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Sommersemester 2009 Universität Mainz Johanna Trinkhaus, Timo Schweißguth Fachdidaktik Seminar – Kernideen der Mathematik.

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Präsentation zum Thema: "Sommersemester 2009 Universität Mainz Johanna Trinkhaus, Timo Schweißguth Fachdidaktik Seminar – Kernideen der Mathematik."—  Präsentation transkript:

1 Sommersemester 2009 Universität Mainz Johanna Trinkhaus, Timo Schweißguth Fachdidaktik Seminar – Kernideen der Mathematik

2 Inhalt der Präsentation Umkehrungen in Mathematikunterricht – Was geht, was geht nicht? Winkel um Mathematikunterricht – Wo kommen sie vor? Unterrichtsplanung zum Innenwinkelsummensatz von Dreiecken

3 Umkehrungen – Satz des Pythagoras Satz des Pythagoras: Ist ein Dreieck ABC ein rechtwinkliges Dreieck mit Hypotenuse c, dann gilt: Umkehrung: Sei ein Dreieck ABC mit den Seiten a,b,c gegeben und es gelte. Dann ist das Dreieck ein rechtwinkliges Dreieck mit als Hypotenuse

4 Umkehrungen – Satz des Pythagoras Beweisidee: Wir wählen uns ein rechtwinkliges Dreieck mit den Katheten a und b und zeigen, dass dieses kongruent zum Dreieck aus der Umkehrung ist. Schüler sollen an diesem wichtigen und bekannten Satz lernen, worauf es bei Umkehrungen und Beweisen ankommt. Dies ist dann eine gute Übung, um das mathematische Argumentieren zu trainieren. (Kompetenz K1)

5 Umkehrungen – Satz des Thales Satz des Thales: Die freien Ecken C aller rechtwinkligen Dreiecke mit gemeinsamer Hypotenuse AB liegen auf einem Kreis mit AB als Durchmesser. Umkehrung: Jedes Dreieck, dessen Ecken so auf einem Kreis liegen, dass eine Seite Kreisdurchmesser ist, besitzt einen rechten Winkel

6 Umkehrungen – Satz des Thales Beweis: Ergänzung des rechtwinkligen Dreiecks zu einem Rechteck und Betrachtung der beiden Diagonalen Vorkenntnisse: Diagonalen eines Rechtecks sind gleich lang Diagonalen eines Rechtecks halbieren sich gegenseitig

7 Umkehrungen - Strahlensätze Strahlensätze 1. Strahlensatz Merkregel: 2. Strahlensatz Umkehrung: Erster Strahlensatz ist umkehrbar, der zweite allerdings nicht

8 Umkehrungen - Strahlensätze Beweise/Begründungen Für den ersten Satz sollen die Schüler an Beispielen erkennen, dass die Umkehrung gilt Für den zweiten Strahlensatz ergibt ein einfaches Beispiel, dass die Umkehrung nicht gilt. (Kreis um A mit ergibt weitere, nicht parallele, Strecke für die die Behauptung gilt

9 Umkehrungen - Probleme Häufig fällt es den Schülern schwer Behauptung und Voraussetzung zu trennen. So wird beim Beweisen vielleicht ungültiges als Beweismittel eingesetzt. Schüler müssen bei Gleichungsumformungen darauf achten ob die Umkehrung wirklich gelten kann. (Umkehrung könnte /0 sein) Trennung von Satz und Umkehrung

10 Winkel - Höhenbestimmung Problemstellung Aufgabe Schüler gehen auf den Schulhof und sollen die Höhe h des Schulgebäudes bestimmen und vorher eine Skizze anfertigen Vorerst sollen die Schüler ohne Hilfe zurecht kommen Hilfestellung: Trigonometrische Funktionen

11 Winkel - Höhenbestimmung Vorkenntnisse: Umgang mit der Winkelmessung eines Theodoliten (Einführung im Unterricht) Kenntnisse über trigonometrische Funktionen Probleme Schüler versuchen h zu schätzen, indem sie die Höhe des Gebäudes mit der eigenen Größe vergleichen Zeichnungen allein helfen bei Messung nicht, da der Realitätsbezug verloren geht

12 Winkel – Ähnliche Dreiecke Problem: Quadrat mit Seitenlänge 8cm Aufgabe: Zeige, dass alle Dreiecke ähnlich sind. Zeige an einem Dreieck, dass die Seitenverhältnisse 5:4:3 sind

13 Winkel – Ähnliche Dreiecke Vorkenntnisse: Innenwinkelsummensatz von Dreiecken Definitionen von Stufen-, Wechsel- und Nebenwinkeln Satz des Pythagoras Probleme: Sehr formal, da keine Zahlenbeispiele Anwendungsaufgabe Bsp. mit Winkelmessungen kann helfen

14 Winkel – Grad- und Bogenmaß Problem: Was ist b? Wie berechne ich b? Idee: Einheitskreis Schüler sollen erkennen, dass b eine Teil von U ist Aufgabestellung: Schüler sollen Werte vom Bogenmaß ins Gradmaß umrechnen und umgekehrt Schüler sollen möglichst alleine allg. Formeln aufstellen Was ist bei ?

15 Winkel – Grad- und Bogenmaß Vorkenntnisse: Berechnung vom Kreisumfang Umgang mit Winkeln im Bogenmaß Probleme: Formale Abstraktion

16 Einstiegsmöglichkeiten Winkelsummensatz Dreieck auf Papier oder Pappe zeichnen und ausschneiden, Ecken abreißen und zusammenlegen Im Helf oder mit DynaGeo sollen die Schüler versuchen ein Dreieck mit möglichst großer Innenwinkelsumme zu zeichnen Abschreiten der Winkel Formaler Ansatz für die besseren Schüler


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