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3. 3D-Betrachtungstransformationen 3.1 Koordinatensysteme und 3D-Transformationen Darzustellende Szene ist Teilmenge des dreidimensionalen affinen Raumes.

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1 3. 3D-Betrachtungstransformationen 3.1 Koordinatensysteme und 3D-Transformationen Darzustellende Szene ist Teilmenge des dreidimensionalen affinen Raumes E 3 = (A, V) A: geom. Punktraum V: dreidimensionaler Vektorraum R 3 Axiome: 1. Zu je 2 Punkten P, Q A gehört ein Vektor v V: v = Q - P 2. Zu jedem P A und jedem v V existiert ein eindeutig bestimmtes Q A mit v = Q - P Hierdurch wird die Op. P + v: = Q definiert. 3. Ist v = Q - P und w = Q - R, dann gilt v + w = R - P Q P Q P v R - P P R Q v w

2 R Da V = R 3 mit dem kanonischen Skalarprodukt = v 1 w 1 + v 2 w 2 + v 3 w 3 ausgestattet ist, lassen sich in E 3 Abstände zwischen Punkten erklären durch d (P, Q) = |Q - P| = E 3 heißt euklidischer Raum. Die Punkte des E 3 erhalten Koordinaten durch Auszeich- nung eines KOS S = {0, v 1, v 2, v 3 } positive Orientierung: det (v 1, v 2, v 3 ) > 0 Rotationsachse Richtung der positiven Rotation xy nach z yz nach x zx nach y

3 negative Orientierung: det (v 1, v 2, v 3 ) < 0 in erweiterten Koordinaten besitzen affine Abbildungen die Matrixdarstellung:

4 Spezialfälle: 1) Translation T (dx, dy, dz) 2) Skalierung S (Sx, Sy, Sz) 3) Rotationen um x-, y-, z-Achse: R x ( ), R y ( ), R z ( )

5 Rotation um beliebige Achse durch Komposition von R x, R y, R z Berechnung der Inversen: T -1 (dx, dy, dz) = T (-dx, -dy, -dz) S -1 (Sx, Sy, Sz) = S ( ) R ( ) = R z (- ) Isometrien erhalten Maßbeziehungen (Abstände, Winkel) F = M · v + c ist Isometrie, wenn = Dies ist genau dann der Fall, wenn M M T = I oder M -1 = M T

6 Wegen 1 = det I = det (MM T ) = det M · det M T = (det M)² folgt det M = 1 Falls det M = 1, heißt F eigentliche Isometrie, sonst uneigentliche. Bei geeigneter Wahl des KOS haben 3D-Isometrien die Form d. h. Isometrien sind im Wesentlichen Drehungen um eine feste Achse evtl. mit einer Spiegelung an einer Ebene. Bem.: Beachte, dass die Möglichkeit der Inversenbildung gemäß M -1 = M T mit den oben gegebenen Formeln verträglich ist.

7 Transformation linearer Objekte bisher Transformation von Punkten Objekte, die über Punkte definiert sind, transformieren sich durch Transformation der Punkte z. B.: Gerade durch zwei affin. unabh. Punkte Ebene durch drei affin. unabh. Punkte Bem.: P 0,..., P n heißen affin unabhängig, wenn P 1 - P 0, P 2 - P 0,..., P n - P 0 linear unabh. sind P0P0 P1P1 P2P2 ° °

8 Transformation einer Ebenengleichung: Ax + By + Cz + D = 0 = N T · P = 0 Transformiere die Punkte P der Ebene mit Matrix M (gegeben) Transformiere N mit Matrix Q (gesucht) derart, dass (Q · N) T · M · P = 0 N T · Q T · M · P = 0 Diese Beziehung ist erfüllt für Q T · M = I Q = (M -1 ) T Transformierte Gleichung: mit

9 Transformation von Normalenvektoren n' = (M -1 ) T n FMFM n n'n' Wechsel des KOS S 1 = (0, v 1, v 2, v 3 ) = (Q, w 1, w 2, w 3 ) def. bez. S 1


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