Induktive Statistik

Statistische Struktur (diskreter Fall) Dabei sind:

Schätzproblem Schätzer

(mögliche Beobachtungen) Grundgesamtheit (mögliche Beobachtungen) Ω Beobachtung (Stichprobe) Schätzung Modell Θ

(mögliche Beobachtungen) Grundgesamtheit (mögliche Beobachtungen) Ω Beobachtung (Stichprobe) Schätzung Modell g Θ E

Stichprobe (diskreter Fall)

Mathematischer Rahmen

Statistische Struktur diskret stetig

Maximum-Likelihood-Schätzer (diskreter Fall) Likelihood-Funktion M-L-Schätzer mit oder

ist die beste Erklärung für die Der Parameter ist die beste Erklärung für die Beobachtung 

Likelihood-Funktion

Der Logharithmus ln x ist streng monoton wachsend

Beispiel Poisson-Verteilung Stichprobe vom Umfang n mit Poisson-verteilter Stich- Probenvariablen (Intensität:  ) M-L-Schätzer für  oder

Beispiel Bernoulli-Verteilung Stichprobe vom Umfang n mit Bernoulli- verteilter Stichprobenvariablen (p: Wahrscheinlichkeit des Ereignisses) M-L-Schätzer für p wieder gegeben durch:

Maximum-Likelihood-Schätzer (stetiger Fall) Likelihood-Funktion M-L-Schätzer mit oder

ist die beste Erklärung für die Der Parameter ist die beste Erklärung für die Beobachtung 

Beispiel Bernoulli-Verteilung Stichprobe vom Umfang n mit Bernoulli- verteilter Stichprobenvariablen (p: Wahrscheinlichkeit des Ereignisses) M-L-Schätzer für p wieder gegeben durch:

M-L-Schätzer Erwartungswert Normalverteilte Stichprobenvariable M-L-Schätzer Erwartungswert Hier spielt es keine Rolle, ob die Varianz bekannt ist oder nicht. In jedem Fall gilt:

Normalverteilte Stichprobenvariable M-L-Schätzer Varianz  bekannt

Normalverteilte Stichprobenvariable M-L-Schätzer Varianz  unbekannt

Übersicht

Aufgabe 1

Erwartungstreue Schätzer Wenn der Parameter selbst geschätzt werden soll: Wenn ein allgemeines statistisches Problem vorliegt: Dabei bedeutet der Index  , dass der Erwartungswert bzgl. des W.maßes zum Parameter  genommen wird.

Schätzung des Erwartungswertes der Stichprobenvariablen X Statistisches Problem gegeben durch: Erwartungstreuer Schätzer:

Schätzung der Varianz der Stichprobenvariablen X Erwartungswert bekannt Statistisches Problem gegeben durch: Erwartungstreuer Schätzer:

Schätzung der Varianz der Stichprobenvariablen X Erwartungswert unbekannt Statistisches Problem gegeben durch: Erwartungstreuer Schätzer:

Normalverteilte Stichprobenvariable Erwartungstreuer Schätzer für den Erwarungswert Hier spielt es wieder keine Rolle, ob die Varianz bekannt ist oder nicht. In jedem Fall gilt: ist erwartungstreu

Normalverteilte Stichprobenvariable Erwartungstreuer Schätzer für die Varianz  bekannt ist erwartungstreu

Normalverteilte Stichprobenvariable Erwartungstreuer Schätzer für die Varianz  unbekannt ist erwartungstreu Kein M-L-Schätzer!!

Übersicht nicht erwartungstreu erwartungstreu erwartungstreu

Konfidenzintervalle Intervallschätzung Jeder Beobachtung  wird ein Intervall C() der reellen Zahlen zugeordnet Niveau  Dabei ist die Wahrscheinlichkeit, eine Beobachtung zu machen, für die der wahre Parameter im zugehörigen Intervall liegt, größer oder gleich 1 - 

Niveau Das Niveau  wird „klein“ gewählt. (Wir nehmen in unseren Beispielen in den meisten Fällen  = 0.05 oder  = 0.1) Die Intervallbreite soll möglichst gering sein. Es gibt aber einen Zusammenhang zwischen der Breite der Konfidenzintervalle und dem Niveau: Niveau kleiner Intervall breiter

Konfidenzintervall für den Erwartungswert Varianz bekannt Annahme: Konfidenzintervalle: wobei

Die Gauß- oder Normalverteilung

Dichte Verteilung Verteilungsfunktion

Erwartungswert Varianz

Approximative Konfidenzintervalle im Bernoulli-Fall I Konfidenzintervall zum Niveau 

Approximative Konfidenzintervalle im Bernoulli-Fall II Vereinfachung für großes n (n  100)

Aufgabe 2

Die Student- oder t-Verteilung Hängt von Parameter n ab!

