Induktive Statistik

Statistische Struktur (diskreter Fall) Dabei sind:

Schätzproblem Schätzer

Ω Θ Modell Beobachtung (Stichprobe) Grundgesamtheit (mögliche Beobachtungen) Schätzung

Ω Θ Modell Beobachtung (Stichprobe) Grundgesamtheit (mögliche Beobachtungen) Schätzung E g

Stichprobe (diskreter Fall)

Mathematischer Rahmen

Statistische Struktur diskret stetig

Maximum-Likelihood-Schätzer ( diskreter Fall) Likelihood-Funktion mit oder M-L-Schätzer

Der Parameter ist die beste Erklärung für die Beobachtung

Likelihood-Funktion

Der Logharithmus ln x ist streng monoton wachsend

Beispiel Poisson-Verteilung Stichprobe vom Umfang n mit Poisson-verteilter Stich- Probenvariablen (Intensität: ) M-L-Schätzer für oder

Beispiel Bernoulli-Verteilung Stichprobe vom Umfang n mit Bernoulli- verteilter Stichprobenvariablen (p: Wahrscheinlichkeit des Ereignisses) M-L-Schätzer für p wieder gegeben durch:

Maximum-Likelihood-Schätzer (stetiger Fall) Likelihood-Funktion mit oder M-L-Schätzer

Der Parameter ist die beste Erklärung für die Beobachtung

Normalverteilte Stichprobenvariable M-L-Schätzer Erwartungswert Hier spielt es keine Rolle, ob die Varianz bekannt ist oder nicht. In jedem Fall gilt:

Normalverteilte Stichprobenvariable M-L-Schätzer Varianz bekannt

Normalverteilte Stichprobenvariable M-L-Schätzer Varianz unb ekannt

Übersicht

Erwartungstreue Schätzer Wenn der Parameter selbst geschätzt werden soll: Wenn ein allgemeines statistisches Problem vorliegt: Dabei bedeutet der Index, dass der Erwartungswert bzgl. des W.maßes zum Parameter genommen wird.

Schätzung des Erwartungswertes der Stichprobenvariablen X Statistisches Problem gegeben durch: Erwartungstreuer Schätzer:

Schätzung der Varianz der Stichprobenvariablen X Statistisches Problem gegeben durch: Erwartungstreuer Schätzer: Erwartungswert bekannt

Schätzung der Varianz der Stichprobenvariablen X Statistisches Problem gegeben durch: Erwartungstreuer Schätzer: Erwartungswert unbekannt

Normalverteilte Stichprobenvariable Erwartungstreuer Schätzer für den Erwarungswert Hier spielt es wieder keine Rolle, ob die Varianz bekannt ist oder nicht. In jedem Fall gilt: erwartungstreu ist erwartungstreu

Normalverteilte Stichprobenvariable Erwartungstreuer Schätzer für die Varianz bekannt erwartungstreu ist erwartungstreu

Normalverteilte Stichprobenvariable Erwartungstreuer Schätzer für die Varianz unb ekannt erwartungstreu ist erwartungstreu Kein M-L-Schätzer!!

Übersicht erwartungstreu erwartungstreu erwartungstreu nicht erwartungstreu

Aufgabe 1

0,5156 bzw. 0,5457 0,4879 0,5156 0,7745 In (a) ergeben sich M-L-Schätzer bzw. erwartungstreuer Schätzer des Erwartungswertes zu

0,0534 bzw. 0,06 0,00534 bzw. 0,006 0,333 bzw. 0,523 0,1234 bzw. 0,4321 In (a) ergeben sich M-L-Schätzer bzw. erwartungstreuer Schätzer der Varianz zu

Konfidenzintervalle Intervallschätzung Jeder Beobachtung wird ein Intervall C( ) der reellen Zahlen zugeordnet Niveau Dabei ist die Wahrscheinlichkeit, eine Beobachtung zu machen, für die der wahre Parameter im zugehörigen Intervall liegt, größer oder gleich 1 -

Niveau klein Das Niveau wird klein gewählt. (Wir nehmen in unseren Beispielen in den meisten Fällen = 0.05 oder = 0.1) Zusammenhang Es gibt aber einen Zusammenhang zwischen der Breite der Konfidenzintervalle und dem Niveau: Niveau kleiner Intervall breiter Die Intervallbreite soll möglichst gering sein.

