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Grundbegriffe der Schulgeometrie SS 2008 Teil 1 (M. Hartmann) Lehrstuhl für Didaktik der Mathematik.

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Präsentation zum Thema: "Grundbegriffe der Schulgeometrie SS 2008 Teil 1 (M. Hartmann) Lehrstuhl für Didaktik der Mathematik."—  Präsentation transkript:

1 Grundbegriffe der Schulgeometrie SS 2008 Teil 1 (M. Hartmann) Lehrstuhl für Didaktik der Mathematik

2 Organisatorisches Vorlesung (Hartmann) – Uhr –Mittwoch: Immer Montag: Zweistündig im Wechsel Übungen (Hartmann) Dienstag 9.45 – Uhr –Wöchentliche Übungsaufgaben erlangen.de / Material zu den Veranstaltungenwww.didmath.ewf.uni- erlangen.de Login: student Password: ewf Abgabe zu Beginn der jeweiligen Übungsgruppe Rückgabe und exemplarische Besprechung eine Woche später in den Übungen Bewertung +, o, - –Teilweise auch Präsenzübungen Schein –Bei Bestehen der Klausur am Ende des Semesters –Voraussetzung zur Klausurteilnahme: Etwa 75% der Übungsaufgaben mit mindestens o bewertet! Werkzeug: Geodreieck, Zirkel, TR, Schere, Kleber

3 Virtuelle Hochschule Bayern Wer hier teilnehmen will, wird dringend gebeten, sich zusätzlich kostenfrei bei der vhb für den Kurs Grundbegriffe der Schulgeometrie einschreiben! Wer nach dem neuem Modus Mathe als Didaktikfach studiert, muss an diesem Kurs teilgenommen haben Schreiben Sie sich heute noch ein!! –Frage: Wie geht das? –Antwort: Steht auf unserer HomepageHomepage –Vorbesprechung für vhb-Kurse

4 Was soll die Vorlesung leisten? Vorbereitung auf das Unterrichten von Geometrie in der zweiten Phase –Didaktische Grundideen des Geometrieunterrichts Ziele des Geometrieunterrichts aufzeigen Wege zum Erreichen dieser Ziele vermitteln Exemplarisch –Schulmathematisches Wissen Auffrischen Elaborierte Sichtweise Teilweise fachmathematische Hintergründe Inhaltliche Vorbereitung fürs Examen

5 Was kann die Vorlesung nicht leisten? Allgemeine Methodik des Unterrichtens Stoffverteilungsplan Komplette Stundenbilder Vollständige Behandlung der Schulgeometrie –Mathematisch –Didaktisch Strategische Vorbereitung fürs Examen – Seminar zur Examensvorbereitung

6 I. Ziele und Eigenheiten des Geometrieunterrichts der HS

7 Ziele des Geometrieunterrichts der HS Erwerb –elaborierten Wissens über Figuren, Körper, geometrische Operationen sowie deren Beziehungen –handwerklicher und formaler Techniken (Konstruieren, Zeichnen, Messen, Berechnen,…) Befähigung zur Anwendung dieses Wissens –Alltag, Beruf und weiterführende Schulen Erziehung zu konzentriertem sauberen Arbeiten –Zeichnen, Basteln, Lösen einer Berechnungsaufgabe Förderung von Problemlösetechniken –speziell auf die Geometrie bezogen aber auch allgemein Sprachschulung –Beschreiben, kohärentes Argumentieren, Fachsprache nutzen,… Förderung kreativen Verhaltens –Freude am Schaffen und Entdecken –Kreativitätsroutinen Schaffung eines kulturhistorischen Bewusstseins

8 Defizitärer Ansatz Hauptschüler sind minderbegabt, deshalb –können und müssen sie Inhalte nicht wirklich verstehen –sollten sie ohne lange Ableitungen schnell einfache Regeln an die Hand bekommen und diese dafür intensiver trainieren –sollte auf Themen, die der eh schon überfüllte Lehrplan nicht einfordert, unbedingt verzichtet werden –benötigt der Lehrer kein weitergehendes fachliches Hintergrundwissen, sondern vor allem methodisches und pädagogisches Geschick Verschiedene Bilder von HS-Mathematik

