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Wochenendseminar Bennewitz, 10. September 2010, Dr. Axel Schüler 1 Unendliche Reihen Geometrische Reihe Was ist 0,999… 1+q+q 2 +… Harmonische Reihe Riemannsche.

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1 Wochenendseminar Bennewitz, 10. September 2010, Dr. Axel Schüler 1 Unendliche Reihen Geometrische Reihe Was ist 0,999… 1+q+q 2 +… Harmonische Reihe Riemannsche Zeta-Funktion Zerlegung in die Summe von Quadraten Leonhard Euler

2 Wochenendseminar Bennewitz, 10. September 2010, Dr. Axel Schüler 2 Die geometrische Reihe Wann hat diese Reihe einen Grenzwert für n ?

3 Wochenendseminar Bennewitz, 10. September 2010, Dr. Axel Schüler 3 Die harmonische Reihe 1+ ½ + 1/3 +… Man kann leicht zeigen, dass die n-te Partialsumme der harmonischen Reihe über alle Grenzen wächst, indem man nach unten abschätzt:

4 Wochenendseminar Bennewitz, 10. September 2010, Dr. Axel Schüler 4 Anwendung der harmonischen Reihe Die Überhänge der Klötze betragen von oben beginnend ½, ¼, 1/6, 1/8 usw. Der neu hinzukommende (n+1)te Klotz wird unten drunter geschoben, sodass der Schwerpunkt des Turmes aus n Klötzen genau über der Kante des neuen Klotzes liegt.

5 Wochenendseminar Bennewitz, 10. September 2010, Dr. Axel Schüler 5 Die Reihen ζ(s)=1+ 1/2 s +1/3 s +… Wir haben gesehen, dass diese Reihe für s = 1 gegen + divergiert. Für 0 1/n. Somit divergieren auch diese Reihen gegen unendlich. Für s > 1 kann man aber zeigen, dass diese Reihen einen endlichen Wert haben. Wir zeigen dies für den Spezialfall s = 2. Dazu betrachten wir:

6 Wochenendseminar Bennewitz, 10. September 2010, Dr. Axel Schüler 6 Die Reihen ζ(s)=1+ 1/2 s +1/3 s +… Somit gilt: ζ Und damit ζ(s) < 2. Man kann zeigen, dass ζ(2)= π 2 / 6 und ζ(4)= π 4 / 90.

7 Wochenendseminar Bennewitz, 10. September 2010, Dr. Axel Schüler 7 Funktionalgleichung für ζ(s) Setzt man s=2n+1 ein, so hat man die trivialen Nullstellen von ζ(s), denn cos((2n+1)/2 π) = 0, also ζ(-2n) = 0. Beachtet man Γ(n) = (n-1)! und setzt dann s = 2 oben ein, also Γ(2) = 1, so hat man

8 Wochenendseminar Bennewitz, 10. September 2010, Dr. Axel Schüler 8 Die Riemann-Kurve x(t)= ζ(1/2 + it) Graph von x(t)= zeta(½ + it), t=0,…,34. Man erkennt, dass die Kurve x(t) für t=0,…,34 genau 5 Mal durch den Nullpunkt läuft. Die Zeta-Funktion hat in diesem Bereich 5 Nullstellen. Riemannsche Vermutung: Alle nichttrivialen Nullstellen s der Zeta-Funktion haben den Realteil Re(s)=1/2.

9 Wochenendseminar Bennewitz, 10. September 2010, Dr. Axel Schüler 9 Zerlegung in Summen von Quadraten Die Jacobi-Tripelprodukt- Identität Für q < 1 und alle x gilt: Durch trickreiche Umformungen leitet man hieraus die folgenden beiden Identitäten ab: Hierbei sind und die Anzahl der Teiler von n, die den Rest 1 bzw. 3 bei Division durch 4 lassen.

10 Wochenendseminar Bennewitz, 10. September 2010, Dr. Axel Schüler 10 Leonhard Euler (1707 – 1783) in Basel geboren und verstarb am in St.Petersburg. Euler studierte auch Fourier-Reihen fand er die folgende Identität (0< x < 2π): π/2 - x/2 = sin x + (sin 2x)/2 + (sin 3x)/ Mit MUPAD: plotfunc2d(sin(x) +sin(2*x)/2 +sin(3*x)/3 +sin(4*x)/4,x= )


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