Die Präsentation wird geladen. Bitte warten

Die Präsentation wird geladen. Bitte warten

Grundbegriffe der Schulgeometrie SS 2008 Teil 2 (M. Hartmann) Lehrstuhl für Didaktik der Mathematik.

Ähnliche Präsentationen


Präsentation zum Thema: "Grundbegriffe der Schulgeometrie SS 2008 Teil 2 (M. Hartmann) Lehrstuhl für Didaktik der Mathematik."—  Präsentation transkript:

1 Grundbegriffe der Schulgeometrie SS 2008 Teil 2 (M. Hartmann) Lehrstuhl für Didaktik der Mathematik

2 Begriffsbildung durch –Kombinieren (Bsp. Kreatives Ordnen) –Reduzieren (Bsp. Diagonaleneigenschaft des Rechtecks reduzieren zu Halbieren sich gegenseitig) –Variieren (Bsp. Pythagoräisches Viereck) –Analogisieren Fachmathematischer Aspekt Welche Techniken kreativer Begriffsbildung gibt es?

3 Was ist Analogie? …, analoge Dinge stimmen in gewissen Beziehungen zwischen ihren entsprechenden Teilen miteinander überein. (Polya 1967) Was ist Analogisieren? Ein Vorgehen, welches sich bereits einmal bewährt hat, wird auf eine analoge Situation übertragen.

4 Wie analogisiert man? ähnliches System 1.Schritt: Man schafft sich ein neues irgendwie ähnliches System zu einem, welches sich bereits als fruchtbar erwiesen hat. ähnlichen Beziehungen 2.Schritt: Man sucht in diesem System gezielt nach irgendwie ähnlichen Beziehungen Dreieck Viereck DreiecksprismaDreieckspyramide Kugeldreieck

5 Kurzer historischer Überblick Heuristik –Archimedes, Pappos –Descartes, Leibniz Mathematikunterricht (Polya 1949) Zentrales Lernziel (Winter 1972) Kreative Begriffsbildung (Weth 2000) Variation (Schupp 2002) Analogisieren im Schulbuch (Zimmermann 2003) Von Ebene zum Raum –Dreieck-Tetraeder (Fritsch 1984, Neubrand 1985, Bubeck 2003) –Pythagoras am Tetraeder (Bubeck 1992) Phänomenfindung (Loska/Hartmann 2005) MU Themenheft Analogisieren (Heinrich 2006) –Computereinsatz (Schumann)

6 Satz von Pappos (Verallgemeinern durch Analogisieren) beliebiges Parallelogramm durch Vektor SC festgelegtes Parallelogramm A B A + B C S

7 Pythagoras in Vierecken a² + c² = b² + d² a b c d a² - c² = d² - b² a b c d

8 Die Vielfältigkeit der räumlichen Analogien des Satzes von Pythagoras

9 Pythagoras im Raum /Analoga des rechtwinkligen Dreiecks Räumliche Analoga des rechtwinkligen Dreiecks

10 Pythagoras im Raum /Analoga des rechtwinkligen Dreiecks Räumliche Analoga des rechtwinkligen Dreiecks

11 DreiecksprismaFaulhaber-Tetraeder Schiefes TetraederBubeck-Tetraeder Pythagoras im Raum /Analoga des rechtwinkligen Dreiecks Existieren in diesen Körpern auch irgendwelche zum Satz des Pythagoras analoge Beziehungen?

