K. Desch - Statistik und Datenanalyse SS05 Zusammenfassung 4. Vorlesung (13.5) Charakteristische Funktion: bis auf Faktor die Fouriertransformierte von f. Durch Rücktransformation erhält man die Wahrscheinlichkeitsdichte f: Für diskrete Zufallsvariablen: Rücktransformation: K. Desch - Statistik und Datenanalyse SS05

K. Desch - Statistik und Datenanalyse SS05 Zusammenfassung 4. Vorlesung (13.5) Die charakteristische Funktion einer Summe von Zufallszahlen ist dem Produkt der charakteristischen Funktionen der einzelnen Zufallszahlen Die algebraischen Momente können aus der char. Fkt. leicht berechnet werden: Charakteristische Funktion einer Gauss-Verteilung: Charakteristische Funktion einer Gaussverteiltung ist wieder Gaussverteilung K. Desch - Statistik und Datenanalyse SS05

K. Desch - Statistik und Datenanalyse SS05 Zusammenfassung 4. Vorlesung (13.5) Summe zweier Gaussverteilungen ist wieder gaussverteilt mit: und (Beweis über charakt. Fkt.) Gaussverteilung in mehreren Dimensionen: Für zwei Dimensionen: Fläche innerhalb 1-Kontur: 39.35% (kleiner als im 1D-Fall!) K. Desch - Statistik und Datenanalyse SS05

K. Desch - Statistik und Datenanalyse SS05 Zusammenfassung 4. Vorlesung (13.5) Der zentrale Grenzwertsatz: Sei die Summe aus n unabhängigen Zufallsvariablen mit beliebiger Wahrscheinlichkeitsdichte mit Mittelwert <x> und Varianz 2 Im Grenzwert geht die Wahrscheinlichkeitsdichte von w gegen eine Gaussverteilung mit E[w] = n<x> und V[w] = n 2 Beweis s. z.B. Brandt wichtigster Satz der Statistik! K. Desch - Statistik und Datenanalyse SS05

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K. Desch - Statistik und Datenanalyse SS05 Zusammenfassung 4. Vorlesung (13.5) Weitere kontinuierliche Wahrscheinlichkeitsverteilungen: Gleichverteilung Cauchy (Breit-Wigner-, Lorentz-) Verteilung : Breite = FWHM Verteilung hat lange Ausläufer, Integral, Varianz nicht definiert! i.d. Praxis: abschneiden K. Desch - Statistik und Datenanalyse SS05

K. Desch - Statistik und Datenanalyse SS05 Zusammenfassung 4. Vorlesung (13.5) Breit-Wigner (=1) Gauss (=1) K. Desch - Statistik und Datenanalyse SS05

K. Desch - Statistik und Datenanalyse SS05 Zusammenfassung 4. Vorlesung (13.5) 3. 2 - Verteilung x1,…,xn gaußverteilte Zufallszahlen mit i=0, i=1. Dann folgt die Summe der Quadrate, , einer 2 – Verteilung mit n Freiheitsgraden (x): eulersche Gamma-Funktion (interpoliert Fakultät) 2 – Verteilung spielt wichtige Rolle bei statistischen Tests Maximum bei n-2 Erwartungswert E[u] = n Varianz V[u] = 2n K. Desch - Statistik und Datenanalyse SS05

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