STATISIK LV Nr.: 1375 SS 2005 17. März 2005.

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1 STATISIK LV Nr.: 1375 SS 2005 17. März 2005

2 Statistische Tests Einführung:
Testen von Hypothesen (Annahmen, Behauptungen) Statistischer Test: Verfahren, mit dessen Hilfe sich bestimmte Hypothesen auf ihre Richtigkeit hin überprüfen lassen. Statistische Testverfahren basieren auf Stichprobentheorie

3 Statistische Tests Einführung:
Ziel: Richtigkeit von Aussagen über die Verteilung einer Zufallsvariablen überprüfen. Entscheidungsgrundlage: Ergebnis eines zufälligen Vorgangs. Daher: Entscheidungen nicht immer richtig Aber: Beim Vorliegen einiger der möglichen Verteilungen ist die Wahrscheinlichkeit falsch zu entscheiden beschränkt.

4 Statistische Tests: Hypothesen
Annahmen, Behauptungen, Aussagen über unbekannte Grundgesamtheit 2 Arten von Hypothesen: Parameterhypothesen, Überprüfung durch Parametertests Verteilungshypothesen, Überprüfung durch Verteilungstests

5 Statistische Tests: Hypothesen
Formulierung von Hypothesen: Nullhypothese H0 (Ausgangshypothese) Alternativhypothese H1 (Gegenhypothese)

6 Statistische Tests: Hypothesen
Bsp. Anteile: H0: Ausschussanteil = 10% H1: Ausschussanteil > 10% Mittelwerte: H0: Mittlere Länge eines Werkstücks = 5cm H1: Mittlere Länge eines Werkstücks  5cm Gruppenvergleich: H0: Gruppe 1 und Gruppe 2 sind gleich H1: Gruppe 1 und Gruppe 2 sind ungleich

7 Statistische Tests Entscheidung für H0 oder H1 basiert auf einer Stichprobe x1,…,xn Wahrscheinlichkeitsaussage ob H0 zutrifft oder nicht. Frage: H0 ablehnen (verwerfen) oder H0 nicht ablehnen?

8 Statistische Tests Mögliche Fehlentscheidungen:
Fehler 1. Art (α-Fehler): obwohl H0 korrekt ist wird H0 abgelehnt Fehler 2. Art (β-Fehler): obwohl H0 falsch ist wird H0 nicht abgelehnt.

9 Richtige Entscheidung
Statistische Tests Fehlentscheidungen Trifft zu Entscheidung H0 H1 Richtige Entscheidung Fehler 2. Art (β -Fehler) Fehler 1. Art (α-Fehler)

10 Statistische Tests Problem bei Fehlentscheidungen:
Falsche Entscheidung Man weiß nicht, ob man in einer konkreten Situation einen Fehler macht, sondern nur welcher Art dieser ist.

11 Statistische Tests Signifikanzniveau eines Tests α:
Die Wahrscheinlichkeit eine Fehler 1. Art zu machen ist höchstens α, daher „Test zum Niveau α“ - egal mit welcher Wahrscheinlichkeit ein Fehler 2. Art begangen wird.

12 Statistische Tests Trifft H0 zu und entscheidet man sich für H1, dann ist die Wahrscheinlichkeit dabei einen Fehler zu machen ≤ α (α bekannt, wird festgelegt). Trifft H1 zu und entscheidet man sich für H0, dann ist die Wahrscheinlichkeit dabei eine Fehler zu machen = β (β unbekannt).

13 Statistische Tests

14 Statistische Tests D.h. durch Festlegen des α-Niveaus ist nur die Entscheidung für H1 abgesichert. Bei Entscheidung für H1: H1 ist richtig, H1 ist falsch, ich mache einen Fehler mit Wahrscheinlichkeit ≤ α. Daher: Formuliere H0 so, dass sie abgelehnt werden soll. bzw. in H0 soll diejenige Annahme festgelegt werden, der die größere Bedeutung zukommt.

15 Statistische Tests Bsp. Medikamententest
H0: Medikament ist nicht wirksam gegen H1: Medikament wirkt. Fehler 1. Art: das Medikament wirkt nicht, man glaubt aber dass es wirkt Fehler 2. Art: das Medikament wirkt, man glaubt aber dass es unwirksam ist. Wähle α=0,01 (sehr klein), da Risiko ein nichtwirksames Medikament als wirksam einzustufen sehr groß ist.