12 Dreiecksprisma Pythagoras im Raum / Dreiecksprisma

13 Faulhaber-Tetraeder Pythagoras im Raum / Faulhaber-Tetraeder

14 Faulhaber-Tetraeder Johannes Faulhaber (1622) Pythagoras im Raum / Faulhaber-Tetraeder

15 Bubeck-Tetraeder (1992) Pythagoras im Raum / Bubeck-Tetraeder

16 Schiefes Tetraeder Pythagoras im Raum / Schiefes Tetraeder

17 Schiefes Tetraeder (Beweis) Pythagoras im Raum / Schiefes Tetraeder C² = A² + C²D² = A² + D² B² = A² + C² + D² Faulhaber Dreiecksprisma I. C² + D² = 2A² + C² + D² II. A² + B² = 2A² + C² + D²

18 Schiefes Tetraeder (Beweis) Pythagoras im Raum / Schiefes Tetraeder C² = A² + C²D² = A² + D² B² = A² + C² + D² Faulhaber Dreiecksprisma I. C² + D² = 2A² + C² + D² II. A² + B² = 2A² + C² + D²

19 Auf Kantenlängen bezogene Analogien Pythagoras im Raum / Kanten a ² a ² + b = ² b ² c ² c + ² = + ca ² a ² -= b ² b ² c =- ²² - aab b -=+ ²²²² bbcc ²² - ² = ² - aacc ²² + ² + ² = a² + c² = b² + d² a b c d a² - c² = d² - b² a b c d

20 Zerlegungsbeweise des pythagoreischen Lehrsatzes mittels des Analogisierens entdecken

21 Beispiel: Zerlegungsbeweise zum Satz des Pythagoras Zerlegungsbeweise durch Analogisieren entdecken

22 Wie findet man solche Zerlegungen? Zerlegungsbeweise durch Analogisieren entdecken

23 Analyse des Analogisierungsprozesses Zerlegung der Katheten- quadrate SonderfallAllgemeinfall Puzzlen auf das Hypotenusen- quadrat Verbalisieren: Festlegung auf eine Beschreibungsmöglichkeit 1. Schnittführung 2. Abbildung der Teile Analoge Teilstücke unvollständige Lösung endgültige Lösung Probieren Analogisierung Zerlegungsbeweise durch Analogisieren entdecken l

24 2. Beispiel Zerlegungsbeweise durch Analogisieren entdecken l

25 Analogisierungsmöglichkeiten der Schnittführung 2. Diagonale 1. Diagonale Zerlegungsbeweise durch Analogisieren entdecken l

26 Analogisierungsmöglichkeiten der Schnittführung C c d C c d Verlängerung von Seite d Parallele zu c durch C Zerlegungsbeweise durch Analogisieren entdecken l

27 Analogisierungsmöglichkeiten der Schnittführung C c C c Parallele zu d durch D Parallele zu c durch C d D d D Zerlegungsbeweise durch Analogisieren entdecken l

28 Analogisierungsmöglichkeiten der Schnittführung M c d M c d Parallele zu d durch M Parallele zu c durch M Zerlegungsbeweise durch Analogisieren entdecken l

29 Analogisierungsmöglichkeiten der Schnittführung B C E D c d B C E D Parallele zu d durch B und D Parallele zu c durch C und E c d Zerlegungsbeweise durch Analogisieren entdecken l

30 Analogisierung der Teileabbildung Zerlegungsbeweise durch Analogisieren entdecken l DGS Perigal

31 Analogisieren im Bereich der Inhaltslehre

32 Beispiel 1: Vom Flächeninhalts- zum Volumenbegriff Begriffliche Grundidee: Auslegen Abzählverfahren liefert Formel für Sonderfall Rückführung auf Sonderfall durch Umbau Triangulation Analogisieren

33 Beispiel 2: Die vielfältigen Analogisierungs- möglichkeiten der Tortenstückmethode ½ U r

34 Anwendung auf Kreissektorinhalt ½ b A Kreis Rechteck ? r

35 Anwendung auf Kreisring ½ U 2 + ½ U 1 U1U1 U2U2 = Um= Um


Herunterladen ppt "Grundbegriffe der Schulgeometrie SS 2008 Teil 2 (M. Hartmann) Lehrstuhl für Didaktik der Mathematik."

Ähnliche Präsentationen


Google-Anzeigen