Was sind die meteorologischen Grundgleichungen?

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1 Was sind die meteorologischen Grundgleichungen?
Clemens Simmer Meteorologisches Institut

2 Gliederung Einleitung die meteorologischen Basisvariablen
die meteorologischen Grundgleichungen Skalenanalyse der meteorologischen Grundgleichungen

3 1 Einleitung Zur Bestimmung der sieben grundlegenden
meteorolog. Variablen: Wind (3) Luftdruck Lufttemperatur Luftdichte Luftfeuchtigkeit ... ...benötigen wir die sieben meteorologische Grundgleichungen: Bewegungsgleichung (3) Kontinuitätsgleichungen 1. Hauptsatz der Wärmelehre Wasserdampfbilanzgleichung Zustandsgleichung der Luft. Sechs der meteorologischen Grundgleichungen sind Differentialgleichungen u.a. der Zeit -> (Wetter)Vorhersagen sind möglich!

4 2 Die meteorologischen Basisvariablem (und ihre Messung)
Windgeschwindigkeit Luftdruck und Dichte Temperatur Feuchte …

5 2.1 Windgeschwindigkeit z w v y (Nord) u x (Ost)
Geschwindigkeit, mit der sich die Luft bewegt und ihre Richtung Bezug ist dabei ein endliches Luftvolumen – nicht einzelne Moleküle (Kontinuumsmechanik, Hydrodynamik). z x (Ost) y (Nord) w v u Dabei ist λ die Winkelabweichung von der Ostrichtung, und φ die Winkelabweichung von der Vertikalen.

6 Horizontale Windgeschwindigkeit
Für große Skalen (lange Zeitmittelung (mehrere Minuten) oder Mittelung über viele Kilometer gilt u~v>>w. 36 27 9 18 W O S N

7 2.2 Luftdruck und Luftdichte
Was ist Luftdruck? Luftdruckgradient und Bewegungsantrieb (Kraft) Luftdruckmessung

8 Was ist Luftdruck? (Luft-)Druck ist Kraft/Fläche
Luftdruck hat keine ausgezeichnete Richtung. Luftdruck wird erzeugt durch die Impulsumkehr von Luftmolekülen an einer Wand (Molekularkinetik). Luftdruck ist daher proportional zur Dichte der Luft (mehr Moleküle→mehr Impulse), und proportional zum Quadrat der Geschwindigkeit der Luftmoleküle, denn Impuls =mv, (m Masse, v Geschwindigkeit) und Häufigkeit des Auftreffens auf die Wand ~ v. Luftdruck bezeichnet die Flussdichte der Impulse der Luftmoleküle, denn Druck = Kraft / Fläche = kg x m/s2 / m2 = (kg x m/s) / (m2 s) = Impuls / (Fläche x Zeit)

9 Warum erzeugen Luftdruckgegensätze Bewegung (1)?
Betrachte alle Moleküle, die an beiden Enden des Luftvolumens in der Zeit Δt mit Umgebung ausgetauscht werden. t=to t=to+Δt Ist die Impulsdichte (=Druck) an beiden Enden gleich, so ändert sich der Gesamtimpuls des Volumens nicht. Also keine Beschleunigung!

10 Warum erzeugen Luftdruckgegensätze Bewegung (2)?
Betrachte alle Moleküle, die an beiden Enden des Luftvolumens in der Zeit Δt mit Umgebung ausgetauscht werden. Rechts herrsche ein höherer Druck (Impulsdichte) als links durch höhere Temperatur (T~v²). t=to t=to+Δt Das Volumen hat eine Gesamtimpulsänderung nach links erfahren. Es wird also nach links beschleunigt!

11 Warum erzeugen Luftdruckgegensätze Bewegung (3)?
Betrachte alle Moleküle, die an beiden Enden des Luftvolumens in der Zeit Δt mit Umgebung ausgetauscht werden. Rechts herrsche ein höherer Druck (Impulsdichte) durch mehr Moleküle. t=to t=to+Δt Das Volumen hat eine Gesamtimpulsänderung nach links erfahren. Es wird also nach links beschleunigt.

12 2.3 Temperatur Was ist Temperatur? Temperatur und Wärmeenergie
Temperaturmessung

13 Was ist Temperatur? Die Temperatur hängt mit der mittleren kinetischen Energie (Bewegungsenergie) der einzelnen Moleküle zusammen: Temperatur hängt also nicht von der Anzahl der Moleküle (also z.B. von der Dichte) ab! (siehe Ausdehnung ins Vakuum)

14 Temperatur und Wärmeenergie
Der Wärmeenergie eines Luftvolumens (genauer: Definition der inneren Energie E) ist proportional zu Temperatur T und zur Wärmekapazität bei kontantem Volumen CV ([CV]=J/K) Die (massen-)spezifische (pro kg!) Wärmekapazität cv eines idealen Gases hängt nur von der Anzahl der Bewegungsfewegungsfreiheitsgrade f der Moleküle (3 Translationsrichtungen + n Rotationsrichtungen) ab. Für „trockene“ Luft gilt mit f=5 cV = 717 J/(kg K) da 2-atomige Moleküle (N2, O2) vorherrschen.