9 Konstruktivistischer Ansatz Die Schüler müssen das Wissen eigenständig konstruieren, deshalb –sollten die Schüler das Unterrichtsziel mithilfe stummer Impulse selbst entdecken –müssen sie die Inhalte selbst erarbeiten –dürfen Inhalte nicht vom Lehrer fertig angeboten werden –sollten die Schüler Ergebnisse möglichst immer selbst darstellen –ist ein Lehrervortrag zum Erklären von Sachverhalten nicht mehr notwendig –sollte der Lehrer sich weitgehend zurücknehmen –muss der Lehrer eher Moderationskompetenz als Fachwissen besitzen Verschiedene Bilder von HS-Mathematik

10 Fachorientierter Ansatz Fachwissen ist die unabdingbare Voraussetzung für die Vermittlung fachlichen Wissens, deshalb –benötigt der Lehrer anstelle von fachdidaktischem und methodischem Schnickschnack vor allem fundiertes fachliches Wissen –sollte der Lehrer möglichst auch Fachmathematik studiert haben –sollte anstelle eines umständlichen Erarbeitens der Inhalt übersichtlich, fachlich korrekt und dadurch auch gut verständlich dargeboten werden Verschiedene Bilder von HS-Mathematik

11 Umwelt- und alltagsweltorientierter Ansatz Abstrakte Mathematik ist nichts für Hauptschüler. Im HS-Mathematikunterricht –muss der Einstieg in ein neues Thema aus Alltag und Umwelt motiviert werden –müssen Aufgaben möglichst Umweltbezug haben –sollte auf Fachsprache zugunsten einer leichter verständlichen Alltagssprache verzichtet werden Verschiedene Bilder von HS-Mathematik

12 Hauptschüler sind minderbegabt, deshalb –können und müssen sie Inhalte nicht wirklich verstehen –sollten sie ohne lange Ableitungen schnell einfache Regeln an die Hand bekommen und diese dafür intensiver trainieren –sollte auf Themen, die der eh schon überfüllte Lehrplan nicht einfordert, unbedingt verzichtet werden –benötigt der Lehrer kein weitergehendes fachliches Hintergrundwissen, sondern vor allem methodisches und pädagogisches Geschick Kritik des defizitären Ansatzes Falsch! Die Aufteilung nach Fähigkeit auf die Schularten gelingt nur sehr unzureichend Mathematik ohne Verständnis ist Quälerei ohne Effekt Studien belegen die Unwirksamkeit dieser Methode Der LP ist nicht überfüllt! Oft bedeutet mehr Inhalt kaum mehr Aufwand! Oft wird im Unterricht Zeit vergeudet Ohne fundiertes fachliches Wissen gibt es keinen sinnvollen Methodeneinsatz

13 Die Schüler müssen das Wissen eigenständig konstruieren, deshalb –sollten die Schüler das Unterrichtsziel mithilfe stummer Impulse selbst entdecken –müssen sie die Inhalte selbst erarbeiten –dürfen Inhalte nicht vom Lehrer fertig angeboten werden –sollten die Schüler Ergebnisse möglichst immer selbst darstellen –ist ein Lehrervortrag zum Erklären von Sachverhalten nicht mehr notwendig –sollte der Lehrer sich weitgehend zurücknehmen –muss der Lehrer eher Moderationskompetenz als Fachwissen besitzen Kritik des konstruktivistischen Ansatzes Das ist nur an wenigen Stellen möglich! Dort muss es dann wirklich geschult werden! Oft unfruchtbare Zeitvergeudung! Wichtiger ist, dass die Problemstellung jedem klar ist! Ist aber aus ökonomische Gründen in manchen Fällen unabdingbar Präsentieren ist zwar eigenes Ziel, darf aber nicht einer guten Reflexion geopfert werden Der Lehrervortrag ist fundamentaler Bestandteil zur Sicherung von Verständnis und zur Spracherziehung Fundiertes fachliches Wissen ist Voraussetzung, um sinnvoll zu Eigenkonstruktionen anzuleiten Das ist kein Freibrief, um alles laufenzulassen

