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Mathematik 10. Jahrgang Satz des Pythagoras Die Möndchen des Hippokrates HIPPOKRATES VON CHIOS ( griechischer Mathematiker, um 440 v. Chr.) war der berühmteste.

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1 Mathematik 10. Jahrgang Satz des Pythagoras Die Möndchen des Hippokrates HIPPOKRATES VON CHIOS ( griechischer Mathematiker, um 440 v. Chr.) war der berühmteste Geometer des 5. Jh. v. Chr. Von ihm stammt nach Überlieferung die erste zusammenfassende Darstellung geometrischen Wissens seiner Zeit unter dem Titel " Elemente " nach dem Schema Voraussetzung, Satz und Beweis. Darin verwendet er für die Bezeichnung geometrischer Figuren Buchstaben. Er beschrieb den Zusammenhang von Peripheriewinkel (Umfangswinkel) und Bogen, die Konstruktion des Sechsecks und des Umkreises des Dreiecks, Verallgemeinerungen des pythagoräischen Lehrsatzes für ähnliche Figuren über den Dreieckseiten sowie für das stumpfwinklige Dreieck. Er zeigte Umwandlungen von Polygonen in flächengleiche Quadrate. Verdrängt wurde diese Darstellung durch die umfangreicheren späteren " Elemente " des EUKLID. Doch dürfte der Inhalt der ersten vier Bücher der euklidischen "Elemente" auf die Vorlage von HIPPOKRATES zurückgehen. Eng verbunden ist der Name HIPPOKRATES auch mit zwei berühmten Problemen der Mathematik, den hier behandelten Möndchen und der so genannten Quadratur des Kreises, über die an anderer Stelle berichtet wird.

2 Mathematik 10. Jahrgang Satz des Pythagoras Die Möndchen des Hippokrates

3 Dieses Bild entsteht aus einem rechtwinkligen Dreieck…

4 Mathematik 10. Jahrgang Satz des Pythagoras Die Möndchen des Hippokrates Dieses Bild entsteht aus einem rechtwinkligen Dreieck, bei dem zunächst die Mitte jeder Seite eingezeichnet wird, ….

5 Mathematik 10. Jahrgang Satz des Pythagoras Die Möndchen des Hippokrates Dieses Bild entsteht aus einem rechtwinkligen Dreieck, bei dem zunächst die Mitte jeder Seite eingezeichnet wird, um diese Mittelpunkte der Seiten mit Kreisen zu umgeben.

6 Mathematik 10. Jahrgang Satz des Pythagoras Die Möndchen des Hippokrates Erläuterung: Der große rote Kreis über der Hypotenuse schneidet von den kleineren blauen Kreisen über den beiden Katheten genau so viel ab, dass nur noch Möndchen- förmige Flächen übrig bleiben. Bei sorgfältiger Flächenfärbung kann man das noch viel besser erkennen.

7 Mathematik 10. Jahrgang Satz des Pythagoras Die Möndchen des Hippokrates

8 Nun wird dazu passend auch das ursprüngliche Dreieck farblich besser markiert: UND DIE KONSTRUKTION IST FERTIG!

9 Mathematik 10. Jahrgang Satz des Pythagoras Die Möndchen des Hippokrates Euklids besondere Erkenntnis lautet: In dieser Konstruktion ist die Fläche des rechtwinkligen Dreiecks – hier in ROT dargestellt – genauso groß, wie die beiden blau dargestellten Monde über den Katheten zusammen: DREIECK = MOND 1 + MOND 2

10 Mathematik 10. Jahrgang Satz des Pythagoras Die Möndchen des Hippokrates Eine mathematische Aussage, die aus einer Gleichung besteht, wird einfach dadurch bewiesen, dass diese Gleichung ausgerechnet wird. 1.) Die Berechnung des Dreiecks ist sehr einfach. 2.) Die Berechnung der Möndchen ist relativ schwierig.

11 Mathematik 10. Jahrgang Satz des Pythagoras Die Möndchen des Hippokrates

12 Für die Monde hat Herr EUKLID einen relativ simplen Trick erfunden: Man kann nämlich die beiden Monde nicht einzeln ausrechen, sondern nur zusammen. Und in unserer Aussage ist ja auch nur von dieser Summe M = MOND 1 + MOND 2 die Rede. Der einzelne Mond ist uninteressant. Wie kommt dass? – Nun, die Monde bestehen aus Halbkreisen über den Katheten, von denen ein Stück abgeschnitten wird. Für das Abschneiden wird auch ein Halbkreis benutzt, und zwar der über der Hypotenuse. Was aber dieser Hypotenusenkreis von jedem der beiden Kathetenkreise abschneidet, ist nicht im Einzelnen zu bestimmen. Auf der nächsten Folie schreiben wir das ganz exakt auf.

13 Mathematik 10. Jahrgang Satz des Pythagoras Die Möndchen des Hippokrates M= MOND 1 + MOND 2 = K1 + K2 – DAS_WEISSE_VON_H Dabei sind K1 und K2 die Halbkreise über den Katheten; H ist natürlich der Halbkreis über der Hypotenuse. Und nach diesen Vorüberlegungen müssen wir ein bisschen rechnen. Und die Rechenregeln GENAUESTENS einhalten. Das ist alles!

14 Mathematik 10. Jahrgang Satz des Pythagoras Die Möndchen des Hippokrates


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