Kapitel 13 Zeitreihen und Zeitreihen-Modelle

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1 Kapitel 13 Zeitreihen und Zeitreihen-Modelle

2 Hackl, Einführung in die Ökonometrie (13)
Privater Konsum Privater Konsum, Ö, Mrd.EUR, in Preisen von 1995 Hackl, Einführung in die Ökonometrie (13)

3 Hackl, Einführung in die Ökonometrie (13)
Privater Konsum, Forts. Änderung des Privaten Konsums, Mrd.EUR, in Preisen von 1995 Hackl, Einführung in die Ökonometrie (13)

4 Persönlich verfügbares Einkommen
Quartalsdaten Hackl, Einführung in die Ökonometrie (13)

5 Hackl, Einführung in die Ökonometrie (13)
Zeitreihe Ist eine zeitlich geordnete Folge von Beobachtungen einer Zufallsvariablen Beispiele: Jährliche Werte des Privaten Konsums Änderungen der Ausgaben für Privaten Konsum Quartalswerte des persönlich verfügbaren Einkommens Monatliche Werte der Importe Notation: Zufallsvariable Y Folge von Beobachtungen: Y1, Y2, ... , Yn Zeitreihe wird auch als Realisation eines stochastischen Prozesses aufgefasst Hackl, Einführung in die Ökonometrie (13)

6 Komponenten einer Zeitreihe
Komponeten oder Charakteristika einer Zeitreihe sind Trend Saisonalität Irreguläre Fluktuationen Modell einer Zeitreihe soll die Charakteristika möglichst gut repräsentieren Darstellung der Zeitreihe Prognose (Extrapolation) Beispiel: Yt = βt + ΣiγiDit + ut mit Dit = 1 wenn t das i-te Quartal zum Beschreiben der Entwicklung des persönlichen Einkommens Hackl, Einführung in die Ökonometrie (13)

7 Stochastischer Prozess
Ist eine Folge von Zufallsvariablen Yt: {Yt, t = 1, ..., n} {Yt, t = -∞, ..., ∞} Gemeinsame Verteilung der Y1, ... , Yn: p(y1, …., yn) Für viele Fragestellungen: wesentliches Charakteristikum von p(.) ist der Verlauf des Erwartungswertes mt = E{Yt} Beispiel: Extrapolieren einer Zeitreihe zum Zweck der Prognose Hackl, Einführung in die Ökonometrie (13)

8 Hackl, Einführung in die Ökonometrie (13)
Stationarität Stationarität eines stochastischen Prozesses: Eigenschaft der gemeinsamen Verteilung, insbesondere der Varianzen Var{Yt} und der Kovarianzen Cov{Yt, Yt+k} Kovarianz-Funktion: gt,k = Cov{Yt, Yt+k}, k = 0, ±1,… Eigenschaften: gt,k = gt,-k gt,0 = 1 Schwach stationärer Prozess: E{Yt} = m für alle t Cov{Yt, Yt+k} = gk, k = 0, ±1, … für alle t und alle k auch kovarianz-stationärer Prozess Hackl, Einführung in die Ökonometrie (13)

9 Hackl, Einführung in die Ökonometrie (13)
AC- und PAC-Funktion Autokorrelations-Funktion (AC-Funktion) ist von Skalierung von Y unabhängig; für stationären Prozess: rk = gk/g0, k = 0, ±1,… Eigenschaften: |rk| ≤ 1 rk = r-k r0 = 1 Korrelogramm: graphische Darstellung der AC-Funktion Partielle Autokorrelations-Funktion (PAC-Funktion): fkk = Corr(Yt, Yt-k|Yt-1,...,Yt-k+1), k = 0, ±1, … fkk ergibt sich aus Yt = fk0 + fk1Yt fkkYt-k Partielles Korrelogramm: graphische Darstellung der PAC-Funktion Hackl, Einführung in die Ökonometrie (13)

10 AC- und PAC-Funktion, Forts.
Beispiel: Weißes Rauschen rk = fkk = 1, wenn k = 0, rk = fkk = 0, wenn k ≠ 0, Schätzen der AC- und PAC-Funktion: Schätzer für rk: Schätzer für fkk ergibt sich als Koeffizient von Yt-k aus Regression von Yt auf Yt-1, …, Yt-k Hackl, Einführung in die Ökonometrie (13)

11 Hackl, Einführung in die Ökonometrie (13)
AR(1)-Prozess Yt = jYt-1 + et mit et: Weißes Rauschen, Var{et} = s2 Alternative Darstellung: Yt = Sijiet-i Mit |j| < 1 ergibt sich |j| < 1 nennt man die Stationaritäts-Bedingung AC-Funktion: rk = jk, k = 0, ±1,… PAC-Funktion: f11 = j, fkk = 0 für k > 1 Hackl, Einführung in die Ökonometrie (13)