14 Fachwissen ist die unabdingbare Voraussetzung für die Vermittlung fachlichen Wissens, deshalb –benötigt der Lehrer anstelle von fachdidaktischem und methodischem Schnickschnack vor allem fundiertes fachliches Wissen –sollte der Lehrer möglichst auch Fachmathematik studiert haben –sollte anstelle eines umständlichen Erarbeitens der Inhalt übersichtlich, fachlich korrekt und dadurch auch gut verständlich dargeboten werden Kritik des fachorientierten Ansatzes Die fachorientierte Darstellung ist meist das konzentrierte Resultat eine langen Erkenntnisprozesses und beinhaltet nicht für den Verstehensprozess wesentliche Aspekte Hochschulmathematik ist zusätzliches Wissen aber meist kein Hintergrundwissen der Schulmathematik Fachlich korrekte Darstellung allein ist weder motivierend noch führt sie zu zu einem wirklichen Verständnis des Inhalts

15 Abstrakte Mathematik ist nichts für Hauptschüler. Im HS-Mathematikunterricht –muss der Einstieg in ein neues Thema aus Alltag und Umwelt motiviert werden –müssen Aufgaben möglichst Umweltbezug haben –sollte auf Fachsprache zugunsten einer leichter verständlichen Alltagssprache verzichtet werden Kritik des alltagsweltorientierten Ansatzes Innermathematische Motivation ist auch für Hauptschüler zugänglich, kann sehr faszinierend sein und ist oft angemessener. Mathematik soll auch als gedankliches Spiel erfahren werden, das als solches Spaß macht! Umweltbezüge als Einkleidungen werden auch von Schülern nicht ernst genommen. Lieber seltener dafür gut ausgearbeitet und dann wirklich alltagstauglich! Der Verzicht auf die Fachsprache führt oft zu mehr Verständnisproblemen als deren korrekter Gebrauch! Verwendung von Fachsprache ist Unterrichtsziel!

16 Forderungen aus dem Mathematik-Fachprofil (LP) Beim Lösen … geometrischer Aufgaben sollen die Schüler … Flexibilität und problemlösendes Denken entwickeln … Der Unterricht soll zur Selbstständigkeit ermuntern, den Einfallsreichtum fördern und Freude am mathematischen Tun wecken …gestalterischer Umgang mit geometrischen Formen können dazu beitragen, dass die Schüler Freude an mathematischem Tun gewinnen. Versuche, … Lösungswege zu variieren, sollen den Schülern das Durchdringen und selbstständige Bearbeiten von Aufgaben erleichtern. …räumt der Unterricht auch der Entwicklung von Lösungsideen Platz ein. Zunehmend verwenden die Schüler gängige Begriffe der mathematischen Fachsprache. Es ist aber darauf zu achten, dass sie mathematische Bezeichnungen und Symbole mit inhaltlichen Vorstellungen und Wissen verbinden. Kenntnisse über geometrische Figuren und das Wissen um geometrische Beziehungen können aus der Arbeit mit konkreten Modellen sowie dem zeichnerischen Darstellen erwachsen. Durch häufige und vielfältige kopfgeometrische Aufgaben wird intensiv das räumliche Denken und Vorstellungsvermögen geschult. Berechnungsformeln dürfen nicht zu früh eingeführt, sie müssen schrittweise aus der Anschauung entwickelt werden. Eine wiederholte Rückbesinnung auf ihre Gewinnung erleichtert den Schülern eine flexible Anwendung.

