Statistische Methoden II SS 2003 Vorlesung:Prof. Dr. Michael Schürmann Zeit:Freitag (Pause: ) Ort:Hörsaal Loefflerstraße Übungen Gruppe 1: 414 Andreas Matz Di Gruppe 2: 414 Melanie Hinz Di Gruppe 3: 414 Andreas Matz Mi Gruppe 4: 301 Melanie Hinz Do Gruppe 5: 301 Birte Holtfreter Do Gruppe 6: 301 Birte Holtfreter Do Ort: Diagnostikzentrum in den Räumen 301 und 414

Maximum-Likelihood-Schätzer (diskreter Fall) Likelihood-Funktion M-L-Schätzer mit oder

Maximum-Likelihood-Schätzer (diskreter Fall) Likelihood-Funktion M-L-Schätzer mit oder

Der Parameter ist die beste Erklärung für die Beobachtung

Beispiel Poisson-Verteilung Stichprobe vom Umfang n mit Poisson- verteilter Stichprobenvariablen (Intensität: ) M-L-Schätzer für oder

Beispiel Bernoulli-Verteilung Stichprobe vom Umfang n mit Bernoulli- verteilter Stichprobenvariablen (p: Wahrscheinlichkeit des Ereignisses) M-L-Schätzer für p wieder gegeben durch:

Normalverteilte Stichprobenvariable M-L-Schätzer Erwarungswert Hier spielt es keine Rolle, ob die Varianz bekannt ist oder nicht. In jedem Fall gilt:

Normalverteilte Stichprobenvariable M-L-Schätzer Varianz bekannt

Normalverteilte Stichprobenvariable M-L-Schätzer Varianz unb ekannt

Übersicht

Beispiel Äpfeln Gewicht von Äpfeln Gewicht von Äpfeln der Sorte Cox-Orange aus einem bestimmten italienischen Anbaugebiet

Erwartungstreue Schätzer Wenn der Parameter selbst geschätzt werden soll: Wenn ein allgemeines statistisches Problem vorliegt: Dabei bedeutet der Index, dass der Erwartungswert bzgl. des W.maßes zum Parameter genommen wird.

Schätzung des Erwartungswertes der Stichprobenvariablen X Statistisches Problem gegeben durch: Erwartungstreuer Schätzer:

Schätzung der Varianz der Stichprobenvariablen X Statistisches Problem gegeben durch: Erwartungstreuer Schätzer: Erwartungswert bekannt

Schätzung der Varianz der Stichprobenvariablen X Statistisches Problem gegeben durch: Erwartungstreuer Schätzer: Erwartungswert unbekannt

Normalverteilte Stichprobenvariable Erwartungstreuer Schätzer für den Erwarungswert Hier spielt es wieder keine Rolle, ob die Varianz bekannt ist oder nicht. In jedem Fall gilt: erwartungstreu ist erwartungstreu

Normalverteilte Stichprobenvariable Erwartungstreuer Schätzer für die Varianz bekannt erwartungstreu ist erwartungstreu

Normalverteilte Stichprobenvariable Erwartungstreuer Schätzer für die Varianz unb ekannt erwartungstreu ist erwartungstreu Kein M-L-Schätzer!!

Übersicht erwartungstreu erwartungstreu erwartungstreu nicht erwartungstreu

Konfidenzintervalle Intervallschätzung Jeder Beobachtung wird ein Intervall C( ) der reellen Zahlen zugeordnet Niveau Dabei ist die Wahrscheinlichkeit. eine Beobachtung zu machen, für die der wahre Parameter im zugehörigen Intervall liegt, größer oder gleich 1 -

Die Ungleichung vonTschebyschev

Niveau klein Das Niveau wird klein gewählt. (Wir nehmen in unseren Beispielen in den meisten Fällen = 0.05 oder = 0.1) Zusammen- Es gibt aber einen Zusammen- hang hang zwischen der Breite der Konfidenzintervalle und dem Niveau: Niveau kleiner Intervall breiter Die Intervallbreite soll möglichst gering sein.

Beispiel Äpfeln Gewicht von Äpfeln Gewicht von Äpfeln der Sorte Cox-Orange aus einem bestimmten italienischen Anbaugebiet Schätzer von

Wichtige Eigenschaft der Normalverteilung Für unabhängige normalverteilte Zufallsvariablen X und Y hat man

Konfidenzintervall für den Erwartungswert Varianz bekannt Annahme: Konfidenzintervalle: wobei

In unserem Beispiel: Bei einem Niveau von = 0.05 ist 1 - /2 = Es ergibt sich: und

Tafel für die Verteilungsfunktion bei Normalverteilung

Beispiel Kaufhaus-Konzern Kauf würde in Erwägung gezogen Kauf würde nicht in Erwägung gezogen

Der Zentrale Grenzwertsatz

Approximative Konfidenzintervalle im Bernoulli-Fall I Konfidenzintervall zum Niveau

Approximative Konfidenzintervalle im Bernoulli-Fall II Vereinfachung für großes n (n 100)

Die Student- oder t-Verteilung Hängt von Parameter n ab!

Die Chi-Quadrat-Verteilung Hängt ebenfalls von Parameter n ab!

Konfidenzintervall für den Erwartungswert Varianz unbekannt Student-Verteilung (oder t-Verteilung)

Konfidenzintervall für die Varianz Erwartungswert bekannt Einseitig Chi-Quadrat- Verteilung

Konfidenzintervall für die Varianz Erwartungswert bekannt zweiseitig Chi-Quadrat- Verteilung

Konfidenzintervall für die Varianz Erwartungswert unbekannt Einseitig Chi-Quadrat- Verteilung

Konfidenzintervall für die Varianz Erwartungswert unbekannt Zweiseitig Chi-Quadrat- Verteilung

Beispiel Äpfeln Gewicht von Äpfeln Gewicht von Äpfeln der Sorte Cox-Orange aus einem bestimmten italienischen Anbaugebiet