16 Statistische Tests Arten von Hypothesen: Einseitige Hypothesen
H0: θ ≤ θ0 gegen H1: θ > θ0 H0: θ ≥ θ0 gegen H1: θ < θ0 Zweiseitige Hypothesen H0: θ = θ0 gegen H1: θ ≠ θ0 Verteilungshypothesen: H0: bestimmten Vt. gegen H1: nicht diese Vt.

17 Statistische Tests Arten von Testproblemen: Einseitige Testprobleme
Tests für einseitige Hypothesen Zweiseitige Testprobleme Tests für zweiseitige Hypothesen Anpassungstests Test für Verteilungshypothesen

18 Statistische Tests Gütefunktion oder Macht g(θ): Wahrscheinlichkeit sich für H1 zu entscheiden, falls θ der wahre Parameter ist. Test zum Niveau α: g(θ) ≤ α für alle θ  H0 g(θ) ≥ α für alle θ  H1 Ist θ  H1, ist 1-g(θ) Wahrscheinlichkeit für den Fehler 2. Art. Funktion 1-g(θ) heißt Operationscharakteristik (OC)

19 Statistische Tests

20 Statistische Tests

21 Statistische Tests Trennschärfe eines Tests:
Steilheit der OC Kurve 1-g(θ) Es gilt: Je größer die Stichprobe umso besser die Trennschärfe.

22 Statistische Tests

23 Statistische Tests Vorgehensweise bei statistischen Tests (I):
Formulierung von H0 und H1 und Festlegen des Signifikanzniveaus Festlegung einer geeigneten Prüfgröße und Bestimmung der Testverteilung unter H0. Bestimmung des kritischen Bereichs Berechnung der Prüfgröße (=Teststatistik) Entscheidung und Interpretation

24 Statistische Tests Vorgehensweise bei statistischen Tests (II):
Formulierung von H0 und H1 und Festlegen des Signifikanzniveaus Festlegung einer geeigneten Prüfgröße und Bestimmung der Testverteilung unter H0. Berechnung der Prüfgröße (=Teststatistik) Bestimmung des p-Wertes der Teststatistik Entscheidung und Interpretation

25 Statistische Tests p-Wert
Anstatt den kritischen Bereich bzw. die kritischen Werte zu bestimmen, Berechnung des „p-Wertes“. p-Wert (p-value): Niveau, bei dem der Test gerade noch abgelehnt hätte. Vergleich des p-Wertes mit dem vorher festgesetzten Niveau α. Entscheidung: Lehne H0 ab, wenn p-Wert < α

26 Statistische Tests Einseitige Tests (I)
H0: θ ≤ θ0 gegen H1: θ > θ0 und α = 0,05 Teststatistik (T) und deren Verteilung unter H0 bestimmen. Bestimmung des kritischen Bereichs bzw. des kritischen Werts (c) T > c, lehne H0 ab T ≤ c, lehne H0 nicht ab

27 Statistische Tests

28 Statistische Tests Einseitige Tests (II)
H0: θ ≤ θ0 gegen H1: θ > θ0 und α = 0,05 Teststatistik (T) und deren Verteilung unter H0 bestimmen. Bestimmung des p-Wertes p < 2·α, lehne H0 ab p ≥ 2·α, lehne H0 nicht ab

29 Statistische Tests

30 Statistische Tests Einseitige Tests (I)
H0: θ ≥ θ0 gegen H1: θ < θ0 und α = 0,05 Teststatistik (T) und deren Verteilung unter H0 bestimmen. Bestimmung des kritischen Bereichs bzw. des kritischen Werts (c) T < c, lehne H0 ab T ≥ c, lehne H0 nicht ab

31 Statistische Tests

32 Statistische Tests Einseitige Tests (II)
H0: θ ≥ θ0 gegen H1: θ < θ0 und α = 0,05 Teststatistik (T) und deren Verteilung unter H0 bestimmen. Bestimmung des p-Wertes p < 2·α, lehne H0 ab p ≥ 2·α, lehne H0 nicht ab

33 Statistische Tests

34 Statistische Tests Zweiseitige Tests (I)
H0: θ = θ0 gegen H1: θ ≠ θ0 und α = 0,05 Teststatistik (T) und deren Verteilung unter H0 bestimmen. Bestimmung des kritischen Bereichs bzw. der kritischen Werte (cu und co) T < cu oder T > co, lehne H0 ab cu ≤ T ≤ co, lehne H0 nicht ab