17 II. Bildung geometrischer Begriffe

18 Variieren Analogisieren Definitionen Eigenschaften Naive Vorstellung Fachmathematischer Aspekt Vorkommen Kreatives Arbeiten Unterrichtliche Repräsentation Geometrischer Begriff Fachsprache Funktion Anwendung Lebensweltlicher Aspekt Alltag/Beruf Begriffsumfeld Beziehungen Eigenschaften entdecken Mentaler Begriff Mentales Modell/Proposition Analysieren Vernetzen Handeln/Werken Verbalisieren Zeichnen Schüleraktivität Modell Text Bild Ordnen Operativ vorgehen Ungenauigkeit Anknüpfen an propädeutische Erfahrungen Alltags- sprache Modularisieren

19 Sprech- und Schreibweisen Man fasst in der Geometrie Figuren bzw. Körper als Teilmengen und Punkte als Elemente der Ebene bzw. des Raumes auf Damit sind spezielle Sprech- bzw. Schreibweisen aus der Mengenlehre verbunden Die Ebene (bzw. der Raum) kann mittels eines Koordinatensystems beschrieben werden (Man spricht dann vom IR² bzw. IR³) Es muss generell zwischen Figur bzw. dem Körper und dem zugeordneten Maß unterschieden werden!

20 Empfohlene Schreibweisen (LP) A, B, C... Punkte P (x | y) Punkt im Koordinatensystem mit den Koordinaten x und y AB Gerade durch A und B [AB] Strecke von A nach B Länge der Strecke AB g, h, k... Geraden g || h g ist parallel zu h g h g ist senkrecht zu h (ABC) Winkel mit Scheitelpunkt B α, β, γ, δ... Winkelmaß

21 Verwendung von Relations- und Operationszeichen Relationen drücken Beziehungen zwischen Objekten aus, z.B. 2 < 5 Operationszeichen erzeugen aus Objekten wieder Objekte, z.B Dabei entstehen keine Aussagen! Der Implikationspfeil drückt Beziehungen zwischen Aussagen aus, z.B. Dabei entstehen Aussagen, die wahr oder falsch sein können!

22 Relationszeichen: Zwischen Mengen Zwischen Zahlen oder zwischen Größen (Längen, Flächen, Gewichte etc) Zwischen Elementen und Mengen

23 Operationszeichen: Zwischen Mengen Zwischen Zahlen oder zwischen Größen (Längen, Flächen, Gewichte etc) + - · : Zwischen Elementen und Mengen ist keine Operation möglich

24 Was ist typisch für naive Vorstellungen? –Fixierung auf Sachsituation (Bsp. Pyramide Cheops)Pyramide Cheops –Einschränkung der Begriffe auf Prototypen Sonderformen (Bsp. nur Rechteck für Viereck, nur gleichseitiges Dreieck für Dreieck, nur gerader Kreiszylinder für Zylinder, reguläre quadratische Pyramide für Pyramide) Standardproportionen (Draht ein Zylinder?, Blatt Papier ein Quader?) –Beschränkung auf Normallagen (Bsp. Quadrat auf Ecke wird zu Raute? Steht das Prisma auf der Grundfläche?) –Unschärfe (Achsensymmetrie …zwei gleiche Teile) –Eigenschaftsarmut (Parallelogramm nur Parallelität) Unzureichende Begriffsbildung / Naive Vorstellungen

25 Cheopspyramide Unzureichende Begriffsbildung / Naive Vorstellungen

26 Prisma Prisma als Fachbegriff in Optik muss mathematisch kein Prisma sein! Klassisches Dreiecksprisma in Optik und Mathematik Klassisches Dreiecksprisma in Umwelt der Schüler Unzureichende Begriffsbildung / Naive Vorstellungen

27 Prototyp typ. Lage typ. Form untyp. Lage untyp. Form typ. Lage SonderfallGegenbeispiel 0% 10% 20% 30% 40% 50% 60% 70% 80% 90% 100% richtig falsch unsicher nichts Aus einer Untersuchung mit 118 Schülern der Klassen einer Hauptschule Prototyp untyp. Lage Katastrophale Begriffsbildung als Realität der Hauptschule Unzureichende Begriffsbildung / Naive Vorstellungen

