Gedämpfte harmonische Schwingungen

Gedämpfte harmonische Schwingungen ds FR = -b b = Dämpfungskonstante dt

Gedämpfte harmonische Schwingungen = v ds FR = -b b = Dämpfungskonstante dt

Gedämpfte harmonische Schwingungen = v ds FR = -b b = Dämpfungskonstante dt ds F = -Ds - b dt

Gedämpfte harmonische Schwingungen = v ds FR = -b b = Dämpfungskonstante dt ds F = -Ds - b dt D = w0 = Kreisfrequenz der ungedämpften Schwingung m

Gedämpfte harmonische Schwingungen = v ds FR = -b b = Dämpfungskonstante dt ds F = -Ds - b dt D = w0 = Kreisfrequenz der ungedämpften Schwingung m b = d = Abklingkonstante 2m

Gedämpfte harmonische Schwingungen = v ds FR = -b b = Dämpfungskonstante dt ds F = -Ds - b dt D = w0 = Kreisfrequenz der ungedämpften Schwingung m b = d = Abklingkonstante 2m d2s ds + 2d + w02s = 0 dt2 dt

Gedämpfte harmonische Schwingungen = v ds FR = -b b = Dämpfungskonstante dt ds F = -Ds - b dt D = w0 = Kreisfrequenz der ungedämpften Schwingung m b = d = Abklingkonstante 2m d2s ds ^ Þ s(t) = e-dt s cos(wdt-j0) + 2d + w02s = 0 dt2 dt

Gedämpfte harmonische Schwingungen = v ds FR = -b b = Dämpfungskonstante dt ds F = -Ds - b dt D = w0 = Kreisfrequenz der ungedämpften Schwingung m b = d = Abklingkonstante exponentiell abnehmende Amplitude 2m d2s ds ^ Þ s(t) = e-dt s cos(wdt-j0) + 2d + w02s = 0 dt2 dt

Gedämpfte harmonische Schwingungen = v ds FR = -b b = Dämpfungskonstante dt ds F = -Ds - b dt D = w0 = Kreisfrequenz der ungedämpften Schwingung m b = d = Abklingkonstante 2m d2s ds ^ Þ s(t) = e-dt s cos(wdt-j0) + 2d + w02s = 0 dt2 dt mit wd = w02 - d2 Kreisfrequenz der gedämpften Schwingung

Gedämpfte harmonische Schwingungen = v ds FR = -b b = Dämpfungskonstante dt ds F = -Ds - b dt D = w0 = Kreisfrequenz der ungedämpften Schwingung m b = d = Abklingkonstante 2m d2s ds ^ Þ s(t) = e-dt s cos(wdt-j0) + 2d + w02s = 0 dt2 dt mit wd = w02 - d2 ^ w02e-dt s coswdt

Gedämpfte harmonische Schwingungen = v ds FR = -b b = Dämpfungskonstante dt ds F = -Ds - b dt D = w0 = Kreisfrequenz der ungedämpften Schwingung m b = d = Abklingkonstante 2m d2s ds ^ Þ s(t) = e-dt s cos(wdt-j0) + 2d + w02s = 0 dt2 dt mit wd = w02 - d2 ^ w02e-dt s coswdt ^ ^ -2d2e-dt s coswdt - 2dwde-dt s sinwdt

Gedämpfte harmonische Schwingungen = v ds FR = -b b = Dämpfungskonstante dt ds F = -Ds - b dt D = w0 = Kreisfrequenz der ungedämpften Schwingung m b = d = Abklingkonstante 2m d2s ds ^ Þ s(t) = e-dt s cos(wdt-j0) + 2d + w02s = 0 dt2 dt mit wd = w02 - d2 ^ w02e-dt s coswdt ^ ^ -2d2e-dt s coswdt - 2dwde-dt s sinwdt ^ ^ d2e-dt s coswdt + dwde-dt s sinwdt +

Gedämpfte harmonische Schwingungen = v ds FR = -b b = Dämpfungskonstante dt ds F = -Ds - b dt D = w0 = Kreisfrequenz der ungedämpften Schwingung m b = d = Abklingkonstante 2m d2s ds ^ Þ s(t) = e-dt s cos(wdt-j0) + 2d + w02s = 0 dt2 dt mit wd = w02 - d2 ^ w02e-dt s coswdt ^ ^ -2d2e-dt s coswdt - 2dwde-dt s sinwdt ^ ^ ^ ^ d2e-dt s coswdt + dwde-dt s sinwdt + dwde-dt s sinwdt - wd2e-dt s coswdt