Konfidenzintervall für den Erwartungswert Varianz bekannt Annahme: Konfidenzintervalle: wobei

Die Gauß- oder Normalverteilung

Dichte Verteilung Verteilungsfunktion

Erwartungswert Varianz

Approximative Konfidenzintervalle im Bernoulli-Fall I Konfidenzintervall zum Niveau

Approximative Konfidenzintervalle im Bernoulli-Fall II Vereinfachung für großes n (n 100)

Aufgabe 2

Die Punktschätzung für den Anteil der Verkehrsunfälle mit Fahrerflucht beträgt 0,9722 0,6225 0,3476 0,2628

Welchen γ–Wert legen Sie der Bestimmung des approximativen 95%-Konfidenzintervalls zu Grunde? t-Verteilung mit 1,76 t-Veretilung mit 2,96 Normalverteilung mit 1,67 Normalverteilung mit 1,96

Geben Sie das approximative 95%-Konfidenzintervall an: [0,345; 0,789] [0,25; 0,30] [0,244; 0,282] [0,264; 0,274]

Die Student- oder t-Verteilung Hängt von Parameter n ab!

Die Student- oder t-Verteilung Wahrscheinlichkeitsdichte Die Konstante d ist dabei:

Die Chi-Quadrat-Verteilung Hängt ebenfalls von Parameter n ab!

Die Chi-Quadrat-Verteilung Wahrscheinlichkeitsdichte Die Konstante c ist dabei: : Gamma-Funktion

unabhängige Für n unabhängige Zufallsvariablen mit hat man: Mathematische Bedeutung der Chi-Quadrat-Verteilung

unabhängige Für unabhängige Zufallsvariablen W und U mit hat man: Mathematische Bedeutung der t-Verteilung

Konfidenzintervall für den Erwartungswert Varianz unbekannt Student-Verteilung (oder t-Verteilung)

Übersicht Konfidenzintervalle für den Erwartungswert

Aufgabe 3

Verwendung der Tafel für die Normalvertreilung

TESTS

Worum es geht Man möchte testen, ob eine bestimmte Annahme (Hypothese) über Parameter der Realität entspricht oder nicht. Beobachtung (Stichprobe) Entscheidung Vorgabe: Irrtumswahrscheinlichkeit Formulierung einer HypotheseNullhypothese In der Statistik kann man nie ganz sicher sein. Die Irrtumswahrscheinlichkeit sollte wenigstens klein sein.

Mathematischer Rahmen I TESTS Statistische Struktur Testproblem (Hypothese)Nullhypothese Gegeben sind: Stetiger Fall Diskreter Fall Niveau

Mathematischer Rahmen II TESTS Test Test gegeben durch: Ablehnungsbereich Teilmenge der Grundgesamtheit : Menge aller Beobachtungen, die zur Ablehnung der Hypothese führen

Mathematischer Rahmen III TESTS Beobachtung (Stichprobe) Entweder Oder Beobachtung liegt im Annahmebereich Beobachtung liegt im Ablehnungsbereich Hypothese annehmen! Hypothese ablehnen!

Fehler erster und zweiter Art

Hypotheseakzeptiert Hypothese abgelehnt Hypothesewahr Hypothese falschEntscheidungRealität Fehler 1. Art Fehler 2. Art

Niveau und Macht Obere Grenze für die Wahrscheinlichkeit, Fehler 1. Art einen Fehler 1. Art zu begehen Niveau Wahrscheinlichkeit, Fehler 2. Art keinen Fehler 2. Art zu begehen, wenn der wahre Parameterwert in dem Punkt liegt Macht Macht in einem Punkt der Alternative

Test für den Erwartungswert Varianz bekannt Fall Normalverteilung

Test für den Erwartungswert Varianz unbekannt Fall Normalverteilung

Aufgabe 4

Formulieren Sie in (a) die richtige Nullhypothese! H 0 = {µ 220} H 0 = {µ = 220} H 1 = {µ 220} H 0 = {µ > 220}

In (a) beträgt der kritische Wert für den Ablehnungsbereich: γ = 1,96 γ = 2,03 γ = 3,262 γ = 2,262

In (a) ist der zutreffende Wert der Prüfgröße T = 1,1678 T = 0,923 T = -2,546 T = 2,247

