = 60%,  = 0.58 zu klein N = 100,  = 60%,  = 0.01 zu groß Wähle kleinstes N, dass   0.20 erfüllt N = 42,  = 60%,  = 0.197 Vorlesung: Biometrie für Studierende der Veterinärmedizin 19.1.2006

Bestimmung des Stichprobenumfangs beim t-Test Vergleich zweier Futtermittel (Daten aus Beispiel werden als Vorstudie verwendet) Typus: Vergleichsstudie Zielgröße: Gewichtszunahme Biol. rel. Unterschied: d = 2 Signifikanzniveau:  = 0.05 Fehler 2. Art:  = 0.2 Test: Annahme Streuung aus Vorstudie:  = 3 Relevante Größe: Aus Tabelle (Bock, 1998): N = 74 Gruppengröße: n1 = n2 = 37 Vorlesung: Biometrie für Studierende der Veterinärmedizin 19.1.2006

Nötige Angaben zur Fallzahlberechnung Signifikanzniveau  Fehler 2. Art  biologisch relevante Differenz d Annahme zur Streuung  Einige Werte für Stichprobenumfang N unter  = 0.05,  = 0.2 (zweiseitige Fragestellung Zwei-Stichproben t-Test) d/ n1 = n2 3.08 3 2.0 5 1.13 10 1 17 0.66 37 0.58 50 Vorlesung: Biometrie für Studierende der Veterinärmedizin 19.1.2006

Bestimmung der Stichprobenumfangs Vergleich zweier Wahrscheinlichkeiten Vergleich zweier Behandlungen Typus: Vergleichsstudie Zielgröße: Behandlungserfolg (Ja/Nein) Biol. rel. Untersch.: 10%  80% 40%  60% Signifikanzniveau:  = 0.05 Fehler 2. Art:  = 0.2 Test: Aus Tabelle (Bock, 1998) Umfang pro Gruppe n 10%  80% n = 8 40%  60% n = 84 Vorlesung: Biometrie für Studierende der Veterinärmedizin 19.1.2006

Vorlesung: Biometrie für Studierende der Veterinärmedizin 19.1.2006 Wichtig: Erforderliche Tierzahl ist in jedem Einzelfall neu zu bestimmen und zu begründen also: allgemeingültige Angaben von erforderlichen Tierzahlen nicht sinnvoll Vorlesung: Biometrie für Studierende der Veterinärmedizin 19.1.2006

Zusammenfassung II (was Sie wissen müssen für den zweiseitigen t-Test) Für vorgegebene Wahrscheinlichkeiten für die Fehler 1.Art und 2.Art hängt der erforderliche Stichprobenumfang von dem nachzuweisenden Unterschied (der biologisch relevant sein sollte) und der Streuung ab Je kleiner der nachzuweisende Unterschied, desto größer muss der Stichprobenumfang sein (ceteris paribus) Je größer die Streuung, desto größer muss der Stichprobenumfang sein (ceteris paribus) Vorlesung: Biometrie für Studierende der Veterinärmedizin 19.1.2006

Vorlesung: Biometrie für Studierende der Veterinärmedizin 19.1.2006 Literaturhinweise: Bock, J. (1998): Bestimmung des Stichprobenumfangs. R. Oldenbourg Verlag, München Wien Cavalli-Sforza, L. (1969): Biometrie: Grundzüge biologisch-medizinischer Statistik. Gustav Fischer Verlag, Stuttgart Fahrmeir, L., Künstler, R., Pigeot, I., Tutz, G. (2003): Statistik. Der Weg zur Datenanalyse. Springer Verlag Berlin – Heidelberg Lorenz, R.J. (1996): Grundbegriffe der Biometrie. 4. Auflage. Gustav Fischer Verlag, Stuttgart – New York Mead, R., Curnow, R.N. (1983): Statistical Methods in Agriculture and Experimental Biology. Chapman and Hall, London – New York www.stat.uiowa.edu/~rlenth/Power Vorlesung: Biometrie für Studierende der Veterinärmedizin 19.1.2006