Die Vorlesung am 14. Mai (Tag nach Himmelfahrt) wird auf Montag, den 17. Mai verlegt! Zeit: 16 Uhr Ort: Kiste Nächste Woche!!!!

Konfidenzintervalle Intervallschätzung Jeder Beobachtung wird ein Intervall C( ) der reellen Zahlen zugeordnet Niveau Dabei ist die Wahrscheinlichkeit, eine Beobachtung zu machen, für die der wahre Parameter im zugehörigen Intervall liegt, größer oder gleich 1 -

Niveau klein Das Niveau wird klein gewählt. (Wir nehmen in unseren Beispielen in den meisten Fällen = 0.05 oder = 0.1) Zusammenhang Es gibt aber einen Zusammenhang zwischen der Breite der Konfidenzintervalle und dem Niveau: Niveau kleiner Intervall breiter Die Intervallbreite soll möglichst gering sein.

Beispiel Äpfeln Gewicht von Äpfeln Gewicht von Äpfeln der Sorte Cox-Orange aus einem bestimmten italienischen Anbaugebiet Schätzer von

Wichtige Eigenschaft der Normalverteilung Für unabhängige normalverteilte Zufallsvariablen X und Y hat man

Konfidenzintervall für den Erwartungswert Varianz bekannt Annahme: Konfidenzintervalle: wobei

In unserem Beispiel: Bei einem Niveau von = 0.05 ist 1 - /2 = Es ergibt sich: und

Verwendung der Tafel für die Normalvertreilung

Tafel für die Verteilungsfunktion bei Normalverteilung

Beispiel Kaufhaus-Konzern Kauf würde in Erwägung gezogen Kauf würde nicht in Erwägung gezogen

Der Zentrale Grenzwertsatz

Approximative Konfidenzintervalle im Bernoulli-Fall I Konfidenzintervall zum Niveau

Approximative Konfidenzintervalle im Bernoulli-Fall II Vereinfachung für großes n (n 100)

Die Chi-Quadrat-Verteilung Hängt von Parameter n ab!

Die Chi-Quadrat-Verteilung Wahrscheinlichkeitsdichte Die Konstante c ist dabei: : Gamma-Funktion

Die Student- oder t-Verteilung Hängt ebenfalls von Parameter n ab!

Die Student- oder t-Verteilung Wahrscheinlichkeitsdichte Die Konstante d ist dabei:

unabhängige Für n unabhängige Zufallsvariablen mit hat man: Mathematische Bedeutung der Chi-Quadrat-Verteilung

unabhängige Für unabhängige Zufallsvariablen W und U mit hat man: Mathematische Bedeutung der t-Verteilung

Konfidenzintervall für den Erwartungswert Varianz unbekannt Student-Verteilung (oder t-Verteilung)

Konfidenzintervall für die Varianz Erwartungswert bekannt Einseitig Chi-Quadrat- Verteilung

Konfidenzintervall für die Varianz Erwartungswert bekannt zweiseitig Chi-Quadrat- Verteilung

Konfidenzintervall für die Varianz Erwartungswert unbekannt Einseitig Chi-Quadrat- Verteilung

Konfidenzintervall für die Varianz Erwartungswert unbekannt Zweiseitig Chi-Quadrat- Verteilung

Übersicht I Konfidenzintervalle für den Erwartungswert

Übersicht II Konfidenzintervalle für die Varianz

Rechenbeispiel Stichprobe vom Umfang n = Stichprobenfunktionen

Tafel für die Verteilungsfunktion bei Normalverteilung

Fehler: 0,831

Fehler: 0,831

Fehler: 0,831

Fehler: 0,831

Konfidenzintervalle für diese konkrete Stichprobe 1.Fall 2.Fall 3.Fall

6.Fall Fall 4.Fall

Beispiel Äpfeln Gewicht von Äpfeln Gewicht von Äpfeln der Sorte Cox-Orange aus einem bestimmten Anbaugebiet

Konfidenzintervalle für diese konkrete Stichprobe Die anderen Fälle zur Übung empfohlen!! 2.Fall 5.Fall

Beispiel Äpfeln Gewicht von Äpfeln Gewicht von Äpfeln der Sorte Cox-Orange aus einem bestimmten Anbaugebiet

Der Besitzer P einer Apfelplantage im Kraichgau behauptet gegenüber dem Großhändler G aus Sinsheim, dass die Äpfel seiner Sorte Cox-Orange aus der Lage Sonnenstrahl dieses Jahr ein mittleres Gewicht von wenigstens 142 g aufweisen. G schlägt daraufhin P das folgende Verfahren vor: Die beiden greifen zufällig 16 Äpfel aus der diesjährigen Sonnenstrahl-Lage heraus und bestimmen deren Gewicht. Das arithmetische Mittel x und die empirische Streuung s der Apfelgewichte setzen Sie dann in die folgende Zauber- formel ein: y = x + 0,438 s

Ist 142 größer als der errechnete Wert y, dann wird G nicht kaufen, andernfalls kommen G und P ins Geschäft. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass G nicht kauft, obwohl das mittlere Apfelgewicht in Wirklichkeit über 142 g lag?