Wahrscheinlichkeitstheorie

Laplacescher Wahrscheinlicheitsraum

Wahrscheinlichkeitstheoretische Interpretation von Mengenoperationen Vereinigung Durchschnitt

Differenz Komplement

Wahrscheinlichkeitsräume

Eigenschaften eines Wahrscheinlichkeitsmaßes Daraus ergeben sich:

Urnenmodelle

Aufgabe 1

Die Wahrscheinlichkeiten in (a) und (b) betragen 0,9714 und 0,4265 0,8714 und 0,3265 0,9714 und 0,5265 0,7714 und 0,4265

Die Poisson-Verteilung

Man erhält eine Wahrscheinlichkeitsverteilung, weil gilt: Notation

Die Binomialverteilung

Man erhält eine Wahrscheinlichkeitsverteilung, weil gilt: Notation

Die geometrische Verteilung Man erhält eine Wahrscheinlichkeitsverteilung, weil gilt:

Die hypergeometrische Verteilung Notation

Eine Urne enthält n Kugeln, davon N weiße und n - N schwarze. Aus der Urne werden nacheinander m Kugeln ohne Zurücklegen gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, genau k weiße Kugeln zu ziehen? Sie beträgt gerade H(n, N, m)(k)!

Aufgabe 2

Die Wahrscheinlichkeiten in (a) und (b) betragen 0,1888 und 0,2028 0,1714 und 0,3265 0,1714 und 0,5265 0,2714 und 0,2265

Aufgabe 3

Die Anzahl der Wörter beträgt 10 in (a), 60 in (b) und 440 in (c) 6 in (a), 40 in (b) und 640 in (c) 6 in (a), 60 in (b) und 2520 in (c) 6 in (a), 60 in (b) und 840 in (c)

Wahrscheinlichkeitsdichten

Die Exponential-Verteilung

Die Gauß- oder Normalverteilung

Gauß-Bildnis und –Kurve auf 100 DM-Schein

Die Cauchy-Verteilung

Die Student- oder t-Verteilung Hängt von Parameter n ab!

Die Chi-Quadrat-Verteilung Hängt ebenfalls von Parameter n ab!

Unabhängigkeit Vier Spielkarten zeigen auf der Vorderseite die folgenden Aufschriften: 1 Eine Karte wird zufällig gezogen. Ereignisse A, B und C A : Oben steht eine 0 B: In der Mitte steht eine 0 C: Unten steht eine

Trotzdem sind die Ereignisse A, B und C nicht unabhängig: d. h. C kann nicht eintreten, wenn A und B eintreten. Man hat zwar:

Allgemein definiert man:

Bedingte Wahrscheinlichkeiten Die Belegschaft eines Betriebes wird nach Rauchern und Nicht- rauchern eingeteilt. Dabei ergibt sich die folgende Tabelle:

Also haben wir: Allgemein definiert man:

Aufgabe 4

A und B sind unabhängig, weil P(A B) = P(A) P(B) A und B sind nicht unabhängig, weil P(A B) = P(A) P(B) A und B sind nicht unabhängig, weil P(A B) = P(A) P(B) A und B sind unabhängig, weil P(A B) = P(A) P(B)

Es ist P(A B) = 1/2 und P(B A) = 1/4 P(A B) = 1/3 und P(B A) = 1/4 P(A B) = 1/4 und P(B A) = 1/8 P(A B) = 1/8 und P(B A) = 1/3

Aufgabe 5

Die Wahrscheinlichkeit beträgt 0,333 0,25 0,125 0,5

Pfadregel

Dann hat man:

START p(1) p(2) p(3) p( ) p( ) p( ) p(1.2 1) p(3.3 3) p(2.1 2) (Eigentlich z. B. b(1.2.1) statt 1.2.1) Baumdiagramm

Wir betrachten eine Urne mit einer roten und 3 grünen Kugeln. 1.Stufe: Eine Kugel wird zufällig gezogen, ihre Farbe notiert. Anschließend werden diese und eine Kugel derselben Farbe in die Urne zurückgelegt. 2. Stufe: Nach dem guten Mischen wird erneut eine Kugel zufällig gezogen und deren Farbe notiert. Urne mit roten und grünen Kugeln

START /4 1/4 4/5 1/53/52/5 Baumdiagramm

Aufgabe 6

Die Wahrscheinlichkeit beträgt 0,56 0,25 0,65 0,50

Formel von der totalen Wahrscheinlichkeit Einkommensverteilung der Haushalte in einer bestimmten Gegend Anteil der Haushalte, die ein Auto > DM ,- anschaf- fen, in den verschiedenen Einkommensklassen

Es ergibt sich: Also nach der Formel für die totale Wahrscheinlichkeit: 5

Allgemein: Formel von der totalen Wahrscheinlichkeit

Satz von Bayes In einer Stadt vermutet man, dass für die Bevölkerung die folgende Aufteilung in Deutsche, Italiener und Ausländer, die keine Italiener sind, besteht: wobei die letzte Zeile den jeweiligen Anteil von Personen in der Bevölkerungsgruppe angibt, die gerne Spaghetti bestellen.

