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Sylvain Bonnet, Lehrstuhl für mathematische Geologie 1 Filterung der räumlichen Frequenzen.

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Präsentation zum Thema: "Sylvain Bonnet, Lehrstuhl für mathematische Geologie 1 Filterung der räumlichen Frequenzen."—  Präsentation transkript:

1 Sylvain Bonnet, Lehrstuhl für mathematische Geologie 1 Filterung der räumlichen Frequenzen

2 Sylvain Bonnet, Lehrstuhl für mathematische Geologie 2 Helligkeitsvariationen in einem Bild Ein Bild kann als die Summe von Helligkeitsvariationen unterschiedlicher räumlichen Frequenz betrachtet werden Die räumliche Frequenz bezieht sich auf die Anzahl der (periodischen) Variationen der Helligkeitswerte pro Raumeinheit (in cycles/Pixel für ein Bild) y x - Höhe räumliche Frequenz: abrupte Variation der Helligkeitswerte in eine Richtung (ZB: Grenze Schwarz/Weiß) - Niedrige räumliche Frequenz : allmähliche Variation der Helligkeitswerte in eine Richtung (ZB: eintonige Fläche, Abstufung von Grauwerten) f(x,y): Helligkeitswert im Ort (x,y)

3 Sylvain Bonnet, Lehrstuhl für mathematische Geologie 3 Räumliche Variation der Helligkeit im Bild DN 255 0

4 Sylvain Bonnet, Lehrstuhl für mathematische Geologie 4 1.Eintonige Fläche: keine räumliche Variation der Helligkeitswerte in x- und y- Richtung => räumliche Frequenz =0 in beide Richtungen 2.Eintonige Fläche in x-Richtung => räumliche Frequenz=0 in x-Richtung Abstufung von Helligkeitswerten in y-Richtung => niedrige räumliche Frequenz in y-Richtung 3.Wiederholung von abrupten Variationen der Helligkeitswerte in x- und y-Richtungen => höhe räumliche Frequenz in beiden Richtungen y x

5 Sylvain Bonnet, Lehrstuhl für mathematische Geologie 5 = + x Originalbild HP-gefiltertes Bild LP-gefiltertes Bild Helligkeitswert (DN) Filterung der Signalkomponente hoher räumlichen Frequenz Filterung der Signalkomponente niedriger räumlichen Frequenz Zerlegung des Signals in 2 Komponenten verschiedener Frequenz

6 Sylvain Bonnet, Lehrstuhl für mathematische Geologie 6 (DN) Entfernung (x) Amplitude Periode=1/Frequenz Periodisches Signal Phase

7 Sylvain Bonnet, Lehrstuhl für mathematische Geologie 7 Sinus- und kosinusförmige Periodische Signal Parameter eines periodischen Signals: Amplitude Periode (Frequenz) Phase

8 Sylvain Bonnet, Lehrstuhl für mathematische Geologie 8 X (Reihe von Pixel) Helligkeitswerte (DN) + + = Zerlegung des Signals in Kosinus- und Sinusfunktionen Frequenz 1 Frequenz 2 Frequenz 3 Amplitude 1 Amplitude 2 Amplitude 3 Phase 1 Phase 2 Phase 3 Amplitude= Gewicht des periodischen Signals Phase = Verschiebung zwischen den Signalen (=> konstruktive oder destruktive Summe)

9 Sylvain Bonnet, Lehrstuhl für mathematische Geologie 9 Helligkeitswerte (DN) A1= A2= A3= Zerlegung des Signals in Kosinus- und Sinusfunktionen

10 Sylvain Bonnet, Lehrstuhl für mathematische Geologie 10 Zerlegung des Bildsignals in Kosinus- und Sinusfunktionen

11 Sylvain Bonnet, Lehrstuhl für mathematische Geologie 11 Zerlegung eines Bild in periodischen Helligkeitsvariationen unterschiedlicher räumlichen Frequenz Ein Bild kann als Summe von sinusförmigen Helligkeitsvariationen unterschiedlicher räumlicher Frequenz betrachtet werden f(i,j): Helligkeitswert des Pixels (i,j) im Bild f(i,j) = (periodische Helligkeitsvariationen unterschiedlicher räumlichen Frequenz) Fourier Transform (FT): mathematische Methode zum Zerlegen eines Bildes in sinusförmigen Komponenten unterschiedlischer räumlichen Frequenzen 1D Z.B für ein Signal von Quadrat-Wellen in einer Reihe von Pixel: Beitrag jeder Sinusfunktion =Amplitude

12 Sylvain Bonnet, Lehrstuhl für mathematische Geologie 12 2D-inverse diskrete Fourier Transform f(x,y): Helligkeitswert f im Pixel (x,y) N x : Anzahl von Pixel in der x-Richtung N y : Anzahl von Pixel in der y-Richtung F(u,v): Amplitude der Funktion von Frequenz u,v (x-und y-Richtung) Helligkeitswerte f(x,y) als Summe von Kosinus- und Sinus- Funktionen (Wellen) unterschiedlicher räumlichen Frequenzen (u,v):