35 Statistische Tests

36 Statistische Tests Zweiseitige Tests (II)
H0: θ = θ0 gegen H1: θ ≠ θ0 und α = 0,05 Teststatistik (T) und deren Verteilung unter H0 bestimmen. Bestimmung des p-Wertes p < α, lehne H0 ab p ≥ α, lehne H0 nicht ab

37 Statistische Tests

38 Statistische Tests Kritischer Wert: Wert auf der Achse
p-Wert: Wert auf der Dichtfunktion Entscheidung: Lehne H0 ab, wenn Prüfgröße im kritischen Bereich Lehen H0 ab, wenn p-Wert der Prüfgröße < α

39 χ² Unabhängigkeitstest
Chi-Quadrat (χ²) Unabhängigkeitstest Teste ob 2 nominalskalierte Merkmale voneinander unabhängig sind. Bsp. Sind Geschlecht und Rauchverhalten voneinander unabhängig?

40 χ² Unabhängigkeitstest
Chi-Quadrat (χ²) Unabhängigkeitstest H0: die beiden Merkmale sind voneinander unabhängig. H1: die beiden Merkmale sind nicht voneinander unabhängig, d.h. sie sind voneinander abhängig Festlegen des Signifikanzniveaus α.

41 χ² Unabhängigkeitstest
Kontingenztafel: Absolute Häufigkeiten der Merkmalsausprägungen A \ B b1 ... bs ∑ a1 h11 … h1s h1. : ar hr1 hrs hr. h.1 h.s h.. = n

42 χ² Unabhängigkeitstest
Bsp. 4-Felder Tafel: Absolute Häufigkeiten der Merkmalsausprägungen

43 χ² Unabhängigkeitstest
Prüfgröße und Testverteilung: Prinzip: Vergleiche die Werte, die man unter Unabhängigkeit der Merkmale erwarten würde (he), mit den tatsächlich beobachteten Werten (ho). Wenn H0 gilt, welche Werte würde man erwarten? Berechung der unter H0 erwarteten absoluten Häufigkeiten.

44 χ² Unabhängigkeitstest
Unter H0 erwartete absoluten Häufigkeiten Interpretation der relativen Häufigkeiten als Wahrscheinlichkeiten Dann: unter H0 erwartete absoluten Häufigkeiten

45 χ² Unabhängigkeitstest
Bsp. Geschlecht - Rauchverhalten

46 χ² Unabhängigkeitstest
Teststatistik χ²: Abweichung der beobachteten Häufigkeiten von den erwartete Häufigkeiten

47 χ² Unabhängigkeitstest
Verteilung der Teststatistik χ²: χ²-Verteilung mit v = (r-1)·(s-1) Freiheitsgraden

48 χ² Unabhängigkeitstest
Kritischer Bereich: Signifikanzniveau α Kritischer Wert: α-Quantil der χ²(r-1)·(s-1) Verteilung Lehne H0 ab, wenn gilt: Wert der Teststatistik > kritischer Wert

49 χ² Unabhängigkeitstest
Bsp. Geschlecht – Rauchverhalten: Teststatistik χ² Verteilung der Teststatistik: χ²1 Chi-Quadrat Verteilung mit einem Freiheitsgrad

50 χ² Unabhängigkeitstest
Bsp. Geschlecht – Rauchverhalten: Kritischer Wert: 0,05-Quantil der χ²1 Vt. = 3,84 Entscheidung: (I) Teststatistik = 0,9 < 3,84 = kritischer Wert. Also: Lehne H0 nicht ab. (II) p-Wert = 0,33 > 0, Also: Lehne H0 nicht ab. Interpretation: Geschlecht und Rauchverhalten sind voneinander unabhängig.

51 χ² Homogenitätstest Chi-Quadrat (χ²) Homogenitätstest
Betrachte zwei oder mehr Gruppen bzw. Stichproben. Teste, ob die Stichproben aus der gleichen Grundgesamtheit stammen.

52 χ² Homogenitätstest Chi-Quadrat (χ²) Homogenitätstest
H0: die beiden Stichproben stammen aus der gleichen Grundgesamtheit. H1: die beiden Stichproben stammen nicht aus der gleichen Grundgesamtheit. Festlegen des Signifikanzniveaus α.

53 χ² Homogenitätstest Bsp. Geschlecht – Rauchverhalten
H0: Das Rauchverhalten der beiden Gruppen stimmt überein. H1: Das Rauchverhalten der beiden Gruppen stimmt nicht überein.

