Nullstellen Analyse.

Präsentation zum Thema: "Nullstellen Analyse."—  Präsentation transkript:

1 Nullstellen Analyse

2 Aufgabe: Es werden die Funktionen l mit l(x) = a * cos(b * x) + c im Intervall -7 <= x <= 7 betrachtet, wobei x, a, b, c reelle Zahlen und die Parameter a und b ungleich 0 sind. Diese Funktionen sind auf Nullstellen zu untersuchen. Die Anzahl und Größe der Nullstellen soll in Abhängigkeit der Parameter a, b und c systematisch dargestellt werden.

3 Allgemeines Aussehen der Funktion
𝑙 𝑥 =𝑎 ∗ cos 𝑏∗𝑥 +𝑐 | −7≤𝑥 ≤7

4 Y – Achsen Transformation| Parameter c
Skalierung der Amplitude | Parameter a Frequenzskalierung| Parameter b

5 𝐵𝑒𝑑𝑖𝑛𝑔𝑢𝑛𝑔 𝑓ü𝑟 eine 𝑁𝑢𝑙𝑙𝑠𝑡𝑒𝑙𝑙𝑒 | 𝑙 𝑥 =0

6 𝐵𝑠𝑝: 𝐹𝑢𝑛𝑘𝑡𝑖𝑜𝑛 𝑏𝑒𝑠𝑖𝑡𝑧𝑡 𝑔𝑒𝑛𝑎𝑢 16 𝑁𝑢𝑙𝑙𝑠𝑡𝑒𝑙𝑙𝑒𝑛

7 bei beliebigen Parametern a, b und c.
𝑍𝑖𝑒𝑙 :𝑉𝑒𝑟𝑎𝑙𝑙𝑔𝑒𝑚𝑒𝑖𝑛𝑒𝑟𝑢𝑛𝑔 𝑧𝑢𝑟 𝑒𝑥𝑎𝑘𝑡𝑒𝑛 𝐵𝑒𝑠𝑡𝑖𝑚𝑚𝑢𝑛𝑔 𝑑𝑒𝑟 𝐴𝑛𝑧𝑎ℎ𝑙 𝑎𝑛 𝑁𝑢𝑙𝑙𝑠𝑡𝑒𝑙𝑙𝑒𝑛 bei beliebigen Parametern a, b und c.

8 𝐹𝑟𝑒𝑞𝑢𝑒𝑛𝑧 𝑓ü𝑟 1 𝑊𝑒𝑙𝑙𝑒𝑛𝑏𝑎𝑢𝑐ℎ 𝑖𝑚 𝐼𝑛𝑡𝑒𝑟𝑣𝑎𝑙𝑙
cos 𝑥 𝑖𝑚 𝐵𝑜𝑔𝑒𝑛𝑚𝑎ß =>𝑥 𝑖𝑠𝑡 𝑒𝑖𝑛 𝑉𝑖𝑒𝑙𝑓𝑎𝑐ℎ𝑒𝑠 𝑣𝑜𝑛 𝜋 𝑃𝑒𝑟𝑖𝑜𝑑𝑒𝑛𝑑𝑎𝑢𝑒𝑟=2𝜋 1 𝑊𝑒𝑙𝑙𝑒𝑛𝑏𝑎𝑢𝑐ℎ= 𝜋 Periode Wellenbauch

9 𝐴𝑐ℎ𝑠𝑒𝑛𝑠𝑦𝑚𝑚𝑒𝑡𝑟𝑖𝑒=𝑁𝑢𝑟 𝑑𝑖𝑒 𝐻ä𝑙𝑓𝑡𝑒 𝑑𝑒𝑠 𝐼𝑛𝑡𝑒𝑟𝑣𝑎𝑙𝑙𝑠
1 𝐻ä𝑙𝑓𝑡𝑒 ℎ𝑎𝑡 𝑃𝑒𝑟𝑖𝑜𝑑𝑒𝑛=>2𝜋∗3 1 2 =7𝜋 1 𝑊𝑒𝑙𝑙𝑒𝑛𝑏𝑎𝑢𝑐ℎ= 𝜋 7 Periode