15 2.4 Feuchte Feuchtemaße

16 Feuchtemaße w - absolute Feuchte [kg m-3]
e - Partialdruck des Wasserdampfs [hPa] Td - Taupunkt [K] Abkühlung auf Taupunkt führt zur Kondensation q - spezifische Feuchte [kg/kg] Masse des Wasserdampfes zur Gesamtmasse der feuchten Luft m > q m - Mischungsverhältnis [kg/kg] Masse des Wasserdampfes zur Gesamtmasse der trockenen Luft A=Wasserdampfdichte, R=8.31 J /(mol*K), Mw=18 g/mol f - relative Feuchte [%] mit es Sättigungsdampfdruck Tf - Feuchttemperatur [K] Messgröße beim Psychrometer

17 3 die meteorologischen Grundgleichungen - Primitive Equations -
3.1 Bewegungsgleichung -> Wind 3.2 Kontinuitätsgleichung -> Luftdichte 3.3 Erster Hauptsatz der Wärmelehre -> Lufttemperatur 3.4 Haushaltsgleichung des Wasserdampfes -> Luftfeuchte, Wolken 3.5 Zustandsgleichung der Luft -> Luftdruck

18 3.1 Bewegungsgleichung = Impulserhaltung

19 Kräfte

20 3.2 Kontinuitätsgleichung
= Massenerhaltung

21 3.3 Erster Hauptsatz der Wärmelehre
= Energieerhaltung

22 3.4 Haushaltsgleichung für Wasserdampf
= Massenerhaltung von Wasserdampf

23 3.5 Zustandsgleichung für Luft
= ideale Gasgleichung

24 Zusammenfassung 6 prognostische Gleichungen 1 diagnostische Gleichung
für sieben meteorologische Basisvariablen Alle Gleichungen sind mehrfach mit einander gekoppelt. Sie lassen sich durch die Zeitabhängigkeit für die Zukunft lösen Wetter und Klimavorhersage ist möglich!

25 4 Skalenkonzept 4.1 Grundthesen 4.2 Skalendiagramm
4.3 Skalenanalyse der Bewegungsgleichung

26 4.1 Grundüberlegungen Als Skalen bezeichnet man Längen- (L) und Zeitintervalle (T). Wir unterscheiden Skalen, mit denen wir messen (Maßstäbe) und Skalen die typisch für meteorologische Phänomene sind (Größenordnung). Die meisten meteorologischen Phänomene haben für sie ganz typische Längen- und Zeitskalen (z.B. Wolken, Hurrikane, Zyklonen). Je größer die Längenskala L eines Phänomens, desto größer i.a. die dazugehörige Zeitskala T; also mit L nimmt T zu. Beobachtung: In der Atmosphäre haben bestimmte meteorologische Phänomene (z.B. Tornados, Wolken, Tiefdruckgebiete) immer nur einen beschränkten Bereich von Ausdehnungen und Lebensdauern, also Skalenbereiche

27 Skalendiagramm

28 4.4 Skalenanalyse der Bewegungsgleichung
Auftrennung in die drei Komponenten Synoptische Skalenanalyse der z-Komponente (Vertikalwind) -> statische Grundgleichung Synoptische Skalenanalyse der x/y- Komponente (Horizonalwind) -> der geostrophische Wind

29 Bewegungsgleichung in Komponenten - Navier-Stokes-Gleichung -

30 Skalenanalyse – Tiefdruckgebiet - charakteristische Größen -
Horizontalgeschw. U ~ 10 m/s Vertikalgeschw. W ~ 10-2 m/s Länge L ~ 106 m (1000 km) Höhe H ~ 104 m (10 km) Luftdruckschwank. DP ~ 103 Pa (10 hPa) Zeit L/U = T ~ 105 s (ca. 1 Tag) Coriolisparam. f = 2Wsinj ~ 10-4 s-1 Luftdichte r ~ 1 kg/m3 Luftdruck am Boden po ~ 105 Pa (1000 hPa)

31 Skalenanalyse Tiefdruckgebiet - statische Grundgleichung -
W/T 1/r po/H g fU m/s2 ...Schwerebeschleunigung und Druckgradientbeschleunigung heben sich gegenseitig auf!

32 Skalenanalyse Tiefdruckgebiet - geostrophischer Wind -
U/T 1/r Dp/L fU fW m/s2 ...Coriolisbeschleunigung und Druckgradientbeschleunigung heben sich gegenseitig auf!

33 Geostrophischer Wind

34 Geostrophischer Wind - Beispiel -
990 980 1000 1000 km

35 Geostrophischer Wind ... „weht“ parallel zu Isobaren mit niedrigem Druck links (auf SH rechts), ... ist proportional zur Stärke des Druckgradienten, ... ist eine gute Approximation des wahren Windes in der freien Atmosphäre, ... nimmt zu niedrigen Breiten bei gleichem Druckgradienten zu, ... verliert seine Gültigkeit mit Annäherung an den Äquator, da Coriolisbeschleunigung dann abnimmt.