Statistische Methoden II Die Vorlesung Statistische Methoden II findet am 18.5.2007 (nächste Woche) nicht statt. Diese Vorlesung wird zu einem späteren Termin, der noch bekannt gegeben wird, nachgeholt.

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Worum es geht Man möchte „testen“, ob eine bestimmte Annahme (Hypothese) über Parameter der Realität entspricht oder nicht. Formulierung einer Hypothese Nullhypothese In der Statistik kann man nie ganz sicher sein. Die „Irrtumswahrscheinlichkeit“ sollte wenigstens klein sein. Beobachtung (Stichprobe) Vorgabe: „Irrtumswahrscheinlichkeit“ Entscheidung

Mathematischer Rahmen I TESTS Mathematischer Rahmen I Gegeben sind: Statistische Struktur Stetiger Fall Diskreter Fall Testproblem (Hypothese) Nullhypothese Niveau 

Ablehnungsbereich Mathematischer Rahmen II Test gegeben durch: TESTS Mathematischer Rahmen II Test gegeben durch: Ablehnungsbereich Teilmenge der Grundgesamtheit : Menge aller Beobachtungen , die zur Ablehnung der Hypothese führen

Mathematischer Rahmen III TESTS Mathematischer Rahmen III Beobachtung    (Stichprobe) Entweder Oder Beobachtung liegt im Annahmebereich Beobachtung liegt im Ablehnungsbereich Hypothese annehmen! Hypothese ablehnen!

Fehler erster und zweiter Art

Entscheidung Hypothese akzeptiert Hypothese abgelehnt Realität Hypothese wahr Fehler 1. Art Hypothese falsch Fehler 2. Art

Niveau und Macht Obere Grenze für die Wahrscheinlichkeit, einen Fehler 1. Art zu begehen Niveau Wahrscheinlichkeit, keinen Fehler 2. Art zu begehen, wenn der wahre Parameterwert in dem Punkt liegt Macht in einem Punkt der Alternative

2 Würfel Fairer Würfel ? 1/6 Gezinkter Würfel ? 1/5

Tafel für die Verteilungsfunktion bei Normalverteilung

Neyman-Pearson-Test Sei * ein Neyman-Pearson Test vom Niveau . Dann insbesondere: Für einen Test  mit gilt immer:

Jeder Test, der vom Niveau eines gegebenen Neyman- Pearson-Tests ist, besitzt höchstens die Macht dieses Neyman-Pearson-Tests.

1857 - 1936 Geboren in London. Er versuchte, statistische Methoden auf biologische Probleme der Vererbung und der Evolution anzuwenden. In 18 Veröf- fentlichungen mit dem Titel „Mathematical Contributions to the Theory of Evolution“ führte er die Regressions-Analyse, den Korrelationsko- effizienten und den Chi-Quadrat-Test ein.

1895 - 1980 Geboren in London als Sohn von Karl Pearson. Egon Pearson arbeitete ab 1921 im Institut seines Vaters am University College in London. Er besuchte zunächst alle Vorlesungen seines Vaters mit dem Erfolg, dass er bald selbst hervorragende Arbeiten auf dem Gebiet der Statistik produzierte. S. Neyman war 1925 - 26 als Stipendiat am University College. Die Zusammenarbeit mit Egon Pearson begann.

Geboren in Bendery, Moldavien. Als Jerzy Neyman sein Stipendium in London antrat, um mit Karl Pearson zusammenzuarbeiten, war er enttäuscht als er feststellte, dass Karl Pearson die moderne Mathematik ignorierte. Er kooperierte dann mit Egon Pearson und revolutionierte durch seine Ergebnisse die Statistik.

Der Logharithmus ln x ist streng monoton wachsend

Tafel für die Verteilungsfunktion bei Normalverteilung

Approximative Konfidenzintervalle im Bernoulli-Fall II Vereinfachung für großes n (n  100)

Tafel für die Verteilungsfunktion bei Normalverteilung

Beispiel Kaufhaus-Konzern Kauf würde in Erwägung gezogen Kauf würde nicht in Erwägung gezogen 572 1428

Konfidenzintervalle - Tests Zusammenhang Konfidenzintervalle - Tests Gegeben sei ein Konfidenzintervall C() vom Niveau  Für eine einfache Hypothese ist dann mit dem Ablehnungsbereich ein Test vom Niveau  gegeben, denn:

Konfidenzintervalle Intervallschätzung Jeder Beobachtung  wird ein Intervall C() der reellen Zahlen zugeordnet Niveau , Konfidenzniveau 1 -  Dabei ist die Wahrscheinlichkeit, eine Beobachtung zu machen, für die der wahre Parameter im zugehörigen Intervall liegt, größer oder gleich 1 - 

Tafel für die Verteilungsfunktion bei Normalverteilung

Beispiel Gewicht von Äpfeln Gewicht von Äpfeln der Sorte Cox-Orange aus einem bestimmten Anbaugebiet

Tafel für die Verteilungsfunktion bei Normalverteilung AI

Tafel für die Verteilungsfunktion bei Normalverteilung AII

Tafel für die Verteilungsfunktion bei Normalverteilung AIII

BI

BII

BIII

Test für den Erwartungswert Fall Normalverteilung Test für den Erwartungswert Varianz bekannt

Test für den Erwartungswert Fall Normalverteilung Test für den Erwartungswert Varianz unbekannt

Vergleich zweier unabhängiger Stichproben 1. Fall 2 unabhängige Stichproben mit Stichprobenvariablen X und Y Annahmen: X und Y normalverteilt Varianz von X = Varianz von Y Hypothese: Erwartungswert von X = Erwartungswert von Y

Mathematische Bedeutung der Chi-Quadrat-Verteilung Für n unabhängige Zufallsvariablen mit hat man:

Mathematische Bedeutung der t-Verteilung Für unabhängige Zufallsvariablen W und U mit hat man:

Vergleich zweier unabhängiger Stichproben 1. Fall Prüfgröße n: Umfang der Stichprobe 1 (Stichprobenvariable X) m: Umfang der Stichprobe 2 (Stichprobenvariable Y) Ablehnungsbereich  bestimmt durch

Vergleich zweier unabhängiger Stichproben 2. Fall 2 unabhängige Stichproben mit Stichprobenvariablen X und Y Annahmen: X und Y normalverteilt n und m groß (> 30), damit Approximation der Varianzen sinnvoll Erwartungswert von X = Erwartungswert von Y Hypothese:

Vergleich zweier unabhängiger Stichproben 2. Fall Ausgangspunkt Approximation Prüfgröße Ablehnungsbereich  bestimmt durch