28 Welche Probleme entstehen, wenn unzureichende Begriffsbildung im Unterricht nicht bekämpft wird? –Banaler Unterricht ohne Herausforderungen Demotivierung –Reibungsverlusten in späteren Jgst. durch unnötige Umlernprozesse –Unfähigkeit realistische Sachproblemen zu lösen –Eingeschränkte Problemlösefähigkeit –Einschränkung sprachlicher Möglichkeiten Unzureichende Begriffsbildung / Naive Vorstellungen

29 Auf was muss im Unterricht geachtet werden? –Fachliche Begriffe müssen explizit mit vorgeprägten naiven Begriffen kontrastiert werden –An naive Begriffe sollte im Unterricht angeknüpft werden, um sie in fachlicher Hinsicht zu präzisieren –Naive Begriffe können als Merkhilfe für Bezeichnungen genutzt werden (Mentale Prototypen haben auch bei Profis Charakteristika naiver Vorstellungen. Diese können aber den elaborierten Begriff problemlos assoziieren) Unzureichende Begriffsbildung / Naive Vorstellungen

30 Trapez (gleichschenkliges) Unzureichende Begriffsbildung / Naive Vorstellungen

31 Zylinder (gerader Kreis-) Vierzylinder Unzureichende Begriffsbildung / Naive Vorstellungen

32 Historische Anmerkungen Elemente von Euklid (4.Jh vor Chr.) –Geometrie: Band 1-6 und –Definitionen, Postulate, Axiome –Zweitausend Jahre der Inbegriff eines strengen deduktiven Aufbaus einer Wissenschaft –Problematisch: Definition von Grundbegriffen Ein Punkt ist, was keine Teile hat Eine gerade Linie ist eine solche, die zu den Punkten auf ihr gleichmäßig liegt. Mängel wurden erst in den Grundlagen der Geometrie (1899) von Hilbert behoben In der Geometrie Hilberts basiert auf nicht weiter definierten Grundbegriffen deren Relationen durch Axiome bestimmt werden. Damit ist keinerlei Bezug zur Anschauung mehr nötig! Leitfaden S.64ff Elementarmathematik S.9ff Fachmathematischer Aspekt

33 Klassisches Axiomensystem der Geometrie I.Axiome der Verknüpfung Bsp.: Zu zwei Punkten A,B gibt es stets eine Gerade a, die mit diesen verknüpft ist. II.Axiome der Anordnung Bsp.: Zu zwei Punkten A und C gibt es stets wenigstens einen Punkt B auf AC, so dass C zwischen A und B liegt. III.Axiome der Kongruenz Bsp.: Wenn zwei Strecken einer dritten kongruent sind, dann sind sie auch untereinander kongruent. IV.Parallelenaxiom Zu jedem Punkt P außerhalb einer beliebigen Geraden g existiert höchstens eine Parallele zu g durch P. Fordert man anstelle der Eindeutigkeit z.B. mehr als eine bzw. keine Parallele, so erhält man die so genannte hyperbolische bzw.elliptische Geometrie (nichteuklidische Geometrien)elliptische V.Axiome der Stetigkeit Voraussetzung für reelle Maßzahlen Fachmathematischer Aspekt

34 Die Großkreise haben hier die Funktion der Geraden. Da sich zwei Großkreise stets in mindesten zwei Punkten schneiden, gibt es hier nie eine Parallele zu einer Geraden durch einen Punkt außerhalb der Geraden.

35 Abbildungsgeometrie (Felix Klein: Erlanger Programm) Abbildungen werden anstelle der Kongruenz zu einem zentralen Grundbegriff Begriffe wie z.B. Streckenlänge werden als Invarianten unter bestimmten Abbildungen eingeführt Fachmathematischer Aspekt

36 Bedeutung bzw. Grenzen der Axiomatik für den Hauptschulunterricht Grundbegriffe werden aus der Anschauung heraus gewonnen –Punkt, Gerade, senkrecht … –Thematisierung der Idealisierung notwendig Im Unterricht wird auf einen rein deduktiven Aufbau zugunsten eines lokalen Begründens verzichtet Die Begründungen nehmen Bezug teils auf Argumente der klassischen Geometrie (z.B. Kongruenzsätze) nutzen aber auch abbildungsgeometrische Argumentationen