Die Student- oder t-Verteilung Wahrscheinlichkeitsdichte Die Konstante d ist dabei:

Die Chi-Quadrat-Verteilung Hängt ebenfalls von Parameter n ab!

Die Chi-Quadrat-Verteilung Wahrscheinlichkeitsdichte Die Konstante c ist dabei:  : Gamma-Funktion

Mathematische Bedeutung der Chi-Quadrat-Verteilung Für n unabhängige Zufallsvariablen mit hat man:

Mathematische Bedeutung der t-Verteilung Für unabhängige Zufallsvariablen W und U mit hat man:

Konfidenzintervall für den Erwartungswert Varianz unbekannt Student-Verteilung (oder t-Verteilung)

Übersicht Konfidenzintervalle für den Erwartungswert

Aufgabe 3

für die Normalvertreilung Verwendung der Tafel für die Normalvertreilung

TESTS TESTS TESTS TESTS TESTS TESTS TESTS

Worum es geht Man möchte „testen“, ob eine bestimmte Annahme (Hypothese) über Parameter der Realität entspricht oder nicht. Formulierung einer Hypothese Nullhypothese In der Statistik kann man nie ganz sicher sein. Die „Irrtumswahrscheinlichkeit“ sollte wenigstens klein sein. Beobachtung (Stichprobe) Vorgabe: „Irrtumswahrscheinlichkeit“ Entscheidung

Mathematischer Rahmen I TESTS Mathematischer Rahmen I Gegeben sind: Statistische Struktur Stetiger Fall Diskreter Fall Testproblem (Hypothese) Nullhypothese Niveau 

Ablehnungsbereich Mathematischer Rahmen II Test gegeben durch: TESTS Mathematischer Rahmen II Test gegeben durch: Ablehnungsbereich Teilmenge der Grundgesamtheit : Menge aller Beobachtungen , die zur Ablehnung der Hypothese führen

Mathematischer Rahmen III TESTS Mathematischer Rahmen III Beobachtung    (Stichprobe) Entweder Oder Beobachtung liegt im Annahmebereich Beobachtung liegt im Ablehnungsbereich Hypothese annehmen! Hypothese ablehnen!

Fehler erster und zweiter Art

Entscheidung Hypothese akzeptiert Hypothese abgelehnt Realität Hypothese wahr Fehler 1. Art Hypothese falsch Fehler 2. Art

Niveau und Macht Obere Grenze für die Wahrscheinlichkeit, einen Fehler 1. Art zu begehen Niveau Wahrscheinlichkeit, keinen Fehler 2. Art zu begehen, wenn der wahre Parameterwert in dem Punkt liegt Macht in einem Punkt der Alternative

Test für den Erwartungswert Fall Normalverteilung Test für den Erwartungswert Varianz bekannt

Test für den Erwartungswert Fall Normalverteilung Test für den Erwartungswert Varianz unbekannt

Aufgabe 4

Aufgabe 5

Vergleich zweier unabhängiger Stichproben 1. Fall 2 unabhängige Stichproben mit Stichprobenvariablen X und Y Annahmen: X und Y normalverteilt Varianz von X = Varianz von Y Hypothese: Erwartungswert von X = Erwartungswert von Y

Vergleich zweier unabhängiger Stichproben 1. Fall Prüfgröße n: Umfang der Stichprobe 1 (Stichprobenvariable X) m: Umfang der Stichprobe 2 (Stichprobenvariable Y) Ablehnungsbereich  bestimmt durch

Aufgabe 6

Vergleich zweier unabhängiger Stichproben 2. Fall 2 unabhängige Stichproben mit Stichprobenvariablen X und Y Annahmen: X und Y normalverteilt n und m groß (> 30), damit Approximation der Varianzen sinnvoll Erwartungswert von X = Erwartungswert von Y Hypothese:

Vergleich zweier unabhängiger Stichproben 2. Fall Ausgangspunkt Approximation Prüfgröße Ablehnungsbereich  bestimmt durch

Aufgabe 7

Chi-Quadrat-Tests

Chi-Quadrat-Test auf Anpassung Hypothese Ablehnungsbereich

Fairer Würfel? Hypothese verwerfen!