54 χ² Homogenitätstest Prüfgröße und Testverteilung:
Prinzip: Vergleiche die Werte, die man unter H0 (gleiche Grundgesamtheit) erwarten würde (he), mit den tatsächlich beobachteten Werten (ho). Wenn H0 gilt, welche Werte würde man erwarten? Berechung der unter H0 erwarteten absoluten Häufigkeiten.

55 χ² Homogenitätstest Unter H0 erwartete absoluten Häufigkeiten

56 χ² Homogenitätstest Teststatistik χ²: Verteilung der Teststatistik χ²:
Abweichung beobachteten Häufigkeiten und erwartete Häufigkeiten Verteilung der Teststatistik χ²: χ²-Verteilung mit v = (r-1)·(s-1) Freiheitsgraden

57 χ² Homogenitätstest Bsp. Geschlecht – Rauchverhalten:
Teststatistik χ² = 0,9 Verteilung der Teststatistik: χ²1 Entscheidung: (I) χ² = 0,9 < 3,84. Lehne H0 nicht ab. (II) p-Wert = 0,33 > 0,05. Lehne H0 nicht ab. Interpretation: die beiden Gruppen (Männer, Frauen) stammen aus der gleichen Grundgesamtheit, sie sind homogen.

58 χ² Tests χ² Unabhängigkeits- und Homogenitätstests:
Teststatistik und Testverteilung sind gleich Nullhypothese und Interpretation sind verschieden. Test auf Unabhängigkeit (die Merkmale sind unabhängig voneinander) Test auf Homogenität (die Stichproben stammen aus der gleichen Grundgesamtheit).

59 χ² Tests χ² Unabhängigkeits- und Homogenitätstests:
Für die Approximation durch die χ²-Vt. sollten die erwarteten Häufigkeiten jeder Zelle  5 sein und keine der Zellen sollte unbesetzt sein. Sind die Voraussetzungen verletzt, kann man einen exakten Test durchführen (siehe Hartung S. 414ff)

60 Anpassungstests Test einer Verteilungshypothese – Nichtparametrische Testverfahren Betrachtet Unterschied zw. Stichproben-Vt. und theoretischer Verteilung. „Anpassungstest“ weil die Güte der Anpassung einer theoretischen Vt. an eine empirische Vt. überprüft wird.

61 Anpassungstests χ² Anpassungstest:
H0: die Grundgesamtheit gehorcht einer bestimmten Verteilung. Vorgehensweise: Bestimme die unter H0 zu erwartenden Häufigkeiten he und vergleiche sie mit den beobachteten Häufigkeiten ho. Abweichung groß – Entscheidung gegen H0, Abweichung klein – Entscheidung für H0.

62 Anpassungstests χ² Anpassungstest: Teststatistik:
k ... Anzahl der Merkmalsausprägungen (diskrete Merkmale) bzw. Anzahl der Klassen (stetigen Merkmalen) Testverteilung: χ²v verteilt mit v=n-1 Es gilt wieder: he sollten  5 sein.

63 Anpassungstests χ² Anpassungstest: Entscheidung:
Bestimmung des kritischen Bereichs, χ² > kritischer Wert, lehne H0 ab Bestimmung des p-Wertes, p-Wert < α lehne H0 ab

64 Anpassungstests Kolmogorov-Smirnov- Anpassungstest:
Test zur Beurteilung der Güte der Anpassung einer erwarteten theoretischen Verteilung an eine beobachtete empirische Verteilung. H0: die Grundgesamtheit gehorcht einer bestimmten Verteilung. Prinzip: Abweichung empirische- von der theoretische Verteilungsfunktion.

65 Anpassungstests Kolmogorov-Smirnov- Anpassungstest: Prüfgröße (D):
größte beobachtete absolute Abweichung der theoretischen von der empirischen Verteilungsfunktion. Testverteilung: „Kolmogorov-Smirnov- Verteilung“, hängt nur vom Stichproben-umfang n ab (1-α Quantile in Tabelle nachschlagen). Entscheidung: D > kritischer Wert (aus Tabelle), lehne H0 ab.