37 Definitionen Begriffe, die keine Grundbegriffe sind, werden definiert, d.h. so knapp wie möglich eindeutig beschrieben und mit einem Namen bezeichnet –Definitionen erfolgen oft durch Einschränkung bereits definierter Begriffe mithilfe von Grundbegriffen bzw. bereits definierter Begriffe mittels eines Abstraktionsprozesses durch Äquivalenzklassenbildung ( z.B. Flächeninhalt) konstruktiv –Definierende Forderungen müssen unabhängig sein –Meist existiert eine Vielzahl möglicher äquivalenter Definitionen –Gerade scheinbar einfache Begriffe sind fachmathematisch oft schwer zu definieren (Beispiel: Vieleck, Kurve, Fläche …) Fachmathematischer Aspekt

38 Versuch der Definition eines allgemeinen n-Ecks: Fachmathematischer Aspekt Vielecke Keine Vielecke Dreieck, nicht Viereck! offen überschlagen Vorüberlegung:

39 Bedeutung des Definierens für den HS-Unterricht Für den Unterricht sind strenge Definitionen manchmal zu kompliziert. Dennoch müssen auch dort Definitionen klar und eindeutig sein! Ausgangsbegriff oder einschränkende Eigenschaften können im Unterricht –vorher definiert, –aus Alltag bekannt und eindeutig verwendet oder –an Beispielen und Gegenbeispielen geklärt werden. Bsp. für eine schulgerechte Definition von Vieleck: Beispiele und Gegenbeispiele, sowie Text: Ein Vieleck ist ein ebener, nicht überschlagener, geschlossener Streckenzug Definitionen können statisch oder dynamisch erfolgen –Bsp. Kegel, Parallelogramm, Kreis, Zylinder…

40 Bsp. Definition Prisma in der Schule 1. Definition statisch über Begrenzungsflächen Ein Körper, der von zwei parallelen kongruenten Vielecken (den so genannten Grundflächen) und ansonsten nur von Parallelogrammen (den so genannten Seitenflächen) begrenzt wird, heißt Prisma. Sind die Seitenflächen Rechtecke nennt man das Prisma gerade. Anmerkung: Im HS-LP werden zur Zeit nur gerade Prismen gefordert

41 Bsp. Definition Prisma in der Schule 2. Definition dynamisch über Verschiebung Verschiebt man ein Vieleck (nicht parallel zu sich), so entsteht ein Prisma. Die Vielecksflächen am Anfang und Ende der Verschiebung heißen Grundflächen, die anderen Begrenzungsflächen nennt man Seitenflächen. Erfolgt die Verschiebung senkrecht zur Vielecksfläche, so entsteht ein gerades Prisma. Verschiebt man eine Strecke entlang eines Vielecks (Strecke zu Vieleck nicht parallel!), so entsteht ein Prisma. Weniger relevant Sehr relevant

42 Begriffe beinhalten meist eine Vielzahl von Eigenschaften Eigenschaften von Figuren können sich z.B. beziehen auf –Seiten (Längen, Lage), –Winkel –Besondere Linien, Diagonalen (Längen, Lage) –Symmetrien (Achsen-, Punkt-, Drehsymmetrie) –Umfang, Flächeninhalt –Inkreis, Umkreis, Ankreis –Besondere Punkte –Parkettierungsmöglichkeit –…–… Fachmathematischer Aspekt

43 Begriffe beinhalten meist eine Vielzahl von Eigenschaften Bsp. Kreis –Kreis ist der Ort aller Punkte gleichen Abstands von einem Zentrum –Kreis ist Figur minimalen Umfangs bei maximalem Flächeninhalt –Kreis ist Figur maximaler Symmetrie –Kreis ist Rotationsfigur –Kreis ist Figur konstanter Krümmung Fachmathematischer Aspekt

