Kontinuität Impulssatz Energiesatz Hydraulik I W. Kinzelbach Ideale Fluide Kontinuität Impulssatz Energiesatz

Hydrodynamik idealer Fluide Differentielle Betrachtung Betrachtung am endl. Kontrollvolumen Instationär v(x,t), p(x,t) ungleichförmig Stationär v(x), p(x) gleichförmig Stromlinie: In jedem Punkt tangential zu Geschwindigkeitsfeld Stromröhre: Mantel besteht aus Stromlinien Bahnlinie: Trajektorie eines Füssigkeitsteilchen Streichlinie: Verbindungslinie aller Teilchen, die einen festen Punkt passiert haben

Hydrodynamik idealer Fluide Bei stationärer Strömung sind Stromlinien, Bahnlinien und Streichlinien identisch.

Stromlinien in instationärer Strömung Geschwindigkeit Zeit t1 t2 t3 y t2 t1 t3 x

Bahnlinien in instationärer Strömung Geschwindigkeit Zeit t1 t2 t3 y t3 t2 t1 x

Streichlinien in instationärer Strömung Geschwindigkeit Zeit t1 t2 t3 y t2 t3 t1 x

Stromlinien, laminare Strömung

Laminar-turbulent

Ablösung

Hydrodynamik idealer Fluide

Bahnlinien in Wellen

3 Grundprinzipien Massenerhaltung (Kontinuitätsgleichung) Impulserhaltung (Bewegungsgleichung) Energieerhaltung (Bernoulligleichung) Die beiden ersten: allgemein gültig Das dritte: Nur für ideale Fluide Betrachtung: Jeweils differentiell und am endlichen Kontrollvolumen

Kontinuitätsgleichung (Differentiell)(1)

Kontinuitätsgleichung (Differentiell)(2) r = constant Inkompressibilitäts- bedingung

Kontinuitätsgleichung an Kontrollvolumen (geschickte Wahl: Stromlinien senkrecht oder parallel zum Rand) Stationäre Verhältnisse: Kontraktion: Beschleunigung, Aufweitung: Verlangsamung

Impulssatz (Differentiell)(1) Lagrange‘sche Betrachtung (im mitbewegten Koordinatensystem) Newton für Fluide:

Impulssatz (Differentiell)(2) Lokale Beschleunigung Advektive Beschleunigung

Impulssatz (Differentiell)(3) fi Kraft pro Volumeneinheit Bei idealem Fluid nur Druck- und Gewichtskraft Druckkraft/Volumen Schwerkraft/Volumen

Impulssatz (Differentiell)(4) + A.B. + R.B. Eulersche Bewegungsgleichung Unterschiede in hp treiben die Strömung an Zusammen mit Kontinuitätsbedingung 4 Gleichungen für 4 unbekannte Funktionen p (bzw. hp) und vx,vy,vz

Anwendung Niveaufläche des Drucks: Mit Eulergleichung: Beispiel 1:

Anwendung Beispiel 3: Niveaufläche: Rotationsparaboloid

Impulssatz (am Kontrollvolumen) Impulsfluss im Eintrittsquerschnitt = Impulsfluss im Aus- trittsquerschnitt Q = Durchfluss = v A Äussere Kräfte: pA = Druckkräfte K = Mantelkräfte G = Gewicht

Impulssatz (am Kontrollvolumen) Impulsänderungen erfordern Kräfte Beispiele: Wasserstrahl auf Wand Krümmer Rohrverengung Newton für Volumen: Wahl des Kontrollvolumens derart, dass Fliessgeschwindigkeit tangential zum Rand oder senkrecht zum Rand ist, oder die Strömung den Rand nie tangiert. Ausserdem wird über Zu-Abflussrandflächen die Geschwindigkeit auf jeder Fläche homogen verteilt angenommen

Impulssatz (am Kontrollvolumen) In einer Zu-Abflussfläche gilt bei stationärer Strömung: Wenn sich die Impulsflüsse über den Rand nicht wegheben, müssen äussere Kräfte den Unterschied ausgleichen

Impulssatz (am Kontrollvolumen) Zufluss in Kontrollvolumen importiert Impuls Abfluss aus Kontrollvolumen hinterlässt Rückstoss Stützkraftsatz: S1 und S2 sind Stützkräfte Impulssatz gilt immer, auch wenn Energie nicht erhalten ist

Bernoulligleichung (verlustfrei) Gesamtenergie eines Fluidvolumens = Lageenergie + Druckenergie + kinetische Energie Energiehöhe = Energie pro Gewichtseinheit des Fluids Satz von Bernoulli: H1 = H2

Bernoulligleichung (verlustfrei) Herleitung aus Eulergleichung mit und Stationarität der Strömung Bernoulli gilt in rotationsfreier Strömung zwischen zwei beliebigen Punkten sonst zwischen zwei Punkten auf einer Stromlinie

Bernoulli am Kontrollvolumen

Behälterauslauf H1 = H2

Strahl gegen Wand

Strahlumlenkung Doppelte Kraftübertragung

Querschnittserweiterung

Borda-Öffnung Gesucht: Kontraktionskoeffizient cc=A2/A1

Horizontaler Krümmer Gesucht: Reaktionskraft W