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1 Der Satz des Pythagoras PYTHAGORAS 570 v. Chr. wurde Pythagoras auf der ionischen Insel Samos geboren. Als 20-jähriger ging er in Milet bei Thales und.

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1 1 Der Satz des Pythagoras PYTHAGORAS 570 v. Chr. wurde Pythagoras auf der ionischen Insel Samos geboren. Als 20-jähriger ging er in Milet bei Thales und Anaximander in die Lehre, das waren damals echte Profis in der Philosophie und Mathematik. Später lernte er auch bei ägyptischen Priestern und soll sogar bis nach Babylon gereist sein, um seine Neugierde zu stillen. Mit etwa 40 Jahren kehrte er nach Samos zurück. Pythagoras starb um 500 v. Chr. Sein ganzes Lebens lang galt sein Interesse vor allem der Mathematik, und hier hatte er den Ägyptern etwas ganz Besonderes abgeschaut.

2 2 Der Satz des Pythagoras Feldvermessung bei den Ägyptern Die Felder Ägyptens wurden jedes Jahr vom Nil überschwemmt und mussten neu ausgemessen werden. Die Leute dort benutzten dazu eine geschlossene Schnur mit 12 Knoten, die dadurch in 12 gleich lange Strecken unterteilt war. So wie diese hier: Wenn sie eine solche Schnur zu einem Dreieck mit den Seitenlängen 3, 4 und 5 spannten, erhielten sie einen rechten Winkel mit 90 Grad, denn es entstand ein rechtwinkliges Dreieck. Ein erstaunlicher Trick, aber er funktioniert immer! Rechter Winkel = 90 Grad Den rechten Winkel brauchten sie für die Feldvermessung.

3 3 Der Satz des Pythagoras Überlegungen des Pythagoras 1 3 · 3 = 3 2 = 9 4 · 4 = 4 2 = 16 5 · 5 = 5 2 = 25 Neue Zahlen, Quadratzahlen: 9, 16 und 25. Vor Aufregung sprang er aus dem Bett. Als begeisterter Mathematiker war Pythagoras ein Zahlenfreund und die Zahlen 3, 4 und 5 ließen ihn nicht mehr los. Computerspiele gab es noch nicht, also spielte er mit den Zahlen. In einer schlaflosen Nacht multiplizierte er sie einmal mit sich selbst und spielte dann mit den Ergebnissen weiter. Das sah dann so aus:

4 4 Der Satz des Pythagoras Überlegungen des Pythagoras 2 Was war passiert? Er hatte 9 und 16 addiert, der Grund seiner Aufregung war das Ergebnis: 25 ! Als Mathematiker prüfte er sofort nach, was er da entdeckt hatte und mit steigernder Aufregung stellte er fest: = = = 9 Stimmt. Stimmt ! Stimmt auch !!!

5 5 Der Satz des Pythagoras Überlegungen des Pythagoras 3 Nutzlose Kunst und sinnlose Spielerei? Nicht ganz. Man muss nur etwas weiterdenken. Wenn das Quadrieren und Rechnen mit einfachen Zahlen funktioniert, warum dann nicht auch mit Flächen? Probieren wir es doch einmal aus: Nehmen wir das große Quadrat des Pythagoras, das mit der Seitenlänge 5 cm. 5 cm · 5 cm = 25 cm 2 Das Quadrat hat also einen Flächeninhalt von 25 cm cm 2 Und dieses Quadrat soll genauso groß sein, wie die beiden anderen 9 cm 2 und 16 cm 2 zusammen?

6 6 Der Satz des Pythagoras Überlegungen des Pythagoras 4 3cm · 3cm + 4cm · 4cm = 5cm · 5cm Kleines Quadrat + mittelgroßes Quadrat = großes Quadrat ????? = Also: + 9 cm cm 2 =25 cm 2 ? Lassen wir doch einen kleinen Film ablaufen!

7 7 Der Satz des Pythagoras Überlegungen des Pythagoras 5 Nehmen wir uns zuerst das Dreieck der Ägypter her und erinnern uns: Es hat einen rechten Winkel, die Seiten sind 3, 4 und 5 Einheiten lang. So sieht es aus. Hier ist der rechte Winkel. Über einer Seite zeich- nen wir das mittelgroße Quadrat. Es hat eine Fläche von 16 cm 2. Über dieser Seite wird das kleine Quadrat errichtet. Es hat eine Fläche von 9 cm 2. Nun lassen wir die Teilflächen der oberen Quadrate wie in einer Sanduhr in die untere, große Fläche rieseln.

