Mechanik Mathematische Grundlagen und Begriffe: Formel? Funktion

Präsentation zum Thema: "Mechanik Mathematische Grundlagen und Begriffe: Formel? Funktion"—  Präsentation transkript:

1 Mechanik Mathematische Grundlagen und Begriffe: Formel? Funktion
Gleichung Definition Kausalität

2 Bogenmaß eines Winkels

3 Phasenverschiebung (π/2)
Sinus und Cosinus y x Das Argument der periodischen Funktion wird als Phase bezeichnet. Phasenverschiebung (π/2)

4 Die Ableitung, das Integral
y t

5 Das kartesische Koordinatensystem
z y x

6 Weitere orthogonale Koordinatensysteme
Kartesisches Koordinatensystem Zylinderkoordinaten Kugelkoordinaten

7 Physikalische Größe: Multiplikative Kombination aus Zahl(en) und Maßeinheit Größen mit verschiedenen Einheiten können nicht addiert bzw. subtrahiert werden, sie können jedoch multipliziert und dividiert werden. Dabei entstehen neue physikalische Größen. Maßeinheitenbehaftete Größen können nicht Argument von Winkelfunktionen, Exponentialfunktionen, ... sein.

8 Skalar Ist die betreffende physikalische Größe durch die Angabe einer einzigen Zahl und der Maßeinheit festgelegt, dann wird sie als Skalar bezeichnet. Viele physikalische Größen sind Funktionen der Koordinaten (und der Zeit). In diesem Fall sprechen wir von einem skalaren Feld. Beispiele: Temperatur, Druck, Dichte, Konzentration

9 Beispiele: Strömung, elektrische Feldstärke
Der Vektor Eine große Zahl physikalischer Größen sind gerichtete Größen. Diese werden als Vektoren bezeichnet. a + Richtung, durch drei Zahlen festgelegt z. b. Abstand, Längengrad und Breitengrad Sind die Vektoren Funktionen der Koordinaten sprechen wir von einem Vektorfeld. Beispiele: Strömung, elektrische Feldstärke

10 Der Winkel als Vektor

11 Vektor, hier Strecke r, beschrieben durch drei Zahlenangaben (Koordinaten: x, y, z oder rx, ry, rz)

12 Addition und Subtraktion

13 Multiplikation (r1, r2), Skalares Produkt

14 Vektorprodukt

15 Bewegung Geschwindigkeit

16 Beschleunigung - Änderung der Geschwindigkeit
Umkehrung durch Integration Weg-Zeit Gesetz für beschleunigte Bewegung

17 1.3. Newtonsche Axiome Begriff der Kraft Inertialsystem Trägheitsprinzip Versuch Beschleunigungsprinzip Reaktionsprinzip Versuch actio = reactio „träge“ Masse, Einheit der Kraft

18 Schwerefeld der Erde Erdanziehungskraft: „schwere“ Masse (Schwerkraft)
Anfangsgeschwindigkeit v0

19 Aufgabe: Unter welchem Winkel muss ein Grashüpfer abspringen, damit er maximal weit springt?

20 Gravitationsgesetz Erde: Gravitationskonstante

21 Kraft bewirkt Impulsänderung!
Kraft = Gegenkraft! Δp Δp

22 1.4. Erhaltungssätze des Impulses und der Energie
In einem abgeschlossenen System bleibt der Gesamtimpuls erhalten. Beispiel: Rückstoßprinzip Potentielle und kinetische Energie hängt nur von Koordinaten ab

23 Arbeit und potentielle Energie:
Kraft mal Weg Kraft nicht konstant, bzw. Weg ändert Richtung bezüglich Kraft B C A Integration Wende ich Arbeit auf (W<0), erhöht sich die potentielle Energie U. Potentielle Energie (Lageenergie) entspricht der Fähigkeit des Systems Arbeit zu verrichten. Vorzeichen ergibt sich aus F ist die Kraft, die das System ausübt.

24 Sonderfall Schwerefeld der Erde:
Es wird ein Körper im Schwerefeld der Erde, d. h. gegen die Schwerkraft bewegt. Dabei wird seine Lage verändert und gleichzeitig Arbeit verrichtet. Damit ändert sich die potentielle Energie des Körpers. Wir berechnen die Änderung der potentiellen Energie bei einer Bewegung entlang eines beliebigen Weges: Die Arbeit hängt nicht vom gewählten Weg ab, sondern nur von der Höhendifferenz. Arbeit hängt nur von Anfangs- und Endpunkt ab Potentialfeld

25 Man berechne, wie viel Arbeit verrichtet wird, wenn man bei einer Gebirgswanderung eine Höhendifferenz von 1000 m überwindet? Wie viel muss man von einem Nahrungsmittel zu sich nehmen, um die aufgewendete Energie dem Körper wieder zuzuführen? Ein Auto prallt mit 30 km/h gegen ein Hindernis. Von welcher Höhe müsste man fallen, um einen gleich großen Aufprall zu erleiden?

26 Beispiel Auftriebskraft
h schweben, schwimmen, sinken

27 1.5. Rotationsbewegung x y α v Freiheitsgrad Winkelgeschwindigkeit

28 x y α v r

29 x y α v

30 x y α v Radialbeschleunigung ist stets nach innen gerichtet. Die Rotation ist ihrem Wesen nach eine beschleunigte Bewegung!

31 Beschleunigung Kraft Zentripetalkraft Zentrifugalkraft Kinetische Energie: Trägheitsmoment Trägheitsmoment einer Kugel: Zylinder:

32 Um den Hämatokritwert zu bestimmen wird eine Zentrifuge benutzt
Um den Hämatokritwert zu bestimmen wird eine Zentrifuge benutzt. Wie hoch ist die Drehzahl zu wählen, damit bei einem Rotorradius von 5 cm die vorgegebene Beschleunigung von ● g erreicht wird? welche kinetische Energie besitzt die Zentrifuge nach Erreichen der Drehzahl? Der Rotor ist als zylindrischer Körper anzunehmen? An einem Autorad ist ein Ausgleichsgewicht von 20 g verloren gegangen. Wie wirkt sich das bei einer Geschwindigkeit von 100 km/h aus? Man berechne die resultierende Zentrifugalkraft.

33 1.6. Drehmoment und Drehimpuls
x y α v F r Kraft Drehmoment

34 Newton´sches Axiom: Eine Kraft, die auf einen Körper einwirkt, ändert seinen Impuls. Drehimpuls Ein Drehmoment, das auf einen Körper einwirkt, ändert seinen Drehimpuls.

35 Für Kreisbahn Drehimpulserhaltungssatz: In einem abgeschlossenen System bleibt die Summe aller Drehimpulse aller Körper konstant. Vektor, d.h. drei Komponenten bleiben für sich konstant.

36 Wir untersuchen folgenden Fall genauer:
Auf ein sich drehenden Körper wirkt ein zusätzliches Drehmoment Der Drehimpuls muss sich ändern! L M Der Kreisel ändert die Rotationsachse Präzession! präzessiert r mg

37 Fahrrad beschreibt eine Linkskurve.

38 Ein Fahrradfahrer fährt mit 20 km/h
Ein Fahrradfahrer fährt mit 20 km/h. Unter welchem Winkel muss er sich seitlich neigen, um eine Kurve mit dem Radius von 10 m zu beschreiben?

39 Hebel Drehachse Erläutern Sie am Beispiel einer Zange die wirkenden Kräfte und Hebelarme!