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Ausgleich von Sterbetafeln
Andrea Borenich
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Ausgleich von Sterbetafeln
Bestimmung der rohen Sterbewahrscheinlichkeiten Ausgleich von Sterbetafeln
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Inhalt von Sterbetafeln
Sterbewahrscheinlichkeit qx eines x-jährigen zahlreiche weitere Kenngrößen
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Arten von Sterbetafeln:
Periodensterbetafel Selektionssterbetafel Kompakttafel Dekrementtafel Generationssterbetafel
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Periodensterbetafel Werden auf Grund von gewöhnlichen
Sterbehäufigkeiten berechnet Beziehen keine weiteren Parameter außer dem Alter mit ein
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Selektionssterbetafel
Zusätzliche Parameter (Zeitpunkt) z.B.: Eintreten der Invalidität Durchführung einer ärztlichen Kontrolle
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Kompakttafel beinhaltet Abschlusszeitpunkt der Versicherung
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Dekrementtafel Auch andere Austrittsmöglichkeiten als Tod zugelassen (werden wie Tod behandelt)
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Generationssterbetafel
Entwicklung der Sterbewahrscheinlichkeiten über einen längeren Zeitraum hinweg betrachtet
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Bestimmung der rohen Sterbewahrscheinlichkeiten (1)
Lx… Gesamtheit der Personen mit Alter x Tx… Anzahl der Todesfälle im folgenden Jahr qx… Wahrscheinlichkeit des Todes einer Person (Zufallsereignis) Rel. Häufigkeit: (einfacher Schätzwert für qx)
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Bestimmung der rohen Sterbewahrscheinlichkeiten (2)
Geschlossene Gemeinschaft: Eintritt nur durch Geburt möglich Austritt nur durch Tod möglich Offene Gemeinschaft: Freiwilliger Ein- und Austritt möglich
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Bestimmung der rohen Sterbewahrscheinlichkeiten (3)
Geburtsdaten der Personengesamtheit unterscheiden sich voneinander die Daten aus Volkszählungen ergeben sich zu gewissen Stichtagen => Einführung von ganzzahligen t, τ
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Schätzwert für qx bei geschlossener Gemeinschaft (1)
L(t, τ ): Anzahl der Lebenden am 1.1. eines Kalenderjahres t, die im Kalenderjahr τ geboren sind T(−)(t, τ ): Zahl der Todesfälle im Kalenderjahr t von Personen, die im Jahr τ geboren sind und das Lebensjahr t− τ zum Zeitpunkt des Todes noch nicht vollendet haben T(+)(t, τ ) Zahl der Todesfälle im Kalenderjahr t von Personen, die im Jahr τ geboren sind und das Lebensjahr t − τ zum Zeitpunkt des Todes bereits vollendet haben
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Schätzwert für qx bei geschlossener Gemeinschaft (2)
am Stichtag 1.1. des Jahres t: Lx = L(t, t − x − 1) + T(+)(t − 1, t − x − 1) sowie Tx = T(+)(t − 1, t − x − 1) + T(−)(t, t − x − 1), Schätzwert für qx:
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Schätzwert für qx bei offener Gemeinschaft (1)
Ex… Die Zahl neu eintretender Personen des Alters x Ax… Die Anzahl abwandernder Personen des Alters x ex,v... die vom v-ten Eintretenden im Beobachtungszeitraum innerhalb der Personengemeinschaft verbrachte Zeit ax,v … die vom v-ten Austretenden außerhalb verbrachte Zeit diese Zeiten betragen im Durchschnitt ein halbes Jahr (sofern keine anderen Informationen vorliegen).
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Schätzwert für qx bei offener Gemeinschaft (2)
Es gilt und Zahl der Todesfälle: Schätzwert für qx:
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Ausgleich von Sterbetafeln
Anzahl der Todesfälle ist als Zufallsvariable gewissen Schwankungen unterworfen
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Möglichkeiten Graphische Ausgleichung Sterbegesetze
Analytische Ausgleichung Mechanische Ausgleichung
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Graphische Ausgleichung
Konstruktion einer Kurve, die sich optisch gut an die Daten anpasst
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Sterbegesetze (1) Gompertz: Aus der Annahme, die Sterbeintensität
sei von der Form ergibt sich lx… Zahl der Lebenden
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Sterbegesetze (2) Makeham: Erweitert man dies auf , so erhält man .
Der Vorteil besteht hier darin, dass verschiedenste versicherungsmathematische Formeln eine besonders schöne Form erhalten.
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Analytische Ausgleichung (1)
Ausgleichende Kurve in der Form f(x,a0,…,am), wobei ai Parameter
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Analytisches Verfahren von King und Hardy (1)
Formel von Makeham
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Analytisches Verfahren von King und Hardy (2)
Parameter a, b, c müssen geschätzt werden die rohen Sterbewahrscheinlichkeiten für x0 < x < x0+3m−1 gegeben die Wahrscheinlichkeit für einen (x0 + (k − 1)m)- jährigen, weitere m Jahre zu leben
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Analytisches Verfahren von King und Hardy (3)
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Analytische Ausgleichung (2)
Nachteil: Bei geringer Anzahl von Parametern werden die Kurven nicht gut genug angepasst bzw. erst ab einem gewissen Alter (meist etwa > 30 Jahre) können brauchbare Näherungen geliefert werden. Bei großer Parameterzahl wächst hingegen der rechnerische Aufwand.
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Mechanische Ausgleichung
Durch Mittelwertbildung werden Schwankungen ausgeglichen und dadurch wird die Datenreiche geglättet
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Mechanische Ausgleichung von Wittstein (1)
arithmetische Mittel aus fünf aufeinander folgenden Werten gebildet und dieser Vorgang einmal iteriert
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Mechanische Ausgleichung von Wittstein (2)
Dies kann auch folgendermaßen interpretiert werden. Man legt für je eine Gerade durch die Punkte (n − i, an−i) und (n − i + 5, an−i+5). Auf jeder dieser Geraden wird der Wert an der Stelle n bestimmt und daraus das arithmetische Mittel gebildet. Dabei kommt man auf
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Andere Methoden Wollhouse -> Parabeln
Karup -> Polynome 3. Grades
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