Varianzfortpflanzung 521.202 / SES.125 Parameterschätzung Varianzfortpflanzung Torsten Mayer-Gürr

Zufallsvektor

Varianz / Kovarianz Zufallsvektor Erwartungswert Varianz-Kovarianzmatrix Mit der Dichte und Varianz Kovarianz Kovarianz Operator 16.12.2015

n x m konstante Koeffizientenmatrix Varianz / Kovarianz Lineare Transformation n x 1 Zufallsvektor m x 1 Zufallsvektor n x 1 konstanter Vektor n x m konstante Koeffizientenmatrix Erwartungswert Kovarianzmatrix 16.12.2015

Kovarianzfortpflanzung 16.12.2015

Polares Anhängen Polares Anhängen Gemessen Polares Anhängen mit Lineare Transformation? Kovarianzmatrix 16.12.2015

Polares Anhängen 1. Gemessen: 2. Kovarianzmatrix: 3. Berechnet: 4. Jakobimatrix 5. Kovarianzmatrix 5. Kovarianzmatrix Ergebnis 16.12.2015

Wiederholte Streckenmessung mit einem Tachymeter Beispiel Wiederholte Streckenmessung mit einem Tachymeter Messungen (Beobachtungen): 100,006 m 100,005 m 99,995 m 100,008 m 99,993 m 0,000 m 99,996 m 99,998 m 99,992 m 100,000 m 100,004 m 99,991 m 99,997 m 100,002 m … 14.10.2015

Beispiel Histogramm von 10000 Beobachtungen Anzahl Gemessene Strecke (reduziert um 100 m) [mm] 14.10.2015

Kovarianzfortpflanzung Beispiel: Mittelwert mit Bei gleicher Varianz 16.12.2015

Kovarianzfortpflanzung Beispiel: Differenz zweier Streckenmessungen mit Varianz der Differenz 16.12.2015

Varianzfortplanzung im Gauß-Markoff Modell (Tafel)

Drehung des Koordinatensystems

Polares Anhängen Polares Anhängen 16.12.2015

Drehmatrizen Drehmatrix Inverse Drehung Allgemein: Orthogonale Matrix (Rotation mit evtl. Spiegelung) 16.12.2015

Polares Anhängen Polares Anhängen Drehung um Winkel t Kovarianzmatrix mit 16.12.2015

Polares Anhängen Drehung um Winkel t Nebenrechnung mit Kovarianzmatrix 16.12.2015

Polares Anhängen Polares Anhängen Gemessen Polares Anhängen mit Durch Drehung des Koordinatensystems kann man unkorrelierte Zufallsvariablen erhalten! Kovarianzmatrix 16.12.2015

Fehlerellipse

Beispiel: Strecke zwischen Koordinaten

Multivariate Normalverteilung

Zweidimensionale Zufallsverteilung Zweidimensionale stetige Zufallsvariable Wahrscheinlichkeit (Verteilungsfunktion) Dichtefunktion Pail Satz: Zwei Zufallsvariablen sind genau dann voneinander unabhängig, falls gilt 16.12.2015

Zweidimensionale Normalverteilung Definition: Die Zufallsvariable X bezeichnet man als normalverteilt mit den Parametern 𝜇 und 𝜎 2 , abgekürzt geschrieben 𝑋~𝑁(𝜇,𝜎 2 ), wenn ihre Dichte 𝑓(𝑥) für Zweidimensionale Zufallsvariable mit unabhängigen Elementen 16.12.2015

Zweidimensionale Normalverteilung Multivariate Normalverteilung, wenn x und y unabhängig sind: 16.12.2015

Zweidimensionale Normalverteilung Multivariate Normalverteilung, wenn x und y unabhängig sind: Durch Drehung des Koordinatensystems lässt sich jede symmetrische Matrix auf Diagonalgestalt bringen (Eigenwertzerlegung) Produkt der Eigenwerte 16.12.2015