Die Erweiterung der Sinusfunktion auf Winkel über 90°

Präsentation zum Thema: "Die Erweiterung der Sinusfunktion auf Winkel über 90°"—  Präsentation transkript:

1 Die Erweiterung der Sinusfunktion auf Winkel über 90°
Berufsbildende Schule Frankenthal Andreas-Albert-Schule Die Erweiterung der Sinusfunktion auf Winkel über 90° © Stoll; 2003

2 Die Winkelfunktionen im Einheitskreis

3 1 Einheitskreis r = 1

4 Welche Strecken entsprechen im Einheitskreis sin , cos  und tan ?
Einheitskreis r = 1

5 Die Sinusfunktion

6 Einheitskreis r = 1 1 tan  sin   cos 

7 Einheitskreis r = 1 1 sin  

8 Einheitskreis r = 1 sin   Welche Aussagen sind möglich, wenn der Winkel  = 90° erreicht?

9 Einheitskreis r = 1 sin   Welche Aussagen sind möglich, wenn der Winkel  = 90° erreicht?

10 Einheitskreis r = 1 sin  Welche Aussagen sind möglich, wenn der Winkel  = 90° erreicht?

11 Einheitskreis r = 1 sin  Welche Aussagen sind möglich, wenn der Winkel  = 90° erreicht?

12 Einheitskreis r = 1 sin  Welche Aussagen sind möglich, wenn der Winkel  = 90° erreicht?

13 Einheitskreis r = 1 sin  Welche Aussagen sind möglich, wenn der Winkel  = 90° erreicht?

14 Einheitskreis r = 1 sin  Welche Aussagen sind möglich, wenn der Winkel  = 90° erreicht?

15 Einheitskreis r = 1 sin  Welche Aussagen sind möglich, wenn der Winkel  = 90° erreicht?

16 Einheitskreis r = 1 sin  Welche Aussagen sind möglich, wenn der Winkel  = 90° erreicht?

17 Einheitskreis r = 1 sin  Welche Aussagen sind möglich, wenn der Winkel  = 90° erreicht?

18 Einheitskreis r = 1 sin  Welche Aussagen sind möglich, wenn der Winkel  = 90° erreicht?

19 Die Winkelfunktion ist nicht mehr definiert!
Einheitskreis r = 1 =90° Die Winkelfunktion ist nicht mehr definiert! Wenn  = 90° wird, verschwindet das Dreieck mit Gegenkathete und Hypotenuse!

20 Für   90° ist die Winkelfunktion nicht mehr definiert!
Einheitskreis r = 1 =105° Für   90° ist die Winkelfunktion nicht mehr definiert!

21 Die Winkelfunktion muss neu definiert werden!
Einheitskreis r = 1  Die Winkelfunktion muss neu definiert werden!

22 Welche Strecke sollte sin  entsprechen?
Einheitskreis r = 1 sin   Welche Strecke sollte sin  entsprechen?

23 Die Erweiterung der Sinusfunktion auf Winkel über 90°

24 neue Definition (über ein Streckenverhältnis im Kreis - ohne die Begriffe des rechtwinkligen Dreiecks) r y  Die Erweiterung der Sinusfunktion auf Winkel über 90°

25 Einheitskreis r = 1 neue Definition (über ein Streckenverhältnis im Kreis - ohne die Begriffe des rechtwinkligen Dreiecks) r =1 y =sin  1-- 

26 Einheitskreis r = 1 Quadrant II Quadrant I  Quadrant III Quadrant IV

27 Einheitskreis r = 1  Was geschieht mit dem Sinuswert, wenn der Winkel von 0° auf 360° wächst?

28 Einheitskreis r = 1 

29 Die Vorzeichen der Funktionswerte

30 y -1 sin 90°= 1 1- Einheitskreis r = 1 sin 180°= sin 0°=  sin 360°=
sin 0°=  sin 360°= Wie groß sind die Funktionswerte für sin 0°, sin 90°, sin 180°, sin 270°, sin 360°? Der Funktionswert sin 270° ist negativ orientiert! (Der Streichholzkopf zeigt nach unten!) -1 sin 270° =

31 In welchem Quadranten ist der Funktionswert sin  negativ?
y 1- Einheitskreis r = 1 Quadrant II Quadrant I sin   Quadrant III Quadrant IV In welchem Quadranten ist der Funktionswert sin  negativ?

