Fourier Synthese und Patterson Methode

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1 Fourier Synthese und Patterson Methode
Das Phasenproblem und die Intensität Quelle: \Unterricht\Skripten_Krist_II_Web_Versionen\SomSe_04\VK2_Autokorr.doc

2 Strukturfaktor und Elektronendichte, Intensität und Pattersonfunktion
Inhalt Strukturfaktor und Elektronendichte, Intensität und Pattersonfunktion Fourier Synthese Patterson-Methode

3 Der Strukturfaktor 1 eU Strukturfaktor Atomformfaktor 1
Koordinaten des Atom Nr. μ Reziproke Koordinaten Die Basis zu den dimensionslosen Koordinaten sind die Basisvektoren des Gitters Das dazu reziproke Gitter ist die Basis der h,k,l Koordinaten

4 Komplexe Zahlen Imaginäre Zahlen Länge des Vektors: │F│ Phasenwinkel φ
Reelle Zahlen

5 Strukturfaktor, Betrag und Phase
1 eU Strukturfaktor 1 Phasenwinkel Strukturfaktor, Betrag und „Phase"

6 Die Fourier-Synthese Strukturfaktor Betrag, Messgröße 1 Phasenwinkel
1 eU Strukturfaktor, Integration über die Elementarzelle 1 eU/m3 Umkehrung: Verteilung der Dichte in der Elementarzelle 1 eU Strukturfaktor Betrag, Messgröße 1 Phasenwinkel Intensität Problem: Der Phasenwinkel φ ist bei Messung der Intensität unbekannt

7 Das Phasenproblem Die Fourier Synthese zeigt die Dichte-Verteilung in der Elementarzelle Voraussetzung ist die Kenntnis des Strukturfaktors, eines Vektors, für „alle“ Reflexe Messbar ist aber nur der Betrag Die Abschätzung oder Bestimmung der Phase ist Thema der „Methoden zur Phasenbestimmung“

8 Die Autokorrelationsfunktion und ihre Fourier-Transformierte
Autokorrelationsfunktion der Funktion f(x) Fourier-Transformierte der Autokorrelationsfunktion Der Strukturfaktor mit negativen Argument h ist der zu F(h) konjugiert komplexe Die Fouriertransformierte der Autkorrelationsfunktion ist die Intensität

9 Die Patterson Funktion
1 eU2/m3 Autokorrelationsfunktion der Dichte, genannt „Patterson Funktion“ 1 eU2 Die Intensität ist proportional zur Fourier-Transformierten der Patterson Funktion Die Patterson Funktion ist die Fourier-Rück-Transformierte der Intensität Die Intensität ist ein positiv definite, skalare Größe: Die Fourier Transformation ist ohne Probleme ausführbar Die Integration über die Intensität erfolgt über den ganzen reziproken Raum, über negative und positive Koordinaten

10 I(h) = I(-h): Die Friedelsche Regel
1 eU Strukturfaktor Atomformfaktor 1 Koordinaten des Atoms μ Reziproke Koordinaten Realteil Imaginärteil

11 Die Intensität der Friedel-Paare ist gleich, weil │F(h)│=│F(-h)│
Die Friedelsche Regel Im B(h) A(h) F(h) A(-h) B(-h) F(-h) Re Die Intensität der Friedel-Paare ist gleich, weil │F(h)│=│F(-h)│

12 Fourier-Transformation der Intensität
1 eU2/m3 Fouriertransformation der Intensität liefert die Patterson-Funktion Die Fouriertransformierte der Intensität ist eine Summe über cos-Terme Es gilt -außer bei resonanter Streuung- die Friedelsche Regel: Betrag von F(h) ist gleich dem Betrag von F(-h), deshalb gilt I(h) = I(-h) Kein Phasenproblem, aber: Die Autokorrelationsfunktion der Dichte liefert (nur) die nach Häufigkeit und Streukraft der Objekte „gewichteten Abstände“ zwischen den Streuzentren

13 Zusammenfassung : Die Fourier-Synthese liefert die optimale Information, die Verteilung der Dichte Aber: Aus dem Beugungsbild ist nur der Betrag des Strukturfaktors messbar, nicht die Phase Die Pattersonfunktion folgt unmittelbar aus der Intensität Aber: Diese Autokorrelationsfunktion der Dichte liefert (nur) die nach Häufigkeit und Streukraft der Objekte „gewichteten Abstände“

14 Imaginäre Zahlen Reelle Zahlen Länge des Vektors: │F│ Phasenwinkel φ
finis Imaginäre Zahlen Reelle Zahlen Länge des Vektors: │F│ Phasenwinkel φ