2.5.2 Multivariate Monte Carlo-Simulation

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1 2.5.2 Multivariate Monte Carlo-Simulation
 in der Realität besteht zwischen der zeitlichen Entwicklung der verschiedenen Risikofaktoren ein Zusammenhang  Berücksichtigung derartiger Abhängigkeiten durch die jeweilige Korrelation zwischen den Risikofaktoren Vorgehensweise  Festlegung der Prämissen  Simulation der Marktparameter durch (0,1)-gleichverteilte Zufallszahlen  Ableitung der korrelierten Zufallszahlen S  Transformation der Zufallszahlen gemäß der zugrunde gelegten hypothetischen Verteilung der Marktparameter  Bewertung des Portfolios für die verschiedenen Simulationen  Berechnung des VaR unter Berücksichtigung des Konfidenzniveaus Mathematisch-Statistische Verfahren des Risikomanagements - SS 2002

2 Ableitung der korrelierten Zufallszahlen S
 gegeben: positiv semidefinite Varianz-Kovarianz-Matrix !!  Cholesky-Faktorisierung: Ableitung einer oberen Dreiecksmatrix A für die (MM)-Kovarianz-Matrix , für die gilt:  Für einen Vektor mit M normalverteilten, unabhängigen Zufallsvariablen z‘= (z1, z2,...,zM) erhält man einen Vektor s‘= (s1, s2,...,sM) mit korrelierten Zufallsvariablen bezüglich der Kovarianzmatrix  durch s = A  z < 2.9 > (22)-Kovarianz-Matrix  ( bezeichnet die Kovarianz zwischen den Zufallszahlen z1und z2 ) Mathematisch-Statistische Verfahren des Risikomanagements - SS 2002

3  Sukzessive Ableitung der Matrix A:
 korrelierte Zufallszahlen Mathematisch-Statistische Verfahren des Risikomanagements - SS 2002

4  Ermittlung der Matrix A für eine (MM)-Kovarianz-Matrix  :
 rekursive Bestimmung der Diagonalelemente  Bestimmung der Elemente der 1. Zeile  Bestimmung der Elemente rechts von der Diagonalen Mathematisch-Statistische Verfahren des Risikomanagements - SS 2002

5 3 Marktparameter (Zufallsvariablen) sind gemeinsam normalverteilt mit
< 2.10 > 3 Marktparameter (Zufallsvariablen) sind gemeinsam normalverteilt mit  Generierung von Zufallszahlen für jeden Marktparameter: 1-Vektoren mit unabhängigen, gleichverteilten Zufallszahlen, z.B. Z’ = (0,46; 0,60; 0,45)  Bestimmung des zugehörigen Vektors S der korrelierten Zufallszahlen Mathematisch-Statistische Verfahren des Risikomanagements - SS 2002

6  Bewertung des Portfolios
 Zusammenfassung der Vektoren in Simulations-Matrix, die Korrelationen zwischen Daten  Anpassung der Zufallszahlen gemäß der Verteilungsannahme (evtl. Berücksichtigung des Drifts) und der Bewertungsfunktion  Bewertung des Portfolios  Vektor der möglichen Portfoliowerte auf der Basis der Zufallszahlen der ausgewählten D Durchführungen Mathematisch-Statistische Verfahren des Risikomanagements - SS 2002

7  Berechnung des Value at Risk (vgl. Historische Simulation)
 Tägliche Gewinne und Verluste als Differenz zwischen dem mit den veränderten Marktparametern bewerteten Portfoliowert und dem auf der Basis der aktuellen Marktdaten ermittelten Portfoliowert  Anordnung der Werte entsprechend ihrem Wert  empirische Häufigkeitsverteilung  Berechnung des VaR durch Quantilsbildung (aufgrund der hohen Stichprobe ist simulierte Verteilung wesentlich robuster als Verteilung nach der historischen Simulation) Mathematisch-Statistische Verfahren des Risikomanagements - SS 2002

8  sehr hoher Rechenaufwand durch häufige Neubewertung des Portfolios
Vor-/Nachteile  hohe Zahl der Simulationen macht Schätzung des VaR wesentlich robuster  Verteilungsannahme wird vorausgesetzt, allerdings nicht auf Normalverteilung beschränkt  Verteilungsannahme aber nur für Risikofaktoren, nicht für die simulierten Wertveränderungen des Portfolios  Nichtlinearitäten der einzelnen Positionen werden voll berücksichtigt  sehr hoher Rechenaufwand durch häufige Neubewertung des Portfolios Mathematisch-Statistische Verfahren des Risikomanagements - SS 2002

9 2.6 Vergleich der VaR-Methoden
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10 Mathematisch-Statistische Verfahren des Risikomanagements - SS 2002

11 Vergleichende Bewertung des VaR
 Varianz-Kovarianz-Ansatz basiert auf Normalverteilungsannahme  tatsächliche Verteilung weist i.d.R. eine höhere Kurtosis, insbesondere fat tails auf  Risiko wird tendenziell unterschätzt  Monte Carlo-Simulation erfaßt Optionsrisiken genauer  deswegen genauere Risikozahl, aber auch Normalverteilungsannahme  Risiko tendenziell auch zu niedrig  Historische Simulation verzichtet auf Normalverteilung  theoretisch das genaueste Risikomaß  höheres Risiko Mathematisch-Statistische Verfahren des Risikomanagements - SS 2002