Navier-Stokes Gleichung

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1 Navier-Stokes Gleichung
Hydraulik I W. Kinzelbach Reale Fluide Navier-Stokes Gleichung Turbulenz Potentialströmung

2 Reale Fluide 1 Laminare Strömung (Zähigkeit dominiert)
Turbulente Strömung (Trägheit dominiert) Umschlag laminar-turbulent Kriterium Reynoldszahl in Rohrströmung Kritische Reynoldszahl für Umschlag Re=2300

3 Reale Fluide 2 Euler Zahl Froude Zahl

4 Reibungskräfte

5 Reibungskräfte 2

6 Reibungskräfte 3 Unter Verwendung von

7 Navier-Stokes Gleichung 1
Kontinuität +A.B +R.B. 4 Gleichungen für 4 unbekannte Funktionen: vx, vy, vz, p

8 Navier-Stokes Gleichung 2
Dimensionslose Form mit Massstäben L, T, U=L/T t = Tt* x = Lx* u = Uu* p = rU2p* Zwei Invarianten Re = UL/n Fr2 = U2/(gL)

9 Hydraulische Ähnlichkeit
Zwei Strömungen sind ähnlich, wenn sie geometrisch ähnliche (ineinander skalierbare) Randbedingungen und gleiche Reynolds- und Froudezahl aufweisen Basis des wasserbaulichen Versuchswesens: Ergebnisse aus dem Labor sind übertragbar auf Natur, wenn ReLabor = ReNatur und FrLabor = FrNatur Da es schwierig ist, beide Kennzahlen gleich zu machen, wird die jeweils wichtigere Ähnlichkeit eingehalten. Dies ist bei Strömungen in geschlossenen Leitungen Re und bei Freispiegelströmungen Fr.

10 P-Theorem (Buckingham)
n Anzahl der relevanten Einflussgrössen r Anzahl der vorkommenden Grunddimensionen (m,s,kg…) m=n-r Anzahl der unabhängigen P-Terme

11 P-Theorem (Buckingham)
Konstruktion der P-Terme: Wähle r Einflussgrössen x1 … xr, die die r Grunddimensionen enthalten und bilde durch Kombination mit je einer weiteren Einflussgrösse Da die P-Terme dimensionslos sind, müssen sich die Potenzen der Grunddimensionen zu Null wegheben.

12 Widerstandsbeiwert als Funktion der Reynolds-Zahl

13 Laminare Rohrströmung
Folgt aus Integration der Navier-Stokes Gleichungen (Am praktischsten: in Zylinderkordinaten). Hier Herleitung aus Impulssatz: mit Kräftegleichgewicht

14 Laminare Rohrströmung
Verbindung der Schubspannungsverteilung mit dem Newton‘schen Gesetz der Viskosität liefert C aus Randbed.

15 Laminare Rohrströmung
Gesetz von Hagen-Poiseuille d geht mit der 4. Potenz ein. Kleine Änderung des Durchmessers bewirkt grosse Änderung von Q

16 Charakterisierung von Turbulenz
Reynoldszahl entscheidet über Turbulenz: Re klein – laminar Re gross - turbulent Bei Rohrströmung Umschlag bei Re ≈ 2300 Reynoldszerlegung: Uns reichen eigentlich Gleichungen für

17 Charakterisierung von Turbulenz

18 Turbulentes Energiespektrum
Wellenzahl Kolmogorovs Bild der Turbulenz: Energiekaskade Grosse Wirbel zerfallen in kleinere Wirbel bis letztlich die Energie durch viskose Reibung dissipiert wird.