Treffen Sie die passende Testentscheidung! T > γ : Nullhypothese wird verworfen T γ : Nullhypothese wird angenommen T = γ : Nullhypothese wird angenommen T > γ : Nullhypothese wird angenommen

Aufgabe 5

1. Fall Vergleich zweier unabhängiger Stichproben 1. Fall 2 unabhängige Stichproben mit Stichprobenvariablen X und Y Annahmen: X und Y normalverteilt Varianz von X = Varianz von Y Hypothese: Erwartungswert von X = Erwartungswert von Y

1. Fall Vergleich zweier unabhängiger Stichproben 1. Fall Prüfgröße n: Umfang der Stichprobe 1 (Stichprobenvariable X) m: Umfang der Stichprobe 2 (Stichprobenvariable Y) Ablehnungsbereich bestimmt durch

Aufgabe 6

2. Fall Vergleich zweier unabhängiger Stichproben 2. Fall 2 unabhängige Stichproben mit Stichprobenvariablen X und Y Annahmen: X und Y normalverteilt n und m groß (> 30), damit Approximation der Varianzen sinnvoll Hypothese: Erwartungswert von X = Erwartungswert von Y

2. Fall Vergleich zweier unabhängiger Stichproben 2. Fall Ausgangspunkt Approximation Prüfgröße Ablehnungsbereich bestimmt durch

Aufgabe 7

Formulieren Sie die richtige Nullhypothese! H 0 : µ x µ y H 0 : µ x = µ y H 0 : µ x = 0 H 0 : µ x < µ y

Geben Sie den korrekten Ablehnungsbereich an! γ } A 1 = { |Z| < γ } γ } A 1 = { |Z| = γ } γ } A 1 = { |Z| > γ } γ } A 1 = { |Z| γ }

Der zutreffende Wert der Prüfgröße ist: |Z| = 1,22 |Z| = 3,44 |Z| = 2,11 |Z| = 1,45

Treffen Sie die passende Testentscheidung! H 0 wird abgelehnt, da |Z| < 2 H 0 wird angenommen, da |Z| γ H 0 wird abgelehnt, da |Z| = 244,8 H 0 wird angenommen, da |Z| > γ

Chi-Quadrat-Tests

Chi-Quadrat-Test auf Anpassung Hypothese Ablehnungsbereich

Fairer Würfel? Hypothese verwerfen!

Bakterielle Infektion durch Stämme I, II, III Vermutung Konkrete Stichprobe (80 Infektionen) (siehe: Gelbrich) Typ Prozentsatz IIIIII Anzahl IIIIII Typ

Mendelsche Gesetze rund und gelb runzelig runzelig und gelb rund und grün runzelig runzelig und grün Prozentsätze nach der Theorie

rund und gelb runzelig runzelig und gelb rund und grün runzelig runzelig und grün Beobachtete Häufigkeiten Summe 480

Krankmeldungen Wochentag Mo Di Mi Do Fr n Anzahl Krankmeldungen

Aufgabe 8

Die Faustregel ist erfüllt, da 0,03 x 210 = 6,3 5 0,3 x 210 = x 21 = ,2 x 21 = 4,2 1

Geben Sie den korrekten Ablehnungsbereich an! A 1 = {V 2 > 10,456} A 1 = {V 2 > 9,488} A 1 = {V 2 > 0} A 1 = {V 2 > -9,488}

Man kann hier den folgenden Test einsetzen: χ 2 -Test auf Homogenität χ 2 -Test auf Freiheitsgrade χ 2 -Test auf Unabhängigkeit χ 2 -Test auf Anpassung

Bestimmen Sie den zutreffenden Prüfgrößenwert! V 2 = 4,34 V 2 = 5,34 V 2 = 6,34 V 2 = 3,34

Zu testen ist hier die Verteilung: (0,22; 0,15; 0,5; 0,1; 0,03) (0,12; 0,25; 0,5; 0,1; 0,03) (0,12; 0,25; 0,6; 0,1; 0,03) (0,12; 0,2; 0,55; 0,1; 0,03)

Treffen Sie die korrekte Testentscheidung! V 2 γ : H 0 wird angenommen V 2 < γ : H 0 wird verworfen V 2 > γ : H 0 wird angenommen V 2 > γ : H 1 wird angenommen