Gedämpfte harmonische Schwingungen = v ds FR = -b b = Dämpfungskonstante dt ds F = -Ds - b dt D = w0 = Kreisfrequenz der ungedämpften Schwingung m b = d = Abklingkonstante 2m d2s ds ^ Þ s(t) = e-dt s cos(wdt-j0) + 2d + w02s = 0 dt2 dt mit wd = w02 - d2 ^ w02e-dt s coswdt ^ ^ -2d2e-dt s coswdt - 2dwde-dt s sinwdt ^ ^ ^ ^ d2e-dt s coswdt + dwde-dt s sinwdt + dwde-dt s sinwdt - wd2e-dt s coswdt

Gedämpfte harmonische Schwingungen = v ds FR = -b b = Dämpfungskonstante dt ds F = -Ds - b dt D = w0 = Kreisfrequenz der ungedämpften Schwingung m b = d = Abklingkonstante 2m d2s ds ^ Þ s(t) = e-dt s cos(wdt-j0) + 2d + w02s = 0 dt2 dt mit wd = w02 - d2 ^ w02e-dt s coswdt ^ -2d2e-dt s coswdt ^ ^ d2e-dt s coswdt - wd2e-dt s coswdt

Gedämpfte harmonische Schwingungen = v ds FR = -b b = Dämpfungskonstante dt ds F = -Ds - b dt D = w0 = Kreisfrequenz der ungedämpften Schwingung m b = d = Abklingkonstante 2m d2s ds ^ Þ s(t) = e-dt s cos(wdt-j0) + 2d + w02s = 0 dt2 dt mit wd = w02 - d2 w02 -2d2 d2 - wd2

d < w0: schwache Dämpfung wd reell ^ s(t) = e-dt s cos wdt mit wd = w02 - d2

d < w0: schwache Dämpfung wd reell d = w0: aperiodischer Grenzfall wd = 0 ^ s(t) = e-dt s cos wdt mit wd = w02 - d2

d < w0: schwache Dämpfung wd reell d = w0: aperiodischer Grenzfall wd = 0 d > w0: starke Dämpfung wd imaginär ^ s(t) = e-dt s cos wdt mit wd = w02 - d2

d < w0: schwache Dämpfung wd reell wd < w0 ^ s(t) = e-dt s cos wdt mit wd = w02 - d2

d < w0: schwache Dämpfung wd reell wd < w0 Die Schwingungsdauer Td wird größer als im ungedämpften Fall. ^ s(t) = e-dt s cos wdt mit wd = w02 - d2

d < w0: schwache Dämpfung wd reell wd < w0 Die Schwingungsdauer Td wird größer als im ungedämpften Fall. ^ s(t) = e-dt s cos wdt mit wd = w02 - d2

d < w0: schwache Dämpfung wd reell wd < w0 Die Schwingungsdauer Td wird größer als im ungedämpften Fall. s t ^ s(t) = e-dt s cos wdt mit wd = w02 - d2

d < w0: schwache Dämpfung wd reell wd < w0 Die Schwingungsdauer Td wird größer als im ungedämpften Fall. Exponentiell abnehmende Amplitude: Faktor e-dt s t ^ s(t) = e-dt s cos wdt mit wd = w02 - d2

d < w0: schwache Dämpfung wd reell wd < w0 Die Schwingungsdauer Td wird größer als im ungedämpften Fall. Exponentiell abnehmende Amplitude: Faktor e-dt Für jeden Zeitpunkt (Td + t ) ist die momentane Auslenkung s(Td + t ) um den Faktor e-dTd kleiner als eine Periodendauer Td = 2p/wd zuvor. s t ^ s(t) = e-dt s cos wdt mit wd = w02 - d2

d < w0: schwache Dämpfung wd reell wd < w0 Die Schwingungsdauer Td wird größer als im ungedämpften Fall. Exponentiell abnehmende Amplitude: Faktor e-dt Für jeden Zeitpunkt (Td + t ) ist die momentane Auslenkung s(Td + t ) um den Faktor e-dTd kleiner als eine Periodendauer Td = 2p/wd zuvor. s t L = dTd: logarithmisches Dekrement ^ s(t) = e-dt s cos wdt mit wd = w02 - d2

d < w0: schwache Dämpfung wd reell wd < w0 Die Schwingungsdauer Td wird größer als im ungedämpften Fall. Exponentiell abnehmende Amplitude: Faktor e-dt Für jeden Zeitpunkt (Td + t ) ist die momentane Auslenkung s(Td + t ) um den Faktor e-dTd kleiner als eine Periodendauer Td = 2p/wd zuvor. s t L = dTd: logarithmisches Dekrement Aus der Messung des logarithmischen Dekrementes L und der Schwingungsdauer Td lassen sich bei bekannter Masse die Parameter D und b des Systems bestimmen.