44 Die Eigenschaften eines Begriffs stehen meist in engen Beziehungen zueinander –z.B. Aus Längengleichheit der Gegenseiten folgt im Viereck Maßgleichheit der Gegenwinkel Begriffe stehen in Bezug zu anderen Begriffen und sind in ein Begriffsnetz eingebunden –Gemeinsames Auftreten (z.B. Kreise, gleichschenklige Dreiecke) –Analoge Begriffe in anderen Dimensionen (z.B. Strecke, Quadrat, Würfel, …) –Hierarchische Begriffsbeziehungen Unter-, Ober-, bzw. Nachbarbegriff Kreatives Ordnen (z.B. Siehe Übungen: Beim Aufbau des Hauses wurden Vierecke erzeugt) Ordnen bekannter Begriffe Fachmathematischer Aspekt

45 Begriffe werden beim Ordnen erarbeitet! 1)Wähle einen Satz ordnender Eigenschaften (z.B. Achsensymmetrie, Punktsymmetrie) 2)Prüfe, welche Vierecksformen dabei entstehen: –Achsensymmetrie –bzgl. Diagonalen (Drachen) –bzgl. Mittelsenkrechte (Trapez) –Punktsymmetrie (Parallelogramm) 3)Kombiniere die ordnenden Eigenschaften –Z.B. Achsensymmetrie bzgl. zweier Diagonalen dreier Mittelsenkrechter einer Diagonalen und Punktsymmetrie… 4)Prüfe insbesondere Existenz und Abhängigkeiten –Nichtexistenz sowie (andere) Abhängigkeiten verringern die Zahl der zu ordnenden Vierecke Z.B. ist ein Viereck, welches zwei verschiedene Symmetrieachsen besitzt bereits auch punktsymmetrisch oder aus der Symmetrie bzgl. einer Diagonalen und einer Mittelsenkrechten folgt die Symmetrie bzgl. der anderen Diagonalen und Mittelsenkrechten In einem Viereck können sich Symmetrieachsen nur in den Winkeln 45° oder 90° schneiden 5)Ordnung ergibt sich aus Kombination der geforderten Eigenschaften Vorgehen beim kreativen Ordnen Fachmathematischer Aspekt

46 Vorgehen beim Ordnen bekannter Begriffe Begriffe sind bereits erarbeitet, d.h. in all ihren Eigenschaften bekannt! 1)Wähle definierende Eigenschaften für einen Viereckstyp A (z.B. Punktsymmetrie für Parallelogramm) 2)Prüfe, ob diese Eigenschaft auch anderen Typen B zueigen ist: –Wenn ja, dann ist Typ B Unterbegriff von A (z.B. Rechteck, Raute oder Quadrat) –Wenn nein, dann ist Typ B Nachbarbegriff zu A(z.B. Drache, gleichschenkliges Trapez) oder Oberbegriff zu A (z.B. Trapez, allgemeines Viereck); in diesem Fall muss eine definierende Eigenschaft von Typ B stets auch Typ A zueigen sein Fachmathematischer Aspekt

47 Begründung des Ordnens im Unterricht Notwendige Fähigkeit im Alltag (z.B. Ordnerstruktur im Computer) Propädeutik allgemeinen systematischen wissenschaftlichen Ordnens (z.B. zoologische Systematik) Lernerfolgssicherung der Einzelinhalte durch –Wiederholung –Vernetzung –Reduktion des Lernstoffes (Vererbung der Eigenschaften) Klärung korrekter Sprechweisen (z.B. Das Parallelogramm ist ein Trapez) Einsicht in die Bedeutung solcher hierarchischer Begriffssysteme für die Formulierung mathematischer Sätze (Sätze für Oberbegriffe gelten insbesondere auch für entsprechende Unterbegriffe und müssen dort nicht neu bewiesen werden) Beim kreativen Ordnen –Innermathematische Hinführung auf neue Begriffe –Schüler erfahren die Schlagkraft kreativer Techniken Mathematik als eine Wissenschaft des Forschens


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