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Komplexe Zahlen und Fourier- Transformation Mathematische Grundlage.

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Präsentation zum Thema: "Komplexe Zahlen und Fourier- Transformation Mathematische Grundlage."—  Präsentation transkript:

1 Komplexe Zahlen und Fourier- Transformation Mathematische Grundlage

2 Inhalt Exponentialschreibweise eines Vektors Eulersche Beziehung Fourier Transformation

3 Strukturfaktor: für periodische Objekte Summation über die Atome in der Elementarzelle, Koordinaten der Atome, Basis dazu sind die Translations-Vektoren des Gitters Koordinaten des Streuvektors, Basis dazu ist das zu den Translations- Vektoren reziproke Gitter Anwendung der komplexen Zahlen: Der Strukturfaktor

4 Komplexe Zahlen Imaginäre Zahlen Reelle Zahlen Länge des Vektors: F Phasen winkel φ Sinnvoll, wenn zwei Größen, Betrag und Winkel, mitzuteilen sind: erfordert einen Vektor mit zwei Komponenten Geeignete Codierung von Betrag und Winkel: Komplexe Zahl

5 Die Eulersche Beziehung 1 eU Exponentialschreibweise: Betrag und Phase sind explizit zu sehen. 1Kartesische Komponenten 1Eulersche Beziehung 1 Formulierung von Sinus und Kosinus mit Hilfe der Eulerschen Beziehung 1

6 Die Fourier Transformation 1Dichte – Funktion, x x 1 mOrts Koordinate 1Fourier - Transformierte der Dichte h 1/mReziproke Koordinate

7 Fourier Rück-Transformation 1Rück-Transformation zur Dichte

8 Bedingung für die Existenz der Fourier- Transformierten x f(x) Das Definitionsintervall kann in endlich viele Intervalle unterteilt werden, in denen f(x) stetig und monoton ist. An jeder Unstetigkeitsstelle x ν sind die Grenzwerte zu beiden Seiten definiert Das Integral konvergiere Fourier-Transformierbar

9 Fourier-Transformierte für eine Konstante x f(x) Das Definitionsintervall kann in endlich viele Intervalle unterteilt werden, in denen f(x) stetig und monoton ist. An jeder Unstetigkeitsstelle x ν sind die Grenzwerte zu beiden Seiten definiert Das Integral konvergiert gerade nicht mehr Nicht Fourier- Transformierbar Abhilfe: Multiplikation mit einem konvergenzerzeugenden Faktor, z. B mit einer Gauß- Funktion

10 Gauß – Kurven mit Fläche 1 und unterschiedlichen Halbwertsbreiten 2 σ = w =10, w =2 x f(x)

11 Fourier Transformierte der Gaußkurven Transformierte zu w =10, w = 2 Der Phasenwinkel ist konstant Null h F | h |

12 Übergang Gaußkurve zur δ Funktion und ihre Transformierte Grenzwert der Gaußkurve mit Fläche 1 bei w 0 ist die δ-Funktion bei 0 –Gauß Kurve, die immer schmaler und höher wird Die Fourier-Transformierte der δ- Funktion ist eine Konstante

13 Zusammenfassung Die komplexe Exponentialschreibweise ist zur Mitteilung von Betrag |F| und Winkel φ geeignet F = |F|·EXP(i·φ) Die Eulersche Beziehung verknüpft cos und sin Funktionen mit EXP(i·φ) cos(φ) = ½ (EXP(i·φ) + EXP(-i·φ)) i·sin(φ) = ½ (EXP(i·φ) - EXP(-i·φ)) Die Fourier-Transformation zerlegt eine beliebige Funktion f(x) in harmonische Anteile: –F(h) = f(x) EXP(2πihx) dx –f(x) = F(h) EXP(-2πihx) dh Grenzen der Integration jeweils von - bis +

14 finis Grenzwert der Gaußkurve mit Fläche 1 bei w 0 ist die δ-Funktion bei 0 –Gauß Kurve, die immer schmaler und höher wird Die Fourier-Transformierte der δ- Funktion bei 0 ist eine Konstante


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