Bakterielle Infektion durch Stämme I, II, III (siehe: Gelbrich) Typ I II III Vermutung Prozentsatz 30 50 20 Konkrete Stichprobe (80 Infektionen) Typ I II III Anzahl 30 32 18

Prozentsätze nach der Theorie Mendelsche Gesetze Prozentsätze nach der Theorie rund und gelb runzelig und gelb rund und grün runzelig und grün 0.5625 0.1875 0.0625

Beobachtete Häufigkeiten rund und gelb runzelig und gelb rund und grün runzelig und grün 271 88 93 28 Summe 480

Krankmeldungen Wochentag Mo Di Mi Do Fr n Anzahl Krankmeldungen 44 28 24 20 34 150

Aufgabe 8

Chi-Quadrat-Test auf Unabhängigkeit I

Chi-Quadrat-Test auf Unabhängigkeit II Hypothese Ablehnungsbereich

Chi-Quadrat-Test auf Unabhängigkeit III

Berufsstatus Vater - Sohn Y X 38

Sonntagsfrage Die Ergebnisse der Sonntagsfrage: (Fahrmeir/Künstler/Pigeot/Tutz) Die Ergebnisse der Sonntagsfrage: „Welche Partei würden Sie wählen, wenn am nächsten Sonntag Bundestagswahlen wären?“ sind für den Be- fragungszeitraum 11.1. - 24.1.1995 in der folgenden Tabelle wiedergegeben:

Zwischen Geschlecht und Parteipräferenz besteht Das Untersuchungsziel ist festzustellen, ob die voneinander abweichenden Häufigkeiten für Männer und Frauen rein zufällige Schwankungen Darstellen oder ob zwischen Geschlecht und Partei- präferenz ein Zusammenhang besteht. Nullhypothese: Zwischen Geschlecht und Parteipräferenz besteht kein Zusammenhang

Chi-Quadrat-Test auf Unabhängigkeit zum Niveau = 0.05

Aufgabe 9

Chi-Quadrat-Test auf Homogenität Hypothese Ablehnungsbereich

Produktion zweier Betriebe

(Fahrmeir/Künstler/Pigeot/Tutz) KREDITWÜRDIGKEIT (Fahrmeir/Künstler/Pigeot/Tutz) Eine Bank steht vor dem Problem, einen potentiellen Kreditnehmer einzuschätzen und den Kredit zu vergeben, oder ihn der Klasse der Problemfälle zuzuordnen und auf das Kreditgeschäft zu verzichten bzw.eine genauere Prüfung vorzunehmen. Gesucht wird ein Prädikator für die Kreditwürdigkeit. Hierzu werden 1000 Konsumentenkredite betrachtet. Für jeden Kunden aus dieser Stichprobe ist seine Kredit- würdigkeit X bekannt. Als weiteres Merkmal Y wird notiert, ob der Kunde ein laufendes Konto bei der Bank unterhält und, wenn ja, ob es „gut“ oder „mittel“ geführt wird.

Merkmal X: Kreditwürdigkeit Merkmal Y: Konto Wertungen kein Konto gut geführt mittel gut geführt

Chi-Quadrat-Test auf Homogenität zum Niveau = 0.05 Nullhypothese: Verteilung auf die Kategorien des Merkmals „Konto“ ist für unproblematische Kreditnehmer und für Problemkunden gleich

Aufgabe 10

Aufgabe 11

Aufgabe 12

Übersicht Chi-Quadrat-Tests

Test auf Unabhängigkeit Faustregeln Chi-Quadrat-Tests Test auf Anpassung Test auf Unabhängigkeit Test auf Homogenität

Kolmogorov-Smirnov-Test wird eingesetzt, wenn getestet werden soll, ob eine bestimmte stetige Verteilung vorliegt.

Durchführung Kolmogorov-Smirnov-Test I Berechnung Hypothese Abstände berechnen )

Durchführung Kolmogorov-Smirnov-Test II Arbeitstabelle Maximum der Werte der letzten beiden Spalten

Durchführung Kolmogorov-Smirnov-Test III Ablehnungsbereich Niveau 0.05

Durchmesser von Schrauben

Durchmesser von Schrauben Arbeitstabelle

Durchmesser von Schrauben  und  nicht spezifiziert Arbeitstabelle

Einfache Varianzanalyse wird eingesetzt, wenn mehr als 2 unabhängige normalverteilte Stichproben verglichen werden sollen, deren Varianz als übereinstimmend angenommen werden kann.

Datenliste

Gewicht eines Werkstückes bei 3 Betrieben (in kg)

Mittelwerte der Klassen und Gesamtmittelwert

Mittelwert Betrieb 1 Mitttelwert Betrieb 2 Gesamt- Mittelwert Mittelwert Betrieb 3

F-Verteilung für verschiedene Freiheitsgrade m, n

Wahrscheinlichkeitsdichte Die F-Verteilung Wahrscheinlichkeitsdichte  : Gamma-Funktion

Durchführung der einfachen Varianzanalyse I N: Gesamtumfang der Stichproben; r: Zahl der Betriebe Benötigte Daten: Mittelwerte und Varianzen der einzelnen Betriebe Gesamtmittelwert Berechnung von Q : Maß für die Varianz innerhalb der einzelnen Betriebe Q : Maß für die Varianz zwischen den Betrieben 1 2 1 2

Durchführung der einfachen Varianzanalyse II

Durchführung der einfachen Varianzanalyse III Berechnung von Bestimmung von  Ablehnungsbereich

Viel Erfolg bei der Klausur!!!