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13. Transformationen mit Matrizen Manche geometrischen Probleme lassen sich leichter lösen, wenn man das Koordinatensystem "geeignet" wählt, d.h. die.

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Präsentation zum Thema: "13. Transformationen mit Matrizen Manche geometrischen Probleme lassen sich leichter lösen, wenn man das Koordinatensystem "geeignet" wählt, d.h. die."—  Präsentation transkript:

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3 13. Transformationen mit Matrizen

4 Manche geometrischen Probleme lassen sich leichter lösen, wenn man das Koordinatensystem "geeignet" wählt, d.h. die Vektoren transformiert oder abbildet. Offensichtlich werden lineare Abbildungen durch Matrizen bewirkt. Sei A eine m n Matrix und X eine n 1 Matrix, d.h. ein Vektor mit n Komponenten, so führt die Abbildung f A : n m Y = f A (X) = A X auf einen Vektor Y mit m Komponenten. Die Umkehrabbildung ergibt sich mit Hilfe der inversen Matrix A -1 (falls diese existiert) A -1 Y = f A -1 (Y) = X.

5 Manche geometrischen Probleme lassen sich leichter lösen, wenn man das Koordinatensystem "geeignet" wählt, d.h. die Vektoren transformiert oder abbildet. Offensichtlich werden lineare Abbildungen durch Matrizen bewirkt. Sei A eine m n Matrix und X eine n 1 Matrix, d.h. ein Vektor mit n Komponenten, so führt die Abbildung f A : n m Y = f A (X) = A X auf einen Vektor Y mit m Komponenten. surjektiv, nicht injektivinjektiv, nicht surjektiv

6 13.1 Drehungen entgegen dem Uhrzeigersinn um den Winkel um Z 0 = W 0 ( ) = { U 0, V 0, W 0 } = { X 0, Y 0, Z 0 } = (0) U 0 (0) = X 0 U 0 ( ) =

7 13.1 Drehungen entgegen dem Uhrzeigersinn um den Winkel um Z 0 = W 0 ( ) = { U 0, V 0, W 0 } = { X 0, Y 0, Z 0 } = (0) U 0 (0) = X 0 U 0 ( ) = V 0 ( ) =

8 Die Koordinaten eines im gedrehten System ( ) festen Vektors A =A = sind in A( ) = D A(0) = =

9 Um den Übergang von nach ( ) zu finden, benötigen wir die inverse Matrix D -1. D I3D I3

10 D -1 = D T Solche Matrizen heißen orthogonale Matrizen. Denselben Effekt erhält man durch Umkehrung der Drehrichtung, d. h. durch Ersetzen von durch (- ).

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18 13.4 Lösungsmengen irregulärer linearer Gleichungssysteme A X = 0 homogen A X = B mit B 0 inhomogen Sei A C = B Alle anderen Lösungen C ' sind dann von der Gestalt C' = C + C* wobei A C* = 0 A (C + C*) = A C + A C* = B + 0 = B

19 Es sei C' eine beliebige und C die bekannte Lösung, dann ist A (C' - C) = A C' - A C = B - B = 0 Also ist (C' - C) = C* C' = C + C* Jedes homogene Gleichungssystem besitzt mindestens eine Lösung, nämlich die triviale Lösung C* = 0. Aber nicht jedes inhomogene Gleichungssystem besitzt eine Lösung. A X = B hat genau eine (bzw. mehrere) Lösung(en) A X = 0 hat genau eine (bzw. mehrere) Lösung(en). A X = 0 hat nur eine Lösung A X = B hat eine oder keine Lösung.

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22 Definition. Die Menge aller Vektoren aus n, die auf den Null- vektor abgebildet werden, also die Lösungsmenge des homo- genen Gleichungssystems, nennen wir Kern der Abbildung: Kern (f A ) = { X n | f A (X) = 0 } Kern (f A ) ist ein Unterraum des Definitionsbereichs, also des n- dimensionalen Vektorraums, denn Addition zweier Vektoren aus Kern (f A ) sowie Multiplikation mit einem Skalar ergibt wieder einen Vektor aus Kern (f A ). A X = 0 und A X' = 0 A (X + X') = 0 A X = 0 A X = (A X) = 0 = 0 n m

23 Definition. Die Menge aller Vektoren aus m, die Bilder von Vektoren X aus n sind, nennen wir Bild der Abbildung: Bild (f A ) = { B m | B = f A (X) } Bild (f A ) ist ein Unterraum des m-dimensionalen Bildraums. Sind B und B' Bilder, d. h. A X = B und A X' = B', so ist auch B + B' ein Bild, nämlich von X + X', das mit X und X' auch zum Urbildraum gehört. A X = B und A X' = B' A (X + X') = B + B' A X = B A X = (A X) = B n m

24 Definition. Die Dimension des Kerns dim (Kern (f A )) heißt Defekt der Abbildung. Definition. Die Dimension des Bildes dim (Bild (f A )) heißt Rang der Abbildung.

25 Abbildungen mit der m n Matrix A: (1) Die Lösungsmenge des homogenen Gleichungssystems A X = 0 ist Kern (f A ). Das homogene Gleichungssystems besitzt nur eine Lösung Defekt (f A ) = 0. (2) Das inhomogene Gleichungssystem A X = B besitzt mindestens eine Lösung C B Bild (f A ). (3) Sei C eine solche Lösung, dann ist die gesamte Lösungsmenge von A X = B die Menge { C + Kern (f A ) }. A X = B hat dann genau eine Lösung Defekt (f A ) = 0. (4) Defekt (f A ) + Rang (f A ) = dim ( n ) = n.

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