8 8 Der Satz des Pythagoras o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o a b c a = 4 cm b = 3 cm a 2 = 16 cm 2 b 2 = 9 cm So sieht unsere Sanduhr aus. Hier sind Zählwerke. Noch ein Klick,dann läuft die Sanduhr automatisch los !!!

9 9 Der Satz des Pythagoras o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o a b c a = 4 cm b = 3 cm a 2 = 16 cm 2 b 2 = 9 cm

10 10 Der Satz des Pythagoras o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o a b c a = 4 cm b = 3 cm a 2 = 16 cm 2 b 2 = 9 cm

11 11 Der Satz des Pythagoras o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o a b c a = 4 cm b = 3 cm a 2 = 16 cm 2 b 2 = 9 cm

12 12 Der Satz des Pythagoras o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o a b c a = 4 cm b = 3 cm a 2 = 16 cm 2 b 2 = 9 cm

13 13 Der Satz des Pythagoras o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o a b c a = 4 cm b = 3 cm a 2 = 16 cm 2 b 2 = 9 cm

14 14 Der Satz des Pythagoras o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o a b c a = 4 cm b = 3 cm a 2 = 16 cm 2 b 2 = 9 cm

15 15 Der Satz des Pythagoras o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o a b c a = 4 cm b = 3 cm a 2 = 16 cm 2 b 2 = 9 cm

16 16 Der Satz des Pythagoras o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o a b c a = 4 cm b = 3 cm a 2 = 16 cm 2 b 2 = 9 cm

17 17 Der Satz des Pythagoras o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o a b c a = 4 cm b = 3 cm a 2 = 16 cm 2 b 2 = 9 cm

18 18 Der Satz des Pythagoras o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o a b c a = 4 cm b = 3 cm a 2 = 16 cm 2 b 2 = 9 cm

19 19 Der Satz des Pythagoras o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o a b c a = 4 cm b = 3 cm a 2 = 16 cm 2 b 2 = 9 cm

20 20 Der Satz des Pythagoras o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o a b c a = 4 cm b = 3 cm a 2 = 16 cm 2 b 2 = 9 cm o

21 21 Der Satz des Pythagoras o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o a b c a = 4 cm b = 3 cm a 2 = 16 cm 2 b 2 = 9 cm o

22 22 Der Satz des Pythagoras o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o a b c a = 4 cm b = 3 cm a 2 = 16 cm 2 b 2 = 9 cm o

23 23 Der Satz des Pythagoras o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o a b c a = 4 cm b = 3 cm a 2 = 16 cm 2 b 2 = 9 cm o

24 24 Der Satz des Pythagoras o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o a b c a = 4 cm b = 3 cm a 2 = 16 cm 2 b 2 = 9 cm o

25 25 Der Satz des Pythagoras o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o a b c a = 4 cm b = 3 cm a 2 = 16 cm 2 b 2 = 9 cm o

26 26 Der Satz des Pythagoras Nun geht es mit dem anderen weiter! Achtung !!! Ein Quadrat ist jetzt leer. o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o a b c a = 4 cm b = 3 cm a 2 = 16 cm 2 b 2 = 9 cm o

27 27 Der Satz des Pythagoras o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o a b c a = 4 cm b = 3 cm a 2 = 16 cm 2 b 2 = 9 cm o

28 28 Der Satz des Pythagoras o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o a b c a = 4 cm b = 3 cm a 2 = 16 cm 2 b 2 = 9 cm o

29 29 Der Satz des Pythagoras o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o a b c a = 4 cm b = 3 cm a 2 = 16 cm 2 b 2 = 9 cm o

30 30 Der Satz des Pythagoras o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o a b c a = 4 cm b = 3 cm a 2 = 16 cm 2 b 2 = 9 cm o

31 31 Der Satz des Pythagoras o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o a b c a = 4 cm b = 3 cm a 2 = 16 cm 2 b 2 = 9 cm o

32 32 Der Satz des Pythagoras o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o a b c a = 4 cm b = 3 cm a 2 = 16 cm 2 b 2 = 9 cm o

