Heute Prüfung der Produkt-Moment Korrelation Chi – Quadrat Tests für Häufigkeiten

Prüfung von Korrelationen Fall 1: Prüfung von r = 0 („Signifikanz der Korrelation“) Direkte Prüfung in t – Verteilung! Fall 2: Prüfung von r = r („Übereinstimmung mit bekannter Pop-Korrelation“ ) Fall 3: Prüfung, ob r1 und r2 mit der Annahme derselben Korrelation in der Pop. verträglich sind („Unterschiedsprüfung der Korrelationskoeffizienten“) Fisher Z - Transformation der Korrelationen Prüfung in Normalverteilung

Verteilung von Produkt-Moment-Korrelationen Prüft man die Verträglichkeit von r mit der Annahme r = 0, so gilt: 0.10 Wahrscheinlichkeitsdichte 0.05 Mit df = N – 2 (Freiheitsgrade) 0.00 -1.0 -0.75 -0.375 0.375 0.75 1.0 Die Verteilung von Korrelationskoeffizienten um den Erwartungswert r =0 folgt einer t- Verteilung !

Vergleich mit einem Korrelationsparameter Prüft man die Annahme daß r einer Population mit dem wahren Parameter r entstammt, gilt: Zum Ausgleich der Beschränktheit des Wertebereichs der Korrelation muß die Fisher - Z - Transformation angewandt werden! Es gilt: und: Die Verteilung von Fisher Z Transformationen der Korrelationen folgt einer Normalverteilung !

Vergleich zweier Korrelationen Prüft man, ob zwei Stichprobenkorrelationen aus einer Population mit demselben Korrelationsparameter stammen, gilt: mit: Die Differenzen von Fisher Z transformierten Variablen sind normalverteilt!

Chi-Quadrat Tests für Häufigkeiten Zur Prüfung von Häufigkeitsunterschieden Zur Prüfung der Unabhängigkeit zweier nominalskalierter Variablen Zur Prüfung der Übereinstimmung einer empirischen mit einer theoretischen Verteilung

Chi - Quadrat Die generelle Form des Chi – Quadrat für Häufigkeiten ist: mit: Dieses Schema wird flexibel auf die jeweilige Fragestellung angewandt. Die Frage ist, nach welchem Kriterium sich die erwarteten Häufigkeiten ergeben ! Das einache c2 hat k-1 Freiheitsgrade, die zugehörige Wahrscheinlichkeitsverteilung ist die c2 Verteilung.

Chi – Quadrat Test auf Unabhängigkeit Man hat eine l  k Kreuztabelle: Merkmal A + - o11 o12 SB+ o21 o22 SB- SA+ SA- N Merkmal B Ferner gilt: Erwartete Häufigkeit eij:

Chi – Quadrat Test: Verteilungsanpassung Sind die Abweichungen von empirischer und theoretischer Verteilung nur zufällig oder systematisch?

Chi – Quadrat Test: Verteilungsanpassung Die erwarteten relativen Häufigkeiten berechnet man aus der Differenz der Werte der Verteilungsfunktion für die exakten Intervallgrenzen Die erwarteten Häufigkeiten ergeben sich durch Multiplikation mit der Anzahl der Beobachtungen N. [Tafelbeispiel]

Häufigkeitsverteilungen zu Aufgabe 3 h(x) beobachtet h(x) erwartet als Normalverteilung 4000 4000 3000 3000 2000 2000 1000 1000 x x 100 300 500 700 900 1100 1300 1500 1700 1900 100 300 500 700 900 1100 1300 1500 1700 1900 h(x) 4000 3000 Vergleich: 2000 1000 x 100 300 500 700 900 1100 1300 1500 1700 1900