Bedingte Wahrscheinlichkeiten Die Belegschaft eines Betriebes wird nach Rauchern und Nichtrauchern ein- geteilt. Dabei ergibt sich die folgende Tabelle:

Also haben wir: Allgemein definiert man:

Drei Personen A, B und C befinden sich im Gefängnis. Hier noch ein Beispiel zur bedingten Wahrscheinlichkeit Drei Personen A, B und C befinden sich im Gefängnis. Einer von den dreien ist zum Tode verurteilt, aber keiner der drei weiß vor der Exekution über sein Schicksal Bescheid. Der Gefangene A fragt seinen Wärter, wer von den beiden anderen, B oder C, exekutiert werden wird. Wir nehmen an, dass der Wärter, falls er die Wahl hat, mit Wahrscheinlichkeit p die Antwort „B“ gibt und mit Wahrscheinlichkeit 1 - p die Antwort „C“. Ansonsten antwortet er wahrheitsgemäß. Man berechne die „Überlebenswahrscheinlichkeit“ für A, wenn der Wärter mit B geantwortet hat.

Formel von der totalen Wahrscheinlichkeit Einkommensverteilung der Haushalte in einer bestimmten Gegend Anteil der Haushalte, die ein Auto > DM 40 000,- anschaffen, in den verschiedenen Einkommensklassen

Also nach der Formel für die totale Wahrscheinlichkeit: Es ergibt sich: 5 Also nach der Formel für die totale Wahrscheinlichkeit:

Allgemein: Formel von der totalen Wahrscheinlichkeit

Satz von Bayes

Satz von Bayes In einer Stadt vermutet man, dass für die Bevölkerung die folgende Aufteilung in Deutsche, Italiener und Ausländer, die keine Italiener sind, besteht: wobei die letzte Zeile den jeweiligen Anteil von Personen in der Bevölkerungsgruppe angibt, die gerne Spaghetti bestellen. (Beispiel nach H. Haase: Stochastik für Betriebswirte)

Jemand bestellt in einer Gaststätte Spaghetti. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass dieser Gast ein Deutscher, ein Italiener oder ein nicht-italienischer Ausländer ist? D: „Der Gast ist ein Deutscher“ I: „Der Gast ist ein Italiener“ A: „Der Gast ist ein Ausländer, aber kein Italiener“ S: „Der Gast bestellt Spaghetti“

Nach der Formel für die totale Wahr- scheinlichkeit hat man: Daraus ergibt sich nach dem Satz von Bayes

Satz von Bayes

Lernen aus Erfahrung Beispiel Eine Urne enthält 4 Kugeln. Wir wissen, dass eine der folgen- den Situationen A1, A2 oder A3 vorliegt: A1: eine Kugel ist rot, die drei anderen sind grün A2: zwei Kugeln sind rot, die beiden anderen grün A3: drei Kugeln sind rot, eine ist grün Die Wahrscheinlichkeiten für die drei Möglichkeiten sind unbekannt. Wir setzen: P(A1) = p1 P(A2) = p2 P(A3) = p3

„Bei jedem Zug zeigt B sich eine rote Kugel“ Wir ziehen aus der Urne m Kugeln mit Zurücklegen. Nehmen wir nun an, dass das Ereignis B geschieht. „Bei jedem Zug zeigt sich eine rote Kugel“ B Dann hat man:

Nach dem Satz von Bayes erhalten wir: Ebenso:

Unabhängig von den Werten für p1, p2 und p3 hat man: Für große m nähert sich die bedingte Wahrscheinlichkeit für A3 gegeben B dem Wert 1, während sich die bedingten Wahrscheinlichkeiten für A1 und A2 dem Wert 0 annähern.

Grundbegriffe der (deskriptiven) Statistik der Wahrscheinlichkeitstheorie

Verteilungsfunktion der Normalverteilung I

Verteilungsfunktion der Normalverteilung II

Häufigkeitstabelle für das Jahr 1980 Beispiel „Haushaltsgröße“ Häufigkeitstabelle für das Jahr 1980 (laut Schlittgen) Verteilungsfunktion

Zufallsvariablen Verteilung Verteilungsfunktion Wahrscheinlichkeitsfunktion Wahrscheinlichkeitsdichte Verteilung Die Verteilung einer ZV ist ein Wahr- scheinlichkeitsmaß auf den reellen Zahlen diskret stetig

Wahrscheinlichkeitsfunktion diskret f nennt man Wahrscheinlichkeitsfunktion von X stetig f nennt man Dichtefunktion von X

Verteilungsfunktion diskret stetig diskret stetig

Erwartungswert und Varianz I Der endliche Fall Erwartungswert Varianz

Häufigkeitstabelle für das Jahr 1980 Beispiel „Haushaltsgröße“ Häufigkeitstabelle für das Jahr 1980 (laut Schlittgen)

Erwartungswert und Varianz II Der diskrete unendliche Fall Dabei nehmen wir an, dass Erwartungswert Varianz

Erwartungswert und Varianz III Der stetige Fall f ist die Wahrscheinlichkeitsdichte. Dabei nehmen wir an, dass Erwartungswert Varianz

Gegeben seien n Zufallsvariablen Dann gilt immer: Wenn gilt dann hat man auch Gleichheit von Bienaymé