Kapitel 2: Analoge, periodische Signale SiSy, Rumc, 2-1 Analoges Signal Funktion mit kontinuierlichem Definitions- und Wertebereich meist Amplitude (U, I) in Funktion der Zeit oft auch Darstellung im Frequenzbereich s(t) t Deterministische Signale gehorchen einer Gesetzmässigkeit (z.B. mathematischer Formel) tragen keine Information (wichtige Test-, Hilfs- und Trägersignale) => Periodische Signale => Transiente oder nicht-periodische Signale Stochastische Signale (Zufallssignale) Beschreibung mit statistischen Grössen (z.B. Amplitudenverteilung) tragen Information oder stellen Rauschen, Störungen dar

Linearer Mittelwert s(t) = s(t-kT) für k=0, ±1, ±2, ... SiSy, Rumc, 2-2 s(t) 1 s(t) = s(t-kT) für k=0, ±1, ±2, ... Grundfrequenz f0 = 1/T [Hz] T/m T t IA0I -1 Periode T Linearer Mittelwert (t0 beliebig) Beispiel: A0 = 2/m – 1 (z.B. m=2 => A0 = 0, m=4 => A0 = -0.5) Mittelwertfreies Signal s(t) - A0 (z.B. durch AC-Kopplung beim KO) Mittelwertbildung als TP-Funktion: s(t) A0 Approximation (T=N·Δt)

Leistung Normierte Momentan-Leistung SiSy, Rumc, 2-3 Normierte Momentan-Leistung p(t) = u(t) · i(t) @ R = 1 Ohm => p(t) = s2(t) Mittlere normierte Leistung (@ 1 Ohm) Periodische Signale haben endliche Leistung (Leistungssignale)! Beispiel Rechtecksignal oben: P = 1 für alle m Effektivwert bzw. rms-Wert (Root Mean Square) Srms = √PT Beispiel: s(t) = Spsin(2πf0t) => PT = Sp2/2 = Seff2 = (Srms)2 => Sp=√2·Srms

Winkelfunktionen SiSy, Rumc, 2-4 Die bekanntesten periodischen Signale sind die Winkelfunktionen. s(t) = Sp·sin(2πf0t) oder s(t) = Sp·cos(2πf0t) = Sp·sin(2πf0t+π/2) φ Sp (π/2) (3π/2) (φ) t T/2 T -Sp ejφ = cos(φ) + j·sin(φ) Euler-Formeln: j cos(φ) = ( ejφ + e-jφ ) / 2 j·sin(φ) φ 1 sin(φ) = ( ejφ - e-jφ ) / 2j cos(φ)

Herleitung Eulerformeln SiSy, Rumc, 2-5 komplexe Zahl z und konjugiert komplexe Zahl z* z = a + j∙b z* = a - j∙b Real- und Imaginär-Teil von z a = (z + z*) / 2 b = (z - z*) / 2j Euler-Formel ejφ = cos(φ) + j·sin(φ) z = ejφ j j·sin(φ) a = (ejφ + e-jφ) / 2 = cos(φ) φ 1 b = (ejφ - e-jφ) / 2j = sin(φ) cos(φ)

Fourierreihe SiSy, Rumc, 2-6 Fourier (1768-1830): Jede periodische Funktion s(t) kann durch eine Summe harmonischer Schwingungen dargestellt werden: „gerade“ „ungerade“ wobei linearer Mittelwert, „DC-Anteil“ k≥1 Cosinus-Amplitudenspektrum Linienspektrum k≥1 Sinus-Amplitudenspektrum Beispiel: periodisches, symmetrisches Rechtecksignal (m=2)

Gütekriterium für die Approximation SiSy, Rumc, 2-7 Jede cos- oder sin-Schwingung in der Fourierreihe approximiert das periodische Signal s(t) im Sinne der kleinsten Fehlerquadrate. Beispiel: s(t) soll mit A1·cos(2π·f0·t) approximiert werden, wobei f0 = 1/T Frage: Welches A1 minimiert die Summe der Fehlerquadrate? Lösung: dΔ / dA1 = 0 => optimaler Koeffizient A1 ist aber identisch mit dem entsprechenden Fourierkoeffizienten Die einzelne Koeffizienten Ak und Bk dürfen unabhängig voneinander optimiert werden, weil die harmonischen Schwingungen orthogonal sind. Fehler r(t)

Gibb‘sches Phänomen SiSy, Rumc, 2-8 Approximation symmetrisches, periodisches Rechtecksignal Gibb’sches Phänomen (Überschwingen bei Nachbildung der Flanke) verschwindet selbst für K   nicht.

Fourierreihe (Betrag / Phase) SiSy, Rumc, 2-9 Betrag-/Phasen-Darstellung Zusammenhang mit Cosinus- und Sinus-Koeffizienten Mk Bk φk Ak M·cos(2πkf0t+φ) = M·cos(φ)·cos(2πkf0t) + M·sin(φ)·sin(2πkf0t) Beispiel: symmetrisches, periodisches Rechtecksignal M1 Mk = Bk = (4/π)/k M3 φ1 φ3 φ5 φk = atan(Bk/0) = π/2 M5 f f f0 3f0 5f0 f0 3f0

Fourierreihe (komplex) SiSy, Rumc, 2-10 1 komplexer statt 2 reelle Koeffizienten pro Harmonische Ausgangspunkt: einzelne Fourierkomponente Umformung mit Euler-Formel Zusammenfassung ej… und e-j… Terme ck c-k

Fourierreihe (komplex) SiSy, Rumc, 2-11 Zweiseitige Betrag-/Phasen-Darstellung Zusammenhang mit anderen Fourier-Koeffizienten für k≥1 Beispiel: zweiseitiges Linienspektrum s(t) ck 1 t f T T f0 3f0 2

Leistung Satz von Parseval SiSy, Rumc, 2-12 Satz von Parseval Harmonische sind orthogonal => Addition der mittleren Leistungen DC- Leistung AC- Leistungen Klirrfaktor Mass für Abweichung von einem reinen Sinus-Signal Mass für Verzerrung bei Verarbeitung oder analoger Übertragung Klirrfaktor-Messgerät: Effektiv-Voltmeter mit tunable Notch-Filter

Numerische Approximation SiSy, Rumc, 2-13 Approximation mit N Abtastwerten einer Periode (T=N·Δt, t0=0) DFT k=0, 1, …, N-1 Approximation ck ≈ S[k] / N für k=0, 1, …, N/2 Beispiel N=1024; % Stützwerte pro Periode s=[ones(1,N/2) (-1)*ones(1,N/2)]; S=fft(s); % DFT c=S/N; % Achtung c0=c(1), c1=c(2) stem([0:19], abs(c(1:20))); grid; % Beträge erste 20 ck-Werte P=sum(abs(c).^2) % Leistung (Parseval) N Stützwerte 1 T=N·Δt Δt -1