32 y Einheitskreis r = 1 1-  Die „Streichhölzer“ zeigen nach oben!
positive Funktionswerte positive Funktionswerte 

33 y Einheitskreis r = 1 1-  negative Funktionswerte
Die „Streichhölzer“ zeigen nach unten!

34 + + - - y Einheitskreis r = 1 1- sin  
Quadrant I + Quadrant II sin   - - Quadrant III Quadrant IV Welche Vorzeichen erhalten die Funktionswerte in den jeweiligen Quadranten?

35 sin  + + - -

36 Die Funktionswerte der Winkel im 2. Quadranten

37 Einheitskreis r = 1 sin II sin I I I II sin II = sin I
gleiche Streichholzlänge gleiche Orientierung der Streichhölzer Einheitskreis r = 1 sin II sin I I II I sin II = sin I ACHSENSYMMETRIE mit I = 180° - II Wie finde ich ein vergleichbares Streichholz im ersten Quadranten? Kann I durch II ausgedrückt werden?

38 Die Funktionswerte der Winkel im 3. Quadranten

39 Einheitskreis r = 1

40 - sin I Einheitskreis r = 1 PUNKTSYMMETRIE sin I I III I
gleiche Streichholzlänge aber entgegengesetzte Orientierung der Streichhölzer PUNKTSYMMETRIE sin I I III I - sin I sin III = sin III mit I = III - 180° Kann I durch III ausgedrückt werden? Wie finde ich ein vergleichbares Streichholz im ersten Quadranten?

41 Die Funktionswerte der Winkel im 4. Quadranten

42 Einheitskreis r = 1

43 - sin I Einheitskreis r = 1 ACHSENSYMMETRIE sin I I IV I
gleiche Streichholzlänge entgegengesetzte Orientierung der Streichhölzer ACHSENSYMMETRIE sin I I IV I - sin I sin IV = sin IV mit I = 360° - IV Kann I durch IV ausgedrückt werden? Wie finde ich ein vergleichbares Streichholz im ersten Quadranten?

44 Der Graph der Sinusfunktion

45

46 sin  270° 360°  90° 180°

47 Der Graph der Sinusfunktion
1 270° 360°  90° 180° -1 Periode

48 + + + + - - - - + - Der Graph der Sinusfunktion sin   Periode sin 
1 + + 270° 360°  - - 90° 180° -1 - - Periode sin  + -

49 + + - - + - Der Graph der Sinusfunktion  sin   Periode sin  1 -1
270° 360°  90° 180° -1 - - Periode sin  + -

50 Symmetrieeigenschaften

51 Welche Symmetrieeigenschaften besitzt der Graph der Sinusfunktion?
ACHSENSYMMETRIE bezüglich sin  PUNKTSYMMETRIE bezüglich 1 270° 360°  90° 180° -1 Welche Symmetrieeigenschaften besitzt der Graph der Sinusfunktion?

52 Mit welchen Punkten kann eine Sinuslinie schnell skizziert werden?
ACHSENSYMMETRIE bezüglich ACHSENSYMMETRIE bezüglich sin  PUNKTSYMMETRIE bezüglich 1 270° 360°  90° 180° -1 Mit welchen Punkten kann eine Sinuslinie schnell skizziert werden?

53 Der Graph der Sinusfunktion
1 270° 360°  90° 180° -1

54 ENDE © Stoll; 2003 Berufsbildende Schule Frankenthal
Andreas-Albert-Schule ENDE © Stoll; 2003