Chi-Quadrat-Test auf Unabhängigkeit I

Chi-Quadrat-Test auf Unabhängigkeit II Hypothese Ablehnungsbereich

Chi-Quadrat-Test auf Unabhängigkeit III

Berufsstatus Vater - Sohn 38 X Y

Sonntagsfrage (Fahrmeir/Künstler/Pigeot/Tutz) Die Ergebnisse der Sonntagsfrage: Welche Partei würden Sie wählen, wenn am nächsten Sonntag Bundestagswahlen wären? sind für den Be- fragungszeitraum in der folgenden Tabelle wiedergegeben:

Das Untersuchungsziel ist festzustellen, ob die voneinander abweichenden Häufigkeiten für Männer und Frauen rein zufällige Schwankungen Darstellen oder ob zwischen Geschlecht und Partei- präferenz ein Zusammenhang besteht. Nullhypothese: Zwischen Geschlecht und Parteipräferenz besteht kein Zusammenhang

Chi-Quadrat-Test auf Unabhängigkeit zum Niveau = 0.05

Aufgabe 9

Chi-Quadrat-Test auf Homogenität Hypothese Ablehnungsbereich

Produktion zweier Betriebe

KREDITWÜRDIGKEIT Eine Bank steht vor dem Problem, einen potentiellen Kreditnehmer einzuschätzen und den Kredit zu vergeben, oder ihn der Klasse der Problemfälle zuzuordnen und auf das Kreditgeschäft zu verzichten bzw.eine genauere Prüfung vorzunehmen. Gesucht wird ein Prädikator für die Kreditwürdigkeit. Hierzu werden 1000 Konsumentenkredite betrachtet. Für jeden Kunden aus dieser Stichprobe ist seine Kredit- würdigkeit X bekannt. Als weiteres Merkmal Y wird notiert, ob der Kunde ein laufendes Konto bei der Bank unterhält und, wenn ja, ob es gut oder mittel geführt wird. (Fahrmeir/Künstler/Pigeot/Tutz)

Kreditwürdigkeit Merkmal X: Kreditwürdigkeit Konto Merkmal Y: Konto Wertungen kein Konto gut geführt mittel gut geführt

Chi-Quadrat-Test auf Homogenität zum Niveau = 0.05 Nullhypothese: Verteilung auf die Kategorien des Merkmals Konto ist für unproblematische Kreditnehmer und für Problemkunden gleich

Aufgabe 10

Aufgabe 11

Aufgabe 12

Chi-Quadrat-Tests Übersicht

Faustregeln Chi-Quadrat-Tests Test auf Anpassung Test auf Unabhängigkeit Test auf Homogenität

Kolmogorov-Smirnov-Test wird eingesetzt, wenn getestet werden soll, ob eine bestimmte stetige Verteilung vorliegt.

Durchführung Kolmogorov-Smirnov-Test I Berechnung Abstände berechnen ) Hypothese

Durchführung Kolmogorov-Smirnov-Test II Arbeitstabelle Maximum der Werte der letzten beiden Spalten

Durchführung Kolmogorov-Smirnov-Test III Ablehnungsbereich Niveau 0.05

Durchmesser von Schrauben

Arbeitstabelle

Durchmesser von Schrauben und nicht spezifiziert Arbeitstabelle

Einfache Varianzanalyse wird eingesetzt, wenn mehr als 2 unabhängige normalverteilte Stichproben verglichen werden sollen, deren Varianz als übereinstimmend angenommen werden kann.

Datenliste

Gewicht eines Werkstückes bei 3 Betrieben (in kg)

Mittelwerte der Klassen und Gesamtmittelwert

Mittelwert Betrieb 1 Mitttelwert Betrieb 2 Mittelwert Betrieb 3 Gesamt- Mittelwert

F-Verteilung für verschiedene Freiheitsgrade m, n

Die F-Verteilung Wahrscheinlichkeitsdichte : Gamma-Funktion

Durchführung der einfachen Varianzanalyse I Mittelwerte und Varianzen der einzelnen Betriebe Gesamtmittelwert N: Gesamtumfang der Stichproben; r: Zahl der Betriebe 1 2 Q : Maß für die Varianz innerhalb der einzelnen Betriebe Q : Maß für die Varianz zwischen den Betrieben 1 2 Berechnung von Benötigte Daten:

Durchführung der einfachen Varianzanalyse II

Durchführung der einfachen Varianzanalyse III Bestimmung von Ablehnungsbereich Berechnung von

Viel Erfolg bei der Klausur!!!