66 Anteilstests Einstichprobentest für den Anteilswert
Hat der Anteil einen bestimmten Wert, bzw. liegt er in einem bestimmten Bereich? Entscheidung basiert auf dem Ergebnis einer einzigen Stichprobe. Zweistichprobentest für Anteilswerte Unterscheiden sich die Anteile zweier unabhängiger Gruppen? Entscheidung basiert auf zwei Stichproben

67 Anteilstest - Einstichprobentest
Einstichprobentest für den Anteilswert: Einseitige Hypothesen: H0: θ ≤ θ0 gegen H1: θ > θ0 H0: θ ≥ θ0 gegen H1: θ < θ0 Zweiseitige Hypothesen: H0: θ = θ0 gegen H1: θ ≠ θ0

68 Anteilstest - Einstichprobentest
Vorgehensweise: Teststatistik bestimmen Testverteilung bestimmen Entescheidung über Annahme oder Ablehnung von H0.

69 Anteilstest - Einstichprobentest
Anteilswert einer Stichprobe: P = x / n Unter H0 ist P, wenn nθ0(1-θ0) ≥ 9, approximativ N-Vt., mit Parametern E(P) = θ0 Var(P) = θ0(1-θ0)/n · [(N-n)/(N-1)] Vernachlässigung der Endlichkeitskorrektur wenn n/N < 0,05.

70 Anteilstest - Einstichprobentest
Prüfgröße / Teststatistik: Standardisierte Zufallsvariable Z:

71 Anteilstest - Einstichprobentest
Testverteilung: Teststatistik Z ist unter H0 N(0,1) verteilt. Daher: Testverteilung ist die Standardnormalverteilung.

72 Anteilstest - Einstichprobentest
Kritischer Bereich: α festlegen (z.B. α = 0,05) Kritischer Wert: α – Quantil der N(0,1)-Vt. Entscheidung: H0 ablehnen, wenn Teststatistik im kritischen Bereich. p-Wert: p-Wert: Niveau, bei dem der Test gerade noch die H0 ablehnen würde. Entscheidung: H0 ablehnen, wenn p-Wert < α (zweiseitiger Test) bzw. p < 2α (einseitiger Test).

73 Anteilstest - Einstichprobentest
Bsp: Anteil der weiblichen Studenten H0: pw ≤ 0,5 gegen H1: pw > 0,5 und α=0,05 Approximation durch N-Vt. zulässig, da unter H0 nθ0(1-θ0) = 9,5 ≥ 9. Unter H0: E(P) = 0,5, Var(P) = 0,0065 und σP = 0,0811 (Vernachlässigung der Endlichkeitskorrektur).

74 Anteilstest - Einstichprobentest
Bsp: Anteil der weiblichen Studenten Teststatistik: Z = 0,324 Testverteilung: N(0,1) Kritischer Wert: 1,64 p-Wert: 0,378 Entscheidung: Lehne H0 nicht ab (Z < 1,64 bzw. p-Wert > 0,1 = 2α) Interpretation: Der Frauenanteil ist nicht signifikant größer als 50%.

75 Anteilstest - Zweistichprobentest
Test für die Differenz zweier Anteilswerte Stichprobe 1: Anteil P1 = x / n1 Grundgesamtheit 1: Anteil θ1 Stichprobe 2: Anteil P2 = x / n2 Grundgesamtheit 2: Anteil θ2 H0: Anteilswerte der beiden Grundgesamtheiten sind gleich. H0: θ1 = θ2 (=θ) gegen H1: θ1 ≠ θ2

76 Anteilstest - Zweistichprobentest
Teststatistik: (Unter Vernachlässigung der Endlichkeitskorrektur und wenn Voraussetzungen für eine N-Vt. erfüllt sind) Verteilung der Teststatistik unter H0: Z ~ N(0,1)

77 Anteilstest - Zweistichprobentest
Entscheidung: Bestimmung des kritischen Bereichs. Z > |c| lehne H0 ab Bestimmung des p-Wertes p-Wert < α lehne H0 ab Interpretation: Wird H0 abgelehnt, dann sind die Anteile in den beiden Gruppen signifikant verschieden.

78 Test für arithmetisches Mittel
Einstichprobentest für das arithm. Mittel: Hat das arithm. Mittel einen bestimmten Wert, bzw. liegt es in einem bestimmten Bereich? Entscheidung basiert auf dem Ergebnis einer einzigen Stichprobe. Zweistichprobentest für das arithm. Mittel Unterscheiden sich die Mittelwerte zweier Gruppen? Entscheidung basiert auf zwei Stichproben

79 Test für arithmetisches Mittel
Einstichprobentest für das arithm. Mittel: Varianz der Grundgesamtheit ist bekannt. Varianz der Grundgesamtheit ist unbekannt.