19 Reynoldsgleichungen 1 Zeitgemittelte Navier-Stokes Gleichungen
Einsetzen der Reynoldszerlegung in lineare Terme in p und v und anschliessende Mittelung führt zu Ersetzen der Variablen durch ihren Mittelwert. Beispiel Druckterm: Einsetzen der Reynoldszerlegung in den nichtlinearen Term der advektiven Beschleunigung führt nicht auf einen Term der nur die mittlere Geschwindigkeit enthält: Beispiel 1D

20 Reynoldsgleichungen 2 Das Analogon des Terms in 3D ist

21 Reynoldsgleichungen 3 Die gemittelte Navier-Stokes Gleichung wird damit zur Reynoldsgleichung Diese kann nicht gelöst werden, da der Term in v‘ neue Unbekannte enthält. Turbulenzmodellierung besteht darin, den Term in v‘ durch einen Ausdruck in den Mittelwerten oder durch neue Variable auszudrücken, für die weitere Gleichungen zur Verfügung stehen. (Schliessungsproblem)

22 Reynoldsgleichungen 4 Einfachstes Turbulenzmodell zur Schliessung der Gleichungen mit Wirbelzähigkeit nWirbel = konstant Problem: Wirbelzähigkeit ist dynamisch von Strömung abhängig und nicht konstant. Deshalb wurden eine Reihe anderer Turbulenzmodelle erfunden. Warum hat Turbulenzterm mit Zähigkeit zu tun?

23 Geschwindigkeitsprofile an Wand
Laminare Strömung zwischen zwei Platten 1. Fall: Eine Platte fest, eine Platte bewegt mit Geschwindigkeit v Geschwindigkeitsprofil linear 2. Fall: Beide Platten fest, Durchfluss Q Geschwindigkeitsprofil parabolisch Laminare Rohrströmung: Geschwindigkeitsprofil Rotationsparaboloid Wie sieht das Geschwindigkeitsprofil bei einer turbulenten Strömung zwischen 2 Platten oder in Rohr aus???

24 Turbulente Schubspannungen (1)
v y u A Wand x Transportrate von x-Impuls in y-Richtung:

25 Turbulente Schubspannungen (2)
Fluss ist gegen die Wand gerichtet: Impulskraft wird durch Wandschubspannung aufgenommen Fluid grösserer u-Geschwindigkeit, das in Wandnähe kommt wird gebremst, bzw. beschleunigt dort langsameres Fluid und umgekehrt. (Analogie zu Rempeleien auf molekularer Ebene, die zu Viskosität führen! Deshalb Wirbelviskositätsansatz)

26 Geschwindigkeitsprofil an Wand (1)
L Prandtl‘scher Mischweg = Strecke über die ein Wirbel seine Identität verliert Weitere Annahme: L proportional zu Wandabstand

27 Geschwindigkeitsprofil an Wand (2)
Für positive Geschwindigkeitsgradienten und wandnahe Schicht mit t ungefähr konstant: Integration liefert:

28 Geschwindigkeitsprofil an Wand (3)
Direkt an Wand: viskose Unterschicht (dünner als kleinste Wirbel) Dicke dw . Damit folgt C: Das Wandprofil in einer turbulenten Strömung ist logarithmisch. In einer laminaren Strömung ist es linear. Unterschied: Laminar: Turbulent: a

29 Grenzschichtströmung
An der Wand: Haftbedingung Weit draussen: Ungestörte Strömung Grenzschichtdicke: Wandabstand bei dem u = 0.99 u∞

30 Grenzschichtdicke c hängt von Art der Strömung ab:
Unterschiedlich für laminare und turbulente Strömung laminar: turbulent:

31 Äquivalente Wandrauheit
z.B. Glas-, Kupfer-, Kunststoffrohre: glatt k=0 Betonrohre k= mm Stahlrohre k= mm

32 Geschwindigkeitsprofile in Rohrströmungen

33 Hydraulisch glatt - rauh

34 Korrektur für ungleichmässige Geschwindigkeitsverteilung
Für Energiesatz: Für Impulssatz: mit

35 Korrektur für ungleichmässige Geschwindigkeitsverteilung: Nebenrechnung
mit

36 Korrektur für ungleichmässige Geschwindigkeitsverteilung

37 Venturi Rohr 1 2 Gemessen: p1, p2, D, d Rohr horizontal T=20o
Gesucht: Q Lösung: Kontinuität und Bernoulli

38 Geschwindigkeitsmessung

39 Hydrometrischer Flügel

40 Tracer Methoden t1 t2 L Verfahren zur Messung von Q: Verdünnungsmethode

41 Andere Methoden PTV (=particle tracking velocimetry): Zugabe und Verfolgung von Partikeln Hitzdrahtanemometer: Abkühlung eines elektrisch erhitzten Drahtes durch die Strömung t1 t2 + -

