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Modellierung und Schätzung von Variogrammen Vortrag im Rahmen des Seminars Extrapolationsmethoden für zufällige Felder, Universität Ulm Matthias Bühlmaier.

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Präsentation zum Thema: "Modellierung und Schätzung von Variogrammen Vortrag im Rahmen des Seminars Extrapolationsmethoden für zufällige Felder, Universität Ulm Matthias Bühlmaier."—  Präsentation transkript:

1 Modellierung und Schätzung von Variogrammen Vortrag im Rahmen des Seminars Extrapolationsmethoden für zufällige Felder, Universität Ulm Matthias Bühlmaier

2 Inhalt 1.Motivation 2.Grundlagen 3.Isotrope Modelle 4.Anisotropie 5.Mathematische Eigenschaften 6.Schätzer

3 1. Motivation Maß für den Unterschied zweier Werte:

4 Regionales Variogramm: Variogramm einer Stichprobe (Sample Variogram):

5 2. Grundlagen (,F,P) Wahrscheinlichkeitsraum. Zufälliges Feld: Z(·) intrinsisch stationär : (i) (ii) γ wird dann Variogramm genannt. Z(·) stationär zweiter Ordnung : (i) (ii) C wird dann Covariogramm genannt.

6 Correlogramm: Eigenschaften: 1) Z(·) stationär zweiter Ordnung Z(·) intrinsisch stationär 2) (h)= (-h), (h) 0, (0)=0 3) C(h)=C(-h), |C(h) | C(0)=Var(Z(s)) 4) Z(·) stat. 2. Ordnung (h)=C(0)-C(h) 5) Z(·) intr. stat., beschränkt Covariogramm C: (h)=C(0)-C(h) 6) 7) ist eine bedingt negativ semidefinite Funktion 8) C ist eine positiv semidefinite Funktion

7 Zu 7): Zu 8): 3. Isotrope Modelle isotrop : 3.1 Spärisches Modell Spärisches Covariogramm (r=|h|, a>0):

8 Für n=1,2,3 erhalten wir in der normalisierten Form das Dreiecks-, Kreis- und Spärische Modell: 3.2 Exponential-Modell (a>0):

9 3.3 Gaussches Modell 3.4 Modell 4. Anisotropie anisotrop : (f isotrop) 4.1 Range und Sill Siehe fraktionale Brownsche Bewegung im Anhang.

10 4.2 Geometrische Anisotropie Variogramm geometrisch anisotrop : isotropesVariogramm, m m pos. def. Matrix Q mit Vorgehensweise: Hauptachesentransformation und anschließende Reskalierung. Erhalten dann für eine Matrix A. Bsp. (m=2): Hier ist A eine Drehungs- und Streckungsmatrix von der Form

11 4.3 Zonale Anisotropie: Def.: Das Variogramm hat ein kleineres Sill in einer bestimmten Richtung oder in mehreren Richtungen. Vorgehensweise (hier im ): Zerlegung von γ in, wobei isotrop und geometrisch anisotrop. 4.4 Andere Anisotropien:

12 5. Mathematische Eigenschaften 5.1 Stetigkeit Z(·) stetig im zweiten Mittel : Verhalten des Variogramms im Ursprung und Stetigkeitseigenschaften von Z(·): (i) γ stetig im Ursprung Z(·) stetig im 2. Mittel (ii) fürbzw.existiert nicht Z(·) ist nicht stetig im zweiten Mittel und verhält sich hochgradig irregulär. Dieses Verhalten im Ursprung wird Nugget Effekt genannt.

13 Im Folgenden sei das Variogramm bis auf den Ursprung stetig. Dann gilt: Z(·) stetig im zweiten Mittel mit Variogramm γ 5.2 Definitheit G(h) in bedingt positiv definit : (iii) (außer γ(0)=0 natürlich) unkorreliert (insbes. auch dann, wenn klein). Z(·) wird dann oft als weißes Rauschen bezeichnet.

14 C positiv definit C ist ein Covariogramm γ bedingt negativ semidefinit γ ist ein Variogramm Stabilitätseigenschaften: (i) Covariogramm, ist ein Covariogramm. (ii) C(h;t) Covariogramm t A R, μ pos. Maß auf A, ist ein Covariogramm (iii) Covariogramme Covariogramm

15 5.3 Spektrale Darstellung μ endliches Borel-Maß auf. Dann heißt Fourier- Transformierte von μ : Dann gilt: gleichmäßig stetig und positiv definit. Umgekehrt gilt (Satz von Bochner): stetig, pos. definit endl. Borel-Maß μ mit f Daraus folgt: Für stetigegilt: C ist Variogramm und F pos., beschränktes, symmetrisches Maß:

16 γ stetig und γ(0)=0. Dann sind folgende Eigenschaften äquivalent: (i) γ ist ein Variogramm (ii) ist ein Covariogramm t>0 (iii), wobei Q(h) eine pos. definite quadrat. Form, χ pos. Symmetrisches Maß mit keinem Atom im Ursprung, und 6. Schätzer In diesem Abschnitt setzen wir voraus, daß Z(·) intrinsisch stationär ist.

17 6.1 Schätzer von Matheron Glättung des Schätzers, falls Daten unregelmäßig verteilt: wobei T(h(l)) eine Toleranzregion in um h(l), l=1,...,k, und ave{·} ein gewichteter Durchschnitt über die Elemente in {·}. Dieser Schätzer ist erwartungstreu und konsistent, jedoch nicht robust.

18 6.2 Schätzer von Cressie-Hawkins B(h) ist eine Funktion, die den Bias korrigiert. Asymptotisch ist B(h)=0,457. Diese Schätzer sind robust, aber nicht erwartungstreu. Simulation i.d.R. ist als Schätzer vor vorzuziehen

19 Fraktionale Brownsche Bewegung und Power-Modell Anhang

20 Def.: Ein Zufallsvektor ist n-dimensional normalverteilt mit Parametern, falls für gilt: Dann ist die symmetrische, positiv semidefinite Kovarianzmatrix, und X hat die Dichte Bezeichnung:

21 Def.: Sei X(·) ein stochastischer Prozeß. X(·) wird Gauß-Prozess genannt, falls jeder Zufallsvektor normalverteilt ist. Def.: ist eine Brownsche Bewegung, falls X(·) ein Gauß-Prozeß ist mit folgenden Eigenschaften: EX(t)=0 und Bem.: X(·) Brownsche Bewegung Var(X(t))=t

22 Def.: Ein stochastischer Prozeß heißt fraktionale Brownsche Bewegung, falls X(·) ein Gauß-Prozeß ist mit EX(t)=0 und Satz: Für jede symmetrische positiv definite Funktion existiert ein Gauß-Prozeß X(·) auf einem W-Raum (Ω, F, P) mit EX(t)=0 und

23 Def.: X(t), heißt fraktionale Brownsche Bewegung (in ), falls X(·) ein Gauß-Feld ist mit EX(t)=0 und und f.s., da EX(0)=0 und Var(X(0))=0 Dann ist

24 Die Stationarität der Zuwächse rechtfertigt die Definition des Variogramms γ als Zuwächse von X(·) sind im allgemeinen nicht unabhängig wie bei der Brownschen Bewegung, sondern nur stationär: haben für je endlich viele und die gleiche mehrdimensionale Verteilung. und


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