80 Test für arithmetisches Mittel
Einstichprobentest für das arithm. Mittel: Zweiseitige Hypothese: H0: µ = µ0 gegen H1: µ ≠ µ0 Festlegen des Signifikanzniveaus

81 Test für arithmetisches Mittel
Varianz der Grundgesamtheit ist bekannt. Unter H0 ist das arithm. Mittel der Stichprobe N-Vt. mit E=µ und Var=σ²/n Teststatistik: Testverteilung: N(0,1)

82 Test für arithmetisches Mittel
Bestimmung des kritischen Bereichs bzw. Berechung des p-Wertes Entscheidung Interpretation

83 Test für arithmetisches Mittel
Varianz der Grundgesamtheit ist unbekannt. Schätzwert für unbekanntes σ²: Stichprobenvarianz s². Teststatistik: Testverteilung: tn-1 t-Test

84 Test für arithmetisches Mittel
Bestimmung des kritischen Bereichs: kritische Werte: α/2-Quantile der t-Vt., symmetrische Vt. daher tcu = -tco Berechung des p-Wertes: Entscheidung: |t| > tc, lehne H0 ab p-Wert < α, lehne H0 ab Interpretation

85 Test für arithmetisches Mittel
Bsp. mittlere Körpergröße (n = 38) H0: µ = 170 gegen H1: µ  170, α = 0,05 Arithm. Mittel der Stpr: 174 Standardabweichung der Stichprobe: 10,4 Teststatistik: T = ( ) / 10,4/38 = 2,5 Kritischer Wert: 2,02 p-Wert: 0,016 Mittlere Körpergröße ist signifikant  170

86 Test für arithmetisches Mittel
Zweistichprobentest für die Differenz zweier arithmetischer Mittel Unterscheiden sich die Mittelwerte zweier Grundgesamtheiten? Unterscheiden sich die Mittelwerte zweier verbundener Stichproben?

87 Test für arithmetisches Mittel
Differenz zweier arithmetischer Mittel die aus 2 Grundgesamtheiten stammen. Voraussetzung: Stichproben unabhängig Stichproben stammen aus einer N-vt. Grundgesamtheiten bzw. Approximation durch N-Vt. ist zulässig Endlichkeitskorrektur ist vernachlässigbar

88 Test für arithmetisches Mittel
Unterscheide, ob die Varianzen der beiden Grundgesamtheiten homogen sind oder nicht. Varianzen verschieden, σ1²  σ2² : Teststatistik: Testverteilung: Z asymptotisch N(0,1)-vt.

89 Test für arithmetisches Mittel
Varianzhomogenität, σ1² = σ2² = σ²: Teststatistik: wobei Testverteilung: T ~ tv mit v=n1+n2-2 Freiheitsgarden

90 Test für arithmetisches Mittel
Verbundene Stichproben (abhängige oder gepaarte Stpr.) Tritt auf, wenn z.B. die Merkmalsausprägungen der ersten Stpr. und die der zweiten jeweils an demselben Merkmalsträger erhoben werden. Bsp: vorher – nachher Untersuchungen. Test für die Differenz arithmetischer Mittel bei verbundenen Stichproben.

91 Test für arithmetisches Mittel
Differenzen der Wertepaare: Di = X2i – X1i sind N-vt. mit E(Di) = µ2i - µ1i = δ und Var(Di) =σD² Teststatistik: Testverteilung: T~tv mit v=n-1

92 Test für Varianz Einstichprobentest für die Varianz:
Hat die Varianz einen bestimmten Wert, bzw. liegt er in einem bestimmten Bereich? Entscheidung basiert auf dem Ergebnis einer einzigen Stichprobe. Zweistichprobentest für die Varianz Unterscheiden sich die Varianzen zweier Gruppen? Entscheidung basiert auf zwei Stichproben

93 Test für Varianz Einstichprobentest für die Varianz:
Annahme: Grundgesamtheit normalverteilt H0: σ² = σ0² gegen H1: σ²  σ0² Teststatistik: Testverteilung: χ²v mit v=n-1 Entscheidung: χ² > χ²co oder χ² < χ²cu, lehnen H0 ab p-Wert < α, lehne H0 ab

94 Test für Varianz Zweistichprobentest für den Quotienen zweier Varianzen: Annahme: Grundgesamtheit normalverteilt H0: σ1² = σ2² gegen H1: σ1²  σ2² Teststatistik: Testverteilung: Fv1,v2 mit v1=n1-1 und v2=n2-1 Entscheidung: F > Fco oder F < Fcu, lehnen H0 ab p-Wert < α, lehne H0 ab