42 Andere Methoden Laserdoppleranemometer: In der Strömung vorhandene Kleinstpartikel durchlaufen ein Interferenzmuster an der Schnittstelle zweier Laserstrahlen. MID (Magnetisches Induktions-Verfahren): In einem durch ein Magnetfeld bewegten Leiter (= Strömung) wird eine Spannung induziert Akustische Laufzeitmessung: Superposition von Schallgeschwindigkeit und Strömungsgeschwindigkeit

43 Was ist Rotation? Parallelströmung (vx=constant): rotationsfrei w=0
deformationsfrei q=0 y x Beispiel: freie Parallelströmung ohne Wandeinfluss

44 Was ist Rotation? Parallelströmung (vx=f(y)): rotationsbehaftet w 0
deformationsbehaftet q 0 Beispiel: Strömung in der Nähe einer Wand

45 Was ist Rotation? Kreisströmung rotationsbehaftet w 0
Ohne Deformation q = 0 Beispiel: Festkörperwirbel

46 Festkörperwirbel (Karussell)
q v = wr r y q x

47 Was ist Rotation? Kreisströmung rotationsfrei w = 0
deformationsbehaftet q 0 Beispiel: Rankine-Wirbel über Bodenöffnung, Aussenströmung 1/r, Kernströmung rotationsbehaftet

48 Wie wird Rotation erzeugt?
Drei Ursachen für Rotation: Reibung und damit scherendes Profil Dichteunterschiede Rotierendes Bezugssystem (Erde) Wenn eine Strömung anfänglich rotationsfrei ist und keine der drei Ursachen wirksam ist, bleibt die Strömung rotationsfrei. z x leicht schwer

49 Potentialströmung 1 Strömung in der gilt:
Strömungen, die sich als Gradient eines skalaren Feldes F, des Potentials, darstellen lassen sind Potentialströmungen Führe Nachweis durch Anwendung von

50 Potentialströmung 2 Kombination von Kontinuität und
ergibt Potentialgleichung Ebene Strömung in x-y-Ebene

51 Ebene Potentialströmung 1
Linien gleichen Werts F heissen Potentiallinien Zu den Potentiallinien kann eine orthogonale Linienschar konstruiert werden, die Stromlinien Stromlinien sind Linien gleichen Werts der Stromfunktion Y Die Stromfunktion erfüllt ebenfalls die Potentialgleichung, lediglich mit anderen Randbedingungen

52 Ebene Potentialströmung 2
Aus der Bedingung dass die Tangenten von Strom- und Potentiallinien im Schnittpunkt senkrecht stehen gewinnt man die Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen

53 Ebene Potentialströmung 3
Stromlinien und Potentiallinien bilden das Strömungsnetz (vorteilhaft: Quadrasternetz)

54 Ebene Potentialströmung 4
Volumenstrom zwischen zwei Stromlinien mit Stromfunktionswerten Y1 und Y2 Dicke der ebenen Strömung 1 Einheit

55 Ebene Potentialströmung 5
Undurchlässige Ränder sind Stromlinien Diagonalen (Tangenten) schneiden sich orthogonal In Maschen können Kreise einbeschrieben werden, die alle 4 Seiten tangieren

56 Anwendungskriterien für Potentialnetze
Inkompressibles Fluid Zweidimensionale Strömung Rotationsfreiheit (nur Schwerkraft und Druckkräfte wirksam) Kurze Strömungsabschnitte (damit Reibung klein bleibt, Länge nicht grösser als 5-8 mal Breite) Geringe Zähigkeit des Fluids Strömung ablösungsfrei

57 Anwendungskriterien für Potentialnetze
Wichtigste Anwendung: Grundwasserströmung (kommt zu Ende Semester dran) Dort gilt Darcy-Gesetz bzw. bei K=constant

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