Schwingungen

Was ist eine Schwingung? Quelle: http://www.elsenbruch.info/ph12_down/schwing_well.pdf

Harmonische Schwingung - gleichförmige Kreisbewegung Die Projektion einer gleichförmigen Kreisbewegung auf eine zur Kreisebene normale Ebene stellt eine harmonische Schwingung dar. Quelle: http://www.mathe-online.at/lernpfade/harmonischeSchwingung/

s(t) = A sin() =A sin(t ) Bezeichnungen Die harmonische Schwingung hat einen sinusförmigen Verlauf: s(t) = A sin() =A sin(t )    Winkelgeschwindigkeit bzw. Kreisfrequenz:  = /t  =t s(t) Elongation: s(t)=A sin()=A sin(t) (ohne Phasenverschiebung: =0 ) A Amplitude (maximale Elongation)  Phasenkonstante

Elongation s Momentane Auslenkung aus der Ruhelage

Amplitude Elongation

Bezeichnungen  = 2f Kreisfrequenz – Frequenz - Periodendauer :   T Schwingungsdauer/Periodendauer in Sekunden f Frequenz: Anzahl der Schwingungen pro Sekunde 1/T Für eine Schwingung gilt  = /t = 2/T = 2*1/T = 2f  = 2f

Periodendauer

Der Winkel im Bogenmaß X = Bogen/Radius = b/r b = 2 r π α/360 = r π α/180

Winkel – s/t-Diagramm A -π -π/2 π/2 π 3π/2 2π 3π -A

Hookesches Gesetz Fx F ist proportional zu x oder F = k x k: Federkonstante F = k x: ist eine lineare Funktion

Hookesches Gesetz – harmon. Schwingung

Fadenpendel Periodendauer T FT =m.g.sin ϕ =m.g.x/l=k.x (gilt für kleine ϕ) f= T = 2π T: Periodendauer l: Pendellänge g: Erdbeschleunigung f: Eigenfrequenz Wie lässt sich damit g bestimmen?

Federpendel Periodendauer T Fadenpendel FF =-k(x-x0)=k.s (wobei s = x-x0) f= T = 2π T: Periodendauer k: Federkonstante g: Erdbeschleunigung f: Eigenfrequenz

Die Bewegungsgleichungen der harmon. Schwingung s(t) = A sin() =A sin(t) v=Δs/Δt -> differentiell geschrieben: s‘ = ds/dt = A  cos(t) a=Δv/Δt -> differentiell geschrieben: v‘ = dv/dt =- A 2 sin(t)

Überlagerung von Schwingungen p: 72 Bei Überlagerung von zwei harmonischen Schwingungen gleicher Frequenz entsteht wieder eine harmonische Schwingung durch Addition der Elongationen. http://www.peter-junglas.de/fh/publications/physik-applets/applets/kap_8/applet10/addtwocosequal.htm

Überlagerung von Schwingungen p: 72 Bei einer Überlagerung von zwei harmonischen Schwingungen gleicher Frequenz und einer Phasenverschiebung um 180° kommt es zur Auslöschung. http://www.rendtel.de/Unterricht/Schwingungen/ueber1.html

Überlagerung von Schwingungen p: 72 Bei einer Überlagerung von zwei harmonischen Schwingungen mit geringfügigem Frequenzunterschiedkommt es zur Schwebung. Schwebungsfrequenz: f = Φ2 – Φ1 Anwendung: Stimmen von Instrumenten

Satz von Fourier Jeder periodische Vorgang läßt sich eindeutig aus harmonischen Funktionen (Sinus- oder Cosinusfunktionen) zusammensetzen. y = cosx -1/3 cos 3x + 1/5 cos 5x - … Geogebra Online: http://www.geogebra.org/webstart/geogebra.html

Schwingungen in einer Ebene Zwei verschiedene Schwingungsrichtungen LISSAJOUS-Figuren

Rückkopplung Gedämpfte Schwingungen Erzwungene Schwingung Resonanz: Erregerfrequenz = Eigenfrequenz Beispiele: Pendel einer Standuhr Erdbeben Stoßdämpfer