d < w0: schwache Dämpfung wd reell wd < w0 Die Schwingungsdauer Td wird größer als im ungedämpften Fall. Exponentiell abnehmende Amplitude: Faktor e-dt Für jeden Zeitpunkt (Td + t ) ist die momentane Auslenkung s(Td + t ) um den Faktor e-dTd kleiner als eine Periodendauer Td = 2p/wd zuvor. s t L = dTd: logarithmisches Dekrement Aus der Messung des logarithmischen Dekrementes L und der Schwingungsdauer Td lassen sich bei bekannter Masse die Parameter D und b des Systems bestimmen. b = 2md = 2mL/Td

d < w0: schwache Dämpfung wd reell wd < w0 Die Schwingungsdauer Td wird größer als im ungedämpften Fall. Exponentiell abnehmende Amplitude: Faktor e-dt Für jeden Zeitpunkt (Td + t ) ist die momentane Auslenkung s(Td + t ) um den Faktor e-dTd kleiner als eine Periodendauer Td = 2p/wd zuvor. s t L = dTd: logarithmisches Dekrement Aus der Messung des logarithmischen Dekrementes L und der Schwingungsdauer Td lassen sich bei bekannter Masse die Parameter D und b des Systems bestimmen. b = 2md = 2mL/Td w0 = wd2 + d2 = D/m

d < w0: schwache Dämpfung wd reell wd < w0 Die Schwingungsdauer Td wird größer als im ungedämpften Fall. Exponentiell abnehmende Amplitude: Faktor e-dt Für jeden Zeitpunkt (Td + t ) ist die momentane Auslenkung s(Td + t ) um den Faktor e-dTd kleiner als eine Periodendauer Td = 2p/wd zuvor. s t L = dTd: logarithmisches Dekrement Aus der Messung des logarithmischen Dekrementes L und der Schwingungsdauer Td lassen sich bei bekannter Masse die Parameter D und b des Systems bestimmen. b = 2md = 2mL/Td 4p2 + L2 Þ D = m w0 = wd2 + d2 = D/m Td2

d = w0: aperiodischer Grenzfall wd = 0

d = w0: aperiodischer Grenzfall wd = 0 einfachste Lösung ^ s(t) = e-dt s

d = w0: aperiodischer Grenzfall wd = 0 einfachste Lösung ^ s(t) = e-dt s Anwendung: Vermeidung von Schwingungen

d = w0: aperiodischer Grenzfall wd = 0 einfachste Lösung ^ s(t) = e-dt s Anwendung: Vermeidung von Schwingungen d > w0: starke Dämpfung (Kriechfall) wd imaginär Wie beim aperiodischen Grenzfall fehlt auch bei der starken Dämpfung das wesentliche Kennzeichen einer Schwingung, nämlich die Reproduktion des vorhergehenden Zustands.

d = w0: aperiodischer Grenzfall wd = 0 einfachste Lösung ^ s(t) = e-dt s Anwendung: Vermeidung von Schwingungen d > w0: starke Dämpfung (Kriechfall) wd imaginär Wie beim aperiodischen Grenzfall fehlt auch bei der starken Dämpfung das wesentliche Kennzeichen einer Schwingung, nämlich die Reproduktion des vorhergehenden Zustands. Wegen der formalen Analogie zur schwach gedämpften Schwingung spricht man jedoch auch hier von einer (stark) gedämpften Schwingung.

[2.20] Ein gedämpft schwingendes Federpendel mit der Federkonstante D = 1 N/m erreicht nacheinander die Amplituden 1,000 Skalenteile; 0,368 Skt; 0,135 Skt; ? Skt. Die Schwingungsdauer Td beträgt 1,00 s. Wie groß ist die Dämpfungskonstante b?