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Fourier-Faltungs Formalismus Berechnung der gestreuten Amplitude mit Hilfe der Fourier-Transformation.

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Präsentation zum Thema: "Fourier-Faltungs Formalismus Berechnung der gestreuten Amplitude mit Hilfe der Fourier-Transformation."—  Präsentation transkript:

1 Fourier-Faltungs Formalismus Berechnung der gestreuten Amplitude mit Hilfe der Fourier-Transformation

2 Inhalt Gitterfunktion Strukturfaktor Formfaktor Quelle: pkibm16 D:\Unterricht_Krist\Skripten_Krist_II_Web_Versionen\VK2_Mathematik.doc, VK2_Beugung_per.doc

3 Fourier Transformierte der Dichte im Kristall FunktionFourier-Transformierte Die Streuamplitude eines Kristalls ist das Produkt der Fourier-Tranformierten des Zellinhalts und der Gitterfunktion

4 Leeres GitterZellinhaltKristallgitter Aufbau der Dichteverteilung im Kristall (R 3) Links: Leeres Gitter mit einem δ - Punkt in jeder Zelle

5 Zellinhalt Gitterfunktion Vollständiges Gitter Faltung der Gitterfunktion mit dem Zellinhalt

6 Cl -1 Cs +1 Dichte in einer Elementarzelle r=1,81 År=1,67 Å Dichte in der Elementarzelle

7 Dichte in der Elementarzelle als Faltung Dichte des Atoms Nr. μ Zeiger zum Atom Nr. μ in der Zelle Dichte eine Atoms am Ort x μ in einer Elementarzelle: Faltung des Zeigers mit der Dichte Dichte in einer Elementarzelle: Summation über alle m Atome in der Zelle

8 Fourier-Transformierte der Dichteverteilung eines Atoms: Der Formfaktor FunktionFourier-Transformierte Bezieht sich der Formfaktor auf Atome, dann wird er Atomformfaktor genannt, bei den der Berechnung und bezieht sich auf kugelsymmetrische Atome Der Formfaktor ist allgemeiner definiert, er kann für beliebige geformte Moleküle oder Dichteverteilungen berechnet werden

9 Quellen zum Atom Formfaktor eUAtomformfaktor 1/mBetrag des Streuvektors Der Atom formfaktor für kugelsymmetrische Atome ist für alle Atome, in Abhängigkeit von der Wellenlänge und des Ionisationszustands, in Form von Tabellen oder Koeffizienten eines Polynoms zugänglich Korrekturen für anomale Dispersion: Koeffizienten der X-ray Scattering Factors

10 Fourier-Transformierte der Dichteverteilung einer Elementarzelle: Der Strukturfaktor FunktionFourier-Transformierte

11 Der Strukturfaktor 1 eUStrukturfaktor 1 eUAtomformfaktor 1Koordinaten des Atom Nr. μ 1Reziproke Koordinaten Die Koordinaten x μ,y μ,z μ mit Dimension 1 beziehen sich auf die Basisvektoren des Gitters Das dazu reziproke Gitter ist die Basis der h,k,l Koordinaten Der reziproke Vektor h mit den reziproken Koordinaten h,k,l ist der Streuvektor im Experiment, die Braggsche Gleichung verbindet h mit dem Streuwinkel 2θ

12 Fourier Transformierte der Dichte im Kristall FunktionFourier-Transformierte Die Gitterfunktion G(h) verstärkt die Amplitude bei ganzzahligen h,k,l um den Faktor N 1 · N 2 ·N 3 Die Gitterfunktion wird in ungestörten Gittern nicht explizit genannt, sondern implizit berücksichtigt mit der Regel Intensität nur bei ganzzahligen hkl

13 Intensität im ungestörten Kristallgitter Die Gitterfunktion G(h) verstärkt die Amplitude bei ganzzahligen h,k,l um den Faktor N 1, N 2, N 3 –An allen anderen Punkten des reziproken Raums ist die Intensität verschwindend gering Bei ganzzahligen Indizes beobachtet man Intensität proportional zum Betragsquadrat des Strukturfaktors Deshalb ist der Strukturfaktor die zentrale Größe bei der Strukturbestimmung

14 Zusammenfassung Die Dichte im Kristall ist die Faltung aus der Dichte des –leeren Gitters mit der einer Elementarzelle Aus der Fourier-Transformation des leeren Gitters folgt: –Ungeheure Verstärkung bei ganzzahligen h,k,l, sonst Intensität praktisch null Die Fourier-Transformation des Zellinhalts ergibt den Strukturfaktor –Der Strukturfaktor enthält die Information über die Lage der Teilchen –Der Atomformfaktor ist die Fourier-Transformierte der Dichteverteilung eines Atoms

15 Zellinhalt Gitterfunktion Vollständiges Gitter finis


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