33 33 Der Satz des Pythagoras o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o a b c a = 4 cm b = 3 cm a 2 = 16 cm 2 b 2 = 9 cm o

34 34 Der Satz des Pythagoras o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o a b c a = 4 cm b = 3 cm a 2 = 16 cm 2 b 2 = 9 cm o

35 35 Der Satz des Pythagoras Es stimmt tatsächlich. Die Flächen der kleineren Quadrate passen genau in das große Quadrat. o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o a b c a = 4 cm b = 3 cm a 2 = 16 cm 2 b 2 = 9 cm o

36 36 Der Satz des Pythagoras a2 + b2 = c2a2 + b2 = c2 a b c a2a2 b2b2 c2c2 also auch... c 2 - b 2 = a 2 c 2 - a 2 = b 2 und Das heißt: In Worten: In einem rechtwinkligen Dreieck ist die Summe der Quadrate über den Katheten inhaltsgleich dem Quadrat über der Hypothenuse.

37 37 Der Satz des Pythagoras Überlegung des Pythagoras 6 Wenn man durch Quadrieren den Flächeninhalt eines Quadrates berechnen kann, dann kann man durch Wurzelziehen aus dem Flächeninhalt die Länge einer Seite errechnen. Quadrieren: 3 · 3 = 9 Wurzelziehen: 9 = 3 Wurzelzeichen: Sprich: Wurzel aus 9 ist 3.

38 38 Der Satz des Pythagoras Voraussetzungen für die Anwendung Was brauchen wir? 90° Kathete Hypotenuse Ein rechtwinkliges Dreieck. Dies benennen wir so: Die Hypotenuse ist die längste Seite, sie liegt dem rechten Winkel gegenüber. Die kürzeren Katheten sind Schenkel des rechten Winkels. Merke:

39 39 Der Satz des Pythagoras Rechnerische Anwendung Aufgabe: 1. Schritt: Skizze zeichnen Die Katheten eines rechtwinkligen Dreiecks sind 5 cm und 12 cm lang. Wie lang ist die Hypotenuse? Kathete Hypotenuse rechter Winkel

40 40 Der Satz des Pythagoras Rechnerische Anwendung Aufgabe: 2. Schritt: Maße angeben Die Katheten eines rechtwinkligen Dreiecks sind 5 cm und 12 cm lang. Wie lang ist die Hypotenuse? Kathete Hypotenuse a = 5 cm b = 12 cm c = ??? cm

41 41 Der Satz des Pythagoras Rechnerische Anwendung Aufgabe: 3. Schritt: In Formel einsetzen Die Katheten eines rechtwinkligen Dreiecks sind 5 cm und 12 cm lang. Wie lang ist die Hypotenuse? Kathete Hypotenuse a = 5 cm b = 12 cm c = ??? cm a 2 + b 2 = c = c 2

42 42 Der Satz des Pythagoras Rechnerische Anwendung Aufgabe: 4. Schritt: Ausrechnen Die Katheten eines rechtwinkligen Dreiecks sind 5 cm und 12 cm lang. Wie lang ist die Hypotenuse? Kathete Hypotenuse a = 5 cm b = 12 cm c = ??? cm a 2 + b 2 = c = c 2 5·5 + 12·12 = c = c = c 2

43 43 Der Satz des Pythagoras Rechnerische Anwendung Aufgabe: 5. Schritt: Wurzelziehen Die Katheten eines rechtwinkligen Dreiecks sind 5 cm und 12 cm lang. Wie lang ist die Hypotenuse? Kathete Hypotenuse a = 5 cm b = 12 cm c = ??? cm a 2 + b 2 = c = c 2 5·5 + 12·12 = c = c = c 2 13 = c

44 44 Der Satz des Pythagoras Rechnerische Anwendung Aufgabe: 6. Schritt: Ergebnis feststellen Die Katheten eines rechtwinkligen Dreiecks sind 5 cm und 12 cm lang. Wie lang ist die Hypotenuse? Kathete Hypotenuse a = 5 cm b = 12 cm c = ??? cm a 2 + b 2 = c = c 2 5·5 + 12·12 = c = c = c 2 13 = c Antwort: Die Hypotenuse ist 13 cm lang. Das war´s. Es folgen die Lernziele.


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