12 Hackl, Einführung in die Ökonometrie (13)
AR(p)-Prozess Yt = a + j1Yt-1 + … + jpYt-p + et mit et: Weißes Rauschen Lag-Operator L: verschiebt den Laufindex um eine Periode LYt = Yt-1 Es gilt: LsYt = Yt-s; L0Yt = Yt AR(p)-Prozess: Yt - j1Yt-1 - … - jpYt-p = (I - j1L - … - jpLp)Yt = a + et oder F(L)Yt = a + et mit dem Lag-Polynom F(L) Stationaritäts-Bedingung: Für die p Wurzeln zi des Charakteristischen Polynoms F(z) = 1 - j1z - … - jpzp muss gelten: |zi| > 1, i = 1, …, p Hackl, Einführung in die Ökonometrie (13)

13 Hackl, Einführung in die Ökonometrie (13)
AR(p)-Prozess, Forts. Yt = a + j1Yt-1 + … + jpYt-p + et mit et: Weißes Rauschen Sei Stationaritäts-Bedingung erfüllt (die p Wurzeln des Charakteristischen Polynoms F(z) erfüllen |zi| > 1) AC-Funktion: gedämpft, unendlich PAC-Funktion: fkk = 0 für k > p Kenntnis der Form der AC- und PAC-Funktionen hilft beim Identifizieren der Ordnung des Prozesses Hackl, Einführung in die Ökonometrie (13)

14 Hackl, Einführung in die Ökonometrie (13)
MA(1)-Prozess Yt = a + ut - qut-1 = a + Q(L)ut mit ut: Weißes Rauschen AR(∞)-Darstellung: Yt = a/(1-q) + ut + Si q iYt-i setzt voraus, dass |q| < 1 (Invertierbarkeits-Bedingung) Eigenschaften des MA(1)-Prozesses: Der Prozess ist für alle a und q stationär E{Yt} = a, Var{Yt} = s2(1+q2), g1 = s2q AC-Funktion: r1 = - q/(1-q2), rk = 0 für k > 1 PAC-Funktion: exponentiell abnehmend, wenn q > 0, sonst alternierend, exponentiell abnehmend Hackl, Einführung in die Ökonometrie (13)

15 Hackl, Einführung in die Ökonometrie (13)
MA(q)-Prozess Yt = a + ut - q1ut-1 - … - qqut-q = a + Q(L)ut mit ut: Weißes Rauschen Eigenschaften des MA(q)-Prozesses: MA(q)-Prozess ist stets stationär AC-Funktion: rk = 0 für k > q PAC-Funktion: exponentiell abnehmend bei reellen Wurzeln des Charakteristischen Polynoms Q(z) = 0 in Cosinus- oder Sinus-Schwingungen abnehmend bei komplexen Wurzeln des Charakteristischen Polynoms Q(z) = 0 Hackl, Einführung in die Ökonometrie (13)

16 Hackl, Einführung in die Ökonometrie (13)
ARMA(p,q)-Prozess Yt = a + j1Yt-1 + … + jpuYt-p + et et = ut - q1ut-1 - … - qqut-q = Q(L)ut mit ut: Weißes Rauschen; oder F(L)Yt = a + Q(L)ut MA(∞)-Darstellung: Yt = y0 + Siyiut-i; die Koeffizienten yi sind Funktionen der ji und qi AR(∞)-Darstellung analog Stationärität des ARMA(p,q)-Prozesses: wenn für alle p Wurzeln zi des Charakteristischen Polynoms F(z) = 1 - j1z - … - jpzp gilt: |zi| > 1 (Stationäritäts-Bedingung) Hackl, Einführung in die Ökonometrie (13)

17 ARMA(p,q)-Prozess: Übersicht
Bedingung für AR(p) F(L)Yt=ut MA(q) Yt = Q(L)ut ARMA(p,q) F(L)Yt=Q(L)ut Stationarität Wurzeln zi von F(z)=0: |zi| > 1 stets stationär Invertibilität stets invertierbar Wurzeln zi von Q(z)=0: |zi| > 1 AC-Funktion gedämpft, unendlich rk = 0 für k>q PAC-Funktion fkk = 0 für k>p Hackl, Einführung in die Ökonometrie (13)

18 Identifizieren von ARMA-Modellen
Vergleich der empirischen AC- und PAC-Funktion mit den theoretischen Gegenstücken Abbruch der PAC-Funktion: Hinweis auf Ordnung des AR-Prozesses AC-Funktion: Hinweis auf Ordnung des MA-Prozesses Empirisches Korrelogramm: rk Standardfehler aus Var{rk} ≈ (1+2Sri2)/n für k>q, wenn ri = 0 für alle i > q Analog empirische Partielles Korrelogramm Hackl, Einführung in die Ökonometrie (13)