M-L-Schätzer Erwartungswert Normalverteilte Stichprobenvariable M-L-Schätzer Erwartungswert Hier spielt es keine Rolle, ob die Varianz bekannt ist oder nicht. In jedem Fall gilt:

Normalverteilte Stichprobenvariable M-L-Schätzer Varianz  bekannt

Normalverteilte Stichprobenvariable M-L-Schätzer Varianz  unbekannt

Übersicht

Beispiel Gewicht von Äpfeln Gewicht von Äpfeln der Sorte Cox-Orange aus einem bestimmten italienischen Anbaugebiet

Erwartungstreue Schätzer Wenn der Parameter selbst geschätzt werden soll: Wenn ein allgemeines statistisches Problem vorliegt: Dabei bedeutet der Index  , dass der Erwartungswert bzgl. des W.maßes zum Parameter  genommen wird.

Schätzung des Erwartungswertes der Stichprobenvariablen X Statistisches Problem gegeben durch: Erwartungstreuer Schätzer:

Schätzung der Varianz der Stichprobenvariablen X Erwartungswert bekannt Statistisches Problem gegeben durch: Erwartungstreuer Schätzer:

Schätzung der Varianz der Stichprobenvariablen X Erwartungswert unbekannt Statistisches Problem gegeben durch: Erwartungstreuer Schätzer:

Normalverteilte Stichprobenvariable Erwartungstreuer Schätzer für den Erwarungswert Hier spielt es wieder keine Rolle, ob die Varianz bekannt ist oder nicht. In jedem Fall gilt: ist erwartungstreu

Normalverteilte Stichprobenvariable Erwartungstreuer Schätzer für die Varianz  bekannt ist erwartungstreu

Normalverteilte Stichprobenvariable Erwartungstreuer Schätzer für die Varianz  unbekannt ist erwartungstreu Kein M-L-Schätzer!!

Übersicht nicht erwartungstreu erwartungstreu erwartungstreu

Konfidenzintervalle Intervallschätzung Jeder Beobachtung  wird ein Intervall C() der reellen Zahlen zugeordnet Niveau  Dabei ist die Wahrscheinlichkeit, eine Beobachtung zu machen, für die der wahre Parameter im zugehörigen Intervall liegt, größer oder gleich 1 - 

Die Ungleichung von Tschebyschev

Niveau Das Niveau  wird „klein“ gewählt. (Wir nehmen in unseren Beispielen in den meisten Fällen  = 0.05 oder  = 0.1) Die Intervallbreite soll möglichst gering sein. Es gibt aber einen Zusammenhang zwischen der Breite der Konfidenzintervalle und dem Niveau: Niveau kleiner Intervall breiter

Beispiel Gewicht von Äpfeln Schätzer von  Gewicht von Äpfeln der Sorte Cox-Orange aus einem bestimmten italienischen Anbaugebiet Schätzer von 

Wichtige Eigenschaft der Normalverteilung Für unabhängige normalverteilte Zufallsvariablen X und Y hat man

Konfidenzintervall für den Erwartungswert Varianz bekannt Annahme: Konfidenzintervalle: wobei

In unserem Beispiel: Bei einem Niveau von  = 0.05 ist 1 - /2 = 0.975. Es ergibt sich: und

für die Normalvertreilung Verwendung der Tafel für die Normalvertreilung

Tafel für die Verteilungsfunktion bei Normalverteilung

Beispiel Kaufhaus-Konzern Kauf würde in Erwägung gezogen Kauf würde nicht in Erwägung gezogen 572 1428

Der Zentrale Grenzwertsatz

Approximative Konfidenzintervalle im Bernoulli-Fall I Konfidenzintervall zum Niveau 

Approximative Konfidenzintervalle im Bernoulli-Fall II Vereinfachung für großes n (n  100)