Lebensdauer eines x-jährigen Manuel Sampl Proseminar Bakkalaureat TM 13.12.2005

Modell Person mit Alter x zukünftige Lebensdauer T = T(x) x+T Todesalter der Person

Verteilsfunktion von T T eine Zufallsvariable Verteilsfunktion G(t) = Pr(T ≤ t), t ≥ 0. t fest G(t) die Wahrscheinlichtkeit, innerhalb von t Jahren zu sterben

Verteilsfunktion von T stetig Wahrscheinlichkeitsdichte g(t) = G‘(t) Beispiel g(t) dt = Pr(t < T < t + dt) Wahrscheinlichkeit des Todes in diesem Intervall

Symbolik internationale Symbolik in der Versicherungsmathematik tqx = G(t) tpx = 1 – G(t) sItqx = Pr(s < T < s+t) = G(s+t) – G(s) = s+tqx - sqx

Bedingte Wahrscheinlichkeiten tpx+s eine bedingte Wahrscheinlichkeit tpx+s = Pr(T > s+t I T > s) = (1 – G(s+t)) / (1 – G(s)) tqx+s = Pr(T ≤ s+t I T > s) = (G(s+t) – G(s)) / (1 – G(s))

Lebenserwartung ėx als Symbol für die E(T) des x-jährigen ∞ ėx = ∫t g(t) dt Verteilsfuntkion von T ∞ ∞ ėx = ∫(1 – G(t)) dt = ∫tpx dt 0 0

Vereinfachungen der Notation Präfixe der Symbole tqx , tpx , sItqx für t =1 qx , px , sIqx

Die Sterblichkeitsintensität Definition μx+t = g(t) / (1 – G(T)) = - d/dt ln(1 – G(t)) weil g(t) dt = Pr(t < T < t+dt) und tpx = 1 – G(t) alternativer Ausdruck Pr(t < T < t+dt) = tpx μx+t dt

Lebenserwartung Schreibweisen ėx = ∫t tpx μx+t dt ėx = ∫t g(t) dt ∞ ėx = ∫t tpx μx+t dt ėx = ∫t g(t) dt ∞ ∞ ėx = ∫(1 – G(t)) dt = ∫tpx dt 0 0

Analytische Verteilung von T analytisch bzw. „mathematisch“, falls G(t) durch eine einfache Formel beschrieben wird Vorteil wenig Paramter Nachteil ungenau

Beispiele von analytischen Verteilungen

De Moivre (1724) oberstes Alter ω T gleichverteilt im Intervall (0 , ω-x) g(t) = 1 / (ω – x) Sterblichkeitsintensität μx+t = 1 / (ω – x – t) für 0 < t < ω – x wachsende Funktion

Gompertz (1824) exponentielles Wachstum μx+t = B cx+t mit B, c, t > 0 Vergleich zu De Moivre bessere Beschreibung menschlichen Alterns oberstes Alter ω überflüssig

Makeham (1860) Verallgemeinerung von Gompertz μx+t = A + B cx+t mit A > 0

konstante Sterblichkeitsintensität Gompertz μx+t = B cx+t c = 1 Makeham μx+t = A + B cx+t B = 0

Weibull (1939) Wachstum μx+t = k (x + t)n mit k, n > 0 nicht exponentiell wie eine Potenz μx+t = k (x + t)n mit k, n > 0

Die gestutzte Lebensdauer Modell μx+t = g(t) / (1 – G(T)) = - d/dt ln(1 – G(t)) Pr(t < T < t+dt) = tpx μx+t dt

Zufallsvariabelen K = K(x) S = S(x)

Sei K = [T] die ganzzahlig gestutzte zukünftige Lebensdauer Pr(K = k) = Pr(k < T < k+1) für k = 0, 1, ... Erwartungswert von K heißt die gestutzte Lebenserwartung bezeichnet mit ex

Sei S der Bruchteil des Jahres im Todesjahr S im Intervall ( 0 , 1 ) T = K + S Approximation mit S = ½ ėx ≈ ex + ½ als Näherung

Verwendung in der Praxis um die vollständige Lebenserwartung auszurechnen Vorteil einfacher auszuwerten Nachteil nicht ganz so genau