LU12 & LU13: Quadratwurzeln und Satz von Pythagoras 1 Die Wurzel einer Zahl a ist diejenige Zahl x, die mit sich selbst multipliziert wieder die Zahl a ergibt: Vereinbarung: Die Wurzel ei-ner Zahl ist immer positiv! Beispiele: 1. 10 da 102 = 100 2. 0,6 da 0,62 = 0,36 da 3. 4. 16p6= 4p3 da (4p3)2 = 16p6
LU12 & LU13: Quadratwurzeln und Satz von Pythagoras 2 Irrationale Zahlen Zahlen, die sich nicht als Bruch darstellen lassen, heissen irrationale Zahlen. Die irrationalen Zahlen ergeben zusam-men mit den rationalen Zahlen die reellen Zahlen . Beispiele: Eigenschaften: ► Irrationale Zahlen sind nicht abbrechend. ► Irrationale Zahlen sind nicht periodisch. 3 107 -3 2,25 Irrationale Zahlen Zahlenmengen:
LU12 & LU13: Quadratwurzeln und Satz von Pythagoras 3 Rechnen mit Wurzeln Addition, Subtraktion: ≠ Multi- plikation: = Division: = Potenzen:
LU12 & LU13: Quadratwurzeln und Satz von Pythagoras 4 Wurzelreduktionen 1: Ziel und Vorgehen Ausdrücke mit Wurzeln werden immer so umgeformt, dass unter dem Wurzelzeichen eine möglichst kleine, natürliche Zahl oder ein möglichst einfacher Ausdruck steht. Nicht aufgehende Wurzeln werden stehen gelassen. Vorgehen Wurzelausdruck als Produkt schreiben, wobei ein Faktor quadratisch ist. Die Wurzel aus dem quadratischen Faktor kann dann gezogen werden. Beispiele 1. 2. 3.
LU12 & LU13: Quadratwurzeln und Satz von Pythagoras 5 Wurzelreduktionen 2: Beispiele 1. 2. 3. 4. 5. 6.
LU12 & LU13: Quadratwurzeln und Satz von Pythagoras 6 Rechtwinkliges Dreieck - Begriffe . Hypotenuse Liegt dem rechten Winkel gegenüber. Katheten Schliessen den rechten Winkel ein. A C B c2 b2 a2 . Satz von Pythagoras In einem rechtwinkligen Dreieck ist die Summe der Quadrate über den Katheten gleich dem Quadrat über der Hypotenuse. Ist c Hypotenuse, dann gilt: a2 + b2 = c2 Auflösen nach a, b, c:
LU12 & LU13: Quadratwurzeln und Satz von Pythagoras 7 Satz von Pythagoras - Beispiele Berechne jeweils die Länge der Strecke x. Wurzelterme soweit wie möglich vereinfachen! . x 7a 6a . x 6 8 . x 13 12 x gleichschenkliges Dreieck 3a 2a Quadrat x 5a x Rechteck