10 Zusätzlicher Hyperparameter ℕ 𝑎𝑛𝑠𝑡𝑒𝑙𝑙𝑒 𝑣𝑜𝑛 𝑏
ℕ∈ℕ 𝑙 𝑥 =𝑎 ∗ cos ℕ∗ 𝜋 7 ∗𝑥 +𝑐 | −7≤𝑥 ≤7

11 ℕ=3=> Wellenbäuche = 3
|−7≤𝑥 ≤0 |0≤𝑥 ≤7

12 𝑎=2 | 𝑐=0 => Anzahl der Nullstellen: 2

13 Gemeinsamkeiten 𝑎∗𝑐=0 | 𝐴𝑛𝑧𝑎ℎ𝑙 𝑑𝑒𝑟 𝑁𝑢𝑙𝑙𝑠𝑡𝑒𝑙𝑙𝑒𝑛=2
𝑎∗𝑐<0| 𝐴𝑛𝑧𝑎ℎ𝑙 𝑑𝑒𝑟 𝑁𝑢𝑙𝑙𝑠𝑡𝑒𝑙𝑙𝑒𝑛=1 𝑎∗𝑐>0| 𝐴𝑛𝑧𝑎ℎ𝑙 𝑑𝑒𝑟 𝑁𝑢𝑙𝑙𝑠𝑡𝑒𝑙𝑙𝑒𝑛=2 𝐵𝑒𝑖 𝑢𝑛𝑔𝑒𝑟𝑎𝑑𝑒𝑚 ℕ=1

14 𝑎=2 | 𝑐=0 => Anzahl der Nullstellen: 4

15 Gemeinsamkeiten 𝑎∗𝑐=0 | 𝐴𝑛𝑧𝑎ℎ𝑙 𝑑𝑒𝑟 𝑁𝑢𝑙𝑙𝑠𝑡𝑒𝑙𝑙𝑒𝑛=4
𝑎∗𝑐<0| 𝐴𝑛𝑧𝑎ℎ𝑙 𝑑𝑒𝑟 𝑁𝑢𝑙𝑙𝑠𝑡𝑒𝑙𝑙𝑒𝑛=3 𝑎∗𝑐>0| 𝐴𝑛𝑧𝑎ℎ𝑙 𝑑𝑒𝑟 𝑁𝑢𝑙𝑙𝑠𝑡𝑒𝑙𝑙𝑒𝑛=2 𝐵𝑒𝑖 𝑔𝑒𝑟𝑎𝑑𝑒𝑚 ℕ=2

16 𝐴𝑥𝑖𝑜𝑚𝑒 𝑐 ≤ 𝑎 𝜋 7 ≤𝑏 𝑀𝑖𝑛𝑑𝑒𝑠𝑡𝑒𝑛𝑠 1 𝑁𝑢𝑙𝑙𝑠𝑡𝑒𝑙𝑙𝑒 𝐴𝑛𝑧𝑎ℎ𝑙 𝑑𝑒𝑟 𝑁𝑢𝑙𝑙𝑠𝑡𝑒𝑙𝑙𝑒𝑛
𝑐 ≤ 𝑎 𝜋 7 ≤𝑏 𝑀𝑖𝑛𝑑𝑒𝑠𝑡𝑒𝑛𝑠 1 𝑁𝑢𝑙𝑙𝑠𝑡𝑒𝑙𝑙𝑒 𝑊𝑒𝑛𝑛 𝑐 < 𝑎 | 𝑁𝑢𝑙𝑙𝑠𝑡𝑒𝑙𝑙𝑒𝑛=2ℤ 𝑊𝑒𝑛𝑛 𝑐 ≤ 𝑎 𝑊𝑒𝑛𝑛 𝑀𝑜𝑑 ℤ =0 𝑊𝑒𝑛𝑛 𝑎 ∗𝑐>0 |𝑁𝑢𝑙𝑙𝑠𝑡𝑒𝑙𝑙𝑒𝑛=ℤ 𝑊𝑒𝑛𝑛 𝑎 ∗𝑐<0 | 𝑁𝑢𝑙𝑙𝑠𝑡𝑒𝑙𝑙𝑒𝑛=ℤ+1 𝑊𝑒𝑛𝑛 𝑀𝑜𝑑 ℤ =2 𝑊𝑒𝑛𝑛 𝑎 ∗𝑐>0 |𝑁𝑢𝑙𝑙𝑠𝑡𝑒𝑙𝑙𝑒𝑛=ℤ+1 𝑊𝑒𝑛𝑛 𝑎 ∗𝑐<0 | 𝑁𝑢𝑙𝑙𝑠𝑡𝑒𝑙𝑙𝑒𝑛=ℤ 𝐴𝑛𝑧𝑎ℎ𝑙 𝑑𝑒𝑟 𝑁𝑢𝑙𝑙𝑠𝑡𝑒𝑙𝑙𝑒𝑛