Jemand bestellt in einer Gaststätte Spaghetti. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass dieser Gast ein Deutscher, ein Italiener oder ein nicht-italienischer Aus- länder ist? D: Der Gast ist ein Deutscher I: Der Gast ist ein Italiener A: Der Gast ist ein Ausländer, aber kein Italiener S: Der Gast bestellt Spaghetti

Nach der Formel für die totale Wahrscheinlichkeit hat man: Daraus ergibt sich nach dem Satz von Bayes

Satz von Bayes

Lernen aus Erfahrung Beispiel Eine Urne enthält 4 Kugeln.Wir wissen, dass eine der folgen- den Situationen A 1, A 2 oder A 3 vorliegt: A 1 : eine Kugel ist rot, die drei anderen sind grün A 2 : zwei Kugeln sind rot, die beiden anderen grün A 3 : drei Kugeln sind rot, eine ist grün Die Wahrscheinlichkeiten für die drei Möglichkeiten sind un- bekannt. Wir setzen: P(A 1 ) = p 1 P(A 2 ) = p 2 P(A 3 ) = p 3

Wir ziehen aus der Urne m Kugeln mit Zurücklegen. Nehmen wir nun an, dass das Ereignis B geschieht. Bei jedem Zug zeigt sich eine rote Kugel B Dann hat man:

Nach dem Satz von Bayes erhalten wir: Ebenso :

Für große m nähert sich die bedingte Wahr- scheinlichkeit für A 3 gegeben B dem Wert 1, während sich die bedingten Wahrscheinlich- keiten für A 1 und A 2 dem Wert 0 annähern. Unabhängig von den Werten für p 1, p 2 und p 3 hat man:

Aufgabe 7

Die Wahrscheinlichkeit in (a) beträgt 0,15 0,5 0,2 0,1

Die Wahrscheinlichkeiten in (b) betragen 0,25 für A, 0,27 für B und 0,48 für C 0,2 für A, 0,3 für B und 0,5 für C 0,22 für A, 0,25 für B und 0,53 für C 0,25 für A, 0,28 für B und 0,47 für C

Grundbegriffe der (deskriptiven) Statistikder Wahrscheinlichkeitstheorie

Verteilungsfunktion Beispiel Würfel

Verteilungsfunktion Beispiel n-facher Münzwurf

Verteilungsfunktion der Normalverteilung I

Verteilungsfunktion der Normalverteilung II

Verteilungsfunktion Beispiel Haushaltsgröße

Häufigkeitstabelle für das Jahr 1980 (laut Schlittgen) Verteilungsfunktion

Zufallsvariablen Verteilung Verteilungsfunktion Wahrscheinlichkeitsfunktion Dichtefunktion Verteilung Die Verteilung einer ZV ist ein Wahrscheinlichkeitsmaß auf den reellen Zahlen diskret stetig

diskret f nennt man Wahrscheinlichkeitsfunktion von X

stetig f nennt man Dichtefunktion von X

Verteilungsfunktion diskret stetig

diskret stetig

Erwartungswert und Varianz I Der endliche Fall Erwartungswert Varianz

Die Binomialverteilung

Erwartungswert Varianz

Gegeben seien n Zufallsvariablen Dann gilt immer: Wenn gilt dann hat man auch Gleichheit von Bienaymé

Der diskrete unendliche Fall Dabei nehmen wir an, dass Erwartungswert Varianz Erwartungswert und Varianz II

Die Poisson-Verteilung

Erwartungswert Varianz

Der stetige Fall f ist die Wahrscheinlichkeitsdichte. Dabei nehmen wir an, dass Erwartungswert und Varianz III

Erwartungswert Varianz

Die Gauß- oder Normalverteilung

Aufgabe 8

Die Varianz und Streuung von X betragen 0,76 und 0,8718 0,86 und 0,8718 0,79 und 0,8718 0,76 und 0,7718

Aufgabe 9

Dichte Verteilung Verteilungsfunktion

Erwartungswert Varianz

Die hypergeometrische Verteilung Notation

Erwartungswert Varianz

Die geometrische Verteilung Man erhält eine Wahrscheinlichkeitsverteilung, weil gilt:

