Zahlenmengen.

Präsentation zum Thema: "Zahlenmengen."—  Präsentation transkript:

1 Zahlenmengen

2 Welche Zahlenmengen gibt es?

3 Wie hast du zählen gelernt?
1,2,3,4,5,6,7,……….

4 Die Menge der natürlichen Zahlen enthält jene Zahlen, die man zum Abzählen benötigt, einschließlich Null. N = {0,1,2,3,4…}

5 Welche Rechnungen kannst du mit den natürlichen Zahlen N durchführen?

6 Innerhalb der Addition sind die natürlichen Zahlen abgeschlossen, d. h
Innerhalb der Addition sind die natürlichen Zahlen abgeschlossen, d.h. das Ergebnis einer Addition ist wieder eine natürliche Zahl Addieren 2+5 = 7, 1+10 = 11…..

7 Man schreibt: a + b = c, a,b,c N

8 Subtrahieren 7-2 = 5 aber: 2 – 7 = -5 ???? Innerhalb der Subtraktion sind die natürlichen Zahlen nicht abgeschlossen, da das Ergebnis nicht immer eine natürliche Zahl ist.

9 Um welche Zahlen muss man die Zahlenmengen erweitern?
-3,-2,-1,0,1,2,3,……….

10 Die Menge der ganzen Zahlen enthält die natürlichen Zahlen und alle negativen ganzen Zahlen

11 Welche Rechnungen kannst du mit den ganzen Zahlen Z durchführen?

12 Addieren 2 + (-5) = -3 … Subtrahieren 1- (-10) = 11 … Multiplizieren 3. (-4) = -12 …

13 Innerhalb der Addition, der Subtraktion und der Multiplikation sind die ganzen Zahlen abgeschlossen.

14 Innerhalb der Division sind die ganzen Zahlen nicht abgeschlossen, da das Ergebnis nicht immer eine ganze Zahl ist. Dividieren 10:2 = 5 aber: 3:4 = ¾ = 0,75 ????

15 Um welche Zahlen muss man die Zahlenmengen erweitern?
¾; 0,75,……….

16 Die Erweiterung um die Bruchzahlen führt zur Menge der rationalen Zahlen, in der die Division (außer durch 0) möglich ist. Q = {q|q , m Z, n Z, n≠0} N Z Q

17 Welche Rechnungen kannst du mit den rationalen Zahlen Q durchführen?

18 Addieren + = = Innerhalb der Addition und der Subtraktion sind die rationalen Zahlen abgeschlossen. Subtrahieren - = =

19 Welche Rechenregeln gelten für die Addition und Subtraktion von Brüchen?

20 Addition/Subtraktionsregel:
Man addiert oder subtrahiert zwei Brüche, indem man sie auf gleichen Nenner bringt und die Zähler addiert.

21 Innerhalb der Multiplikation sind die rationalen Zahlen abgeschlossen.
Multiplizieren * =

22 Welche Rechenregel gilt für die Multiplikation von Brüchen?

23 Multiplikationsregel
Man multipliziert zwei Brüche, indem man Zähler mit Zähler und Nenner mit Nenner multipliziert. Multiplikationsregel

24 Dividieren : 2 = * = dividieren: : 2 = = Innerhalb der Division sind die rationalen Zahlen abgeschlossen.

25 Welche Rechenregel gilt für die Division von Brüchen?

26 Man dividiert zwei Brüche, indem man den ersten Bruch mit dem Kehrwert (reziproken Wert) des zweiten Bruches multipliziert. Divisionsregel:

27 Jeder Bruch kann auch als Dezimalzahl dargestellt werden.
= 0,5; = 0,25; =0,3333…

28 Gibt es auch Dezimalzahlen, die keine Brüche sind?
1, … = ????

29 Daher ist nicht als Bruch darstellbar!!!
Angenommen: = mit a, b teilerfremd, dann ist = 2 und a² = 2b², dann wäre aber a² das Doppelte von b², was ein Widerspruch zur Annahme „teilerfremd“ darstellt! Daher ist nicht als Bruch darstellbar!!!

30 , ,………. Da diese Zahlen nicht durch einen Bruch darstellbar sind, also nicht rational sind, nennt man sie irrationale Zahlen.

31 Die Menge der irrationalen Zahlen sind unendliche, nichtperiodische Dezimalzahlen.

32 Da den irrationalen Zahlen wie den rationalen Zahlen ein Punkt auf dem Zahlenstrahl zugeordnet ist, nennt man sie die Menge der reellen Zahlen.

33 Die Menge der reellen Zahlen werden beschrieben:
R = {…-2, ,0,.. , ..π} N Z Q R I R

34 Welche Rechnungen kannst du mit den reellen Zahlen R durchführen?

35 Rechenregeln für die reellen Zahlen R:
Man kann uneingeschränkt addieren, subtrahieren, multiplizieren, potenzieren und dividieren (außer durch 0).

36 aber: Man kann nicht aus negativen Zahlen Wurzelziehen und negative Zahlen logarithmieren!

37 daher: Da diesen Zahlen keine Punkte auf dem reellen Zahlenstrahl zugeordnet sind, nennt man sie die Menge der komplexen Zahlen. , ,……….

38 Die Menge der komplexen Zahlen wird beschrieben:

39 Überblick der Zahlenmengen
Q N N Natürliche Zahlen Z Ganze Zahlen Q Rationale Zahlen I Irrationale Zahlen R Reelle Zahlen C Komplexe Zahlen I Q I = R