Erwartungswert Varianz

Die Exponential-Verteilung

Dichte Verteilung Verteilungsfunktion

Erwartungswert Varianz

Beispiele Poisson-verteilter Zufallsvariablen Anzahl der pro Zeiteinheit abgestrahlten Teilchen eines radioaktiven Präparats Anzahl der pro Zeiteinheit an einer Tankstelle tankenden PKW Anzahl der Sechser pro Ausspielung im Lotto Anzahl der pro Jahr von einer Versicherung zu regulierenden Schadensfälle Anzahl der innerhalbeines Tages geborenen Kinder

Brösel Bäckerei Brösel X : Anzahl der Kunden in der Bäckerei Brösel zwischen 7.00 Uhr und 7.15 Uhr n : Anzahl der betrachteten Haushalte Annahmen Die Wahrscheinlichkeit p, dass ein Haushalt zu der Zeit bei Brösel einkauft, ist bei allen Haushalten gleich Die Haushalte entscheiden unabhängig voneinander, ob sie bei Brösel einkaufen oder nicht

Dann gilt: d. h.

Nun wird die Anzahl n der betrachteten Haushalte vergrößert. Die Einkaufswahrscheinlichkeit p hänge dabei so von n ab, dass gilt: Dann konvergiert die Verteilung von X gegen eine Poisson- Verteilung. Genauer: Man hat im Limes n gegen unendlich

Der Zentrale Grenzwertsatz

Aufgabe 10

Die Wahrscheinlichkeiten betragen 0,312 in (a) und 0,686 in (b)

Das Gewicht in (c) beträgt etwa 210 g 195 g 201 g 220 g

Tafel für die Verteilungsfunktion bei Normalverteilung

Aufgabe 11

Beispiel Äpfeln Gewicht von Äpfeln Gewicht von Äpfeln der Sorte Cox-Orange aus einem bestimmten italienischen Anbaugebiet Schätzer von

Wichtige Eigenschaft der Normalverteilung Für unabhängige normalverteilte Zufallsvariablen X und Y hat man

+ - 1/3 1/4

/2 3/4 1/2 1

Endliche Markov-Ketten Der Aktienkurs der ZB-Aktie zeige das folgende Verhalten: - Wenn der Kurs heute gegenüber gestern gestiegen ist, dann steigt er morgen ebenfalls mit der Wahr- scheinlichkeit 2/3 und fällt morgen mit der Wahr- scheinlichkeit 1/3 (gegenüber heute). - Ist jedoch der Kurs heute gegenüber gestern gefallen, dann fällt er morgen ebenfalls mit der Wahr- scheinlichkeit 3/4 und steigt morgen mit der Wahr- scheinlichkeit 1/4 (gegenüber heute).

Wir versehen jeden Tag mit einem Plus (+) oder mit einem Minus (-) je nachdem, ob der Kurs an diesem Tag gegenüber dem Vortag gestiegen oder gefallen ist. Dann hängt die Prognose dafür, ob der Kurs morgen gegenüber heute steigt oder fällt, nur davon ab, ob die Aktie heute mit einem + oder mit einem – versehen ist /3 1/3 1/4 3/4

+ - 1/3 1/4

Problem 1 Problem 1: Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, in 10 Tagen einen Minus-Tag zu haben, wenn heute ein Plus-Tag ist? Problem 2 Problem 2: Wie entwickelt sich die Wahrscheinlichkeit, in n Tagen einen Minus-Tag zu haben, wenn heute ein Plus-Tag ist, für großes n? Strebt diese Wahrscheinlichkeit für n gegen einen festen Wert? Was passiert, wenn man von einem Minus-Tag aus startet?

/4 1/2 3/4 1/2 1

Die Maus in der Wohnung! Sie geht jeweils von einem Zimmer zu einem zufälligen Nachbarzimmer. Wie groß ist ihre Gewinnchance ? 5 4 KATZE Verlustzustand 1 MAUS Startzustand 2 3 KÄSE Gewinnzustand (Vorlesung Prof. Bandt)

/2 1/3 1/2 1/3 KÄSE KATZE MAUS

m-1 p p p p q q q q m

p p p p q q q q q m Ruin des Spielers

Anwendungen von Markov-Ketten Warteschlangen-Modelle Lagerhaltung Krankenstand in einem Betrieb und viele weitere ….

Aufgabe 12

Der langfristige Umsatzanteil des Unternehmens beträgt 1/5 1/3 2/3 1/4

Aufgabe 13

Die langfristige Verteilung der Kundenanteile ist gegeben durch (1/2, 1/2) (1/3, 2/3) (2/3, 1/3) (1/4, 3/4)

Aufgabe 14

Prof. S. muss im Durchschnitt länger als 130 Jahre warten ungefähr 2 Jahre warten zwischen 10 und 20 Jahren weniger als 10 Jahre warten