13 Sylvain Bonnet, Lehrstuhl für mathematische Geologie 13 2D diskrete Fourier Transform f(x,y): Helligkeitswert f im Pixel (x,y) N x : Anzahl von Pixel in der x-Richtung N y : Anzahl von Pixel in der y-Richtung F(u,v): Amplitude der Funktion von Frequenz u,v (x-und y-Richtung) Die Fourier Transform liefert die Koeffizienten (Amplitude bzw. Beiträge) F(u,v) der Sinus- und Kosinusförmigen Funktionen im Bild f(x,y):

14 Sylvain Bonnet, Lehrstuhl für mathematische Geologie 14 FT: Ortsraum => Frequenzraum f(x,y) als Bildfunktion (Grauwert-Ort-funktion) F(u,v) als Ortsfrequenzfunktion Der Funktionswert F(u,v) gibt Phase und Betrag (Amplitude) der sinusförmigen Grauwertskomponenten in f(x,y) von Frequenz in X-Richtung und Frequenz in Y-Richtung an. eindeutigeZwischen den stetigen Funktion f(x,y) und F(u,v) besteht eine eindeutige Beziehung, so dass eine Inverse-Transformation möglich ist

15 Sylvain Bonnet, Lehrstuhl für mathematische Geologie 15 Die Parameter der Fourier Transform

16 Sylvain Bonnet, Lehrstuhl für mathematische Geologie 16

17 Sylvain Bonnet, Lehrstuhl für mathematische Geologie 17

18 Sylvain Bonnet, Lehrstuhl für mathematische Geologie 18 Ortsraum Spektrum im Frequenzraum f(x)Amplitude (F(u)) Frequenz (u) x

19 Sylvain Bonnet, Lehrstuhl für mathematische Geologie 19 u A u u AAA A AAA A A AA

20 Sylvain Bonnet, Lehrstuhl für mathematische Geologie 20

21 Sylvain Bonnet, Lehrstuhl für mathematische Geologie 21 Steigende Frequenz Amplitudespektrum im Frequenzraum Orientierung v : Frequenz in y-Richtung u : Frequenz in x-Richtung (0,0) Intensität (Pixelwert) = Amplitude

22 Sylvain Bonnet, Lehrstuhl für mathematische Geologie 22 Amplitudenspektrum: Visualisierung im Frequenzraum der Amplituden (=Beiträge) der periodischen Funktionen verschiedener Frequenzen (u,v) F(u,v) = Pixelwert im Frequenzraum = Amplitude der periodischen Funktion, die die Frequenzen u (in x- Richtung) und v (in y-Richtung) besitzt

23 Sylvain Bonnet, Lehrstuhl für mathematische Geologie 23 Fourier-Transformation (FFT) von einfachen periodischen Bildsignalen

24 Sylvain Bonnet, Lehrstuhl für mathematische Geologie 24 v u x y FFT f(x,y) bzw. Ortsraum IF(u,v)I bzw. Amplitudenspektrum im Frequenzraum

25 Sylvain Bonnet, Lehrstuhl für mathematische Geologie 25 Ortsraum (x,y) bzw. Frequenzraum (u,v)

26 Sylvain Bonnet, Lehrstuhl für mathematische Geologie 26 Bilder und zugehörige Amplitudenspektrum

27 Sylvain Bonnet, Lehrstuhl für mathematische Geologie 27 Fourier-Filterung Durch eine Multiplikation jeder Frequenz- Komponenten F(u,v) eines Bildes anhand einer bestimmte Gewichtungsfunktion (Filter) kann man bestimmte Frequenz-Komponenten erniedrigen und Anderen erhöhen (Erhöhung der Amplitude) Die zugehörige Veränderungen sind im Ortsraum durch eine Rück-Transformation (FFT -1 ) sichtbar Diese selektive Beseitigung von Frequenz- Komponenten heißt Fourier-Filterung

28 Sylvain Bonnet, Lehrstuhl für mathematische Geologie 28 Originalbild f(x,y) Bildspektrum: F(u,v)= IF(u,v)I *exp( -i * (u,v)) Transfer-Funktion (Amplitude Filter): H(u,v) Gefiltertes Bildspektrum G(u,v): = IG(u,v)I * exp( -i * (u,v)) IG(u,v)I= IF(u,v)I * IH(u,v)I G (u,v) = F (u,v) + H (u,v) Gefiltertes Bild g(x.y) FT FT -1 ORTSRAUM (x,y) FREQUENZRAUM (u,v) ORTSRAUM (x,y) Z.B: Low Pass Filter: H(u,v)= IH(u,v)I mit IH(u,v)I =1 für uu c & v>v c wobei u c & v c : cutoff -Frequenzen

29 Sylvain Bonnet, Lehrstuhl für mathematische Geologie 29 Filter werden eingesetzt, um z.B. den Einfluss von Datenfehlern oder Störsignalen zu verringern, hochfrequente von niederfrequenten Komponenten des Signals zu trennen, oder um bestimmte Frequenzbereiche in Signalen hervorzuheben Filterungsart

30 Sylvain Bonnet, Lehrstuhl für mathematische Geologie 30 Filterung im Frequenzraum Transfer-Funktion H(u,v) Gefiltertes Bildspektrum IG(u,v)I= IF(u,v)I*IH(u,v)I

31 Sylvain Bonnet, Lehrstuhl für mathematische Geologie 31 Spektrum von H(u,v): IH(u,v)I =0=>Schwarz IH(u,v)I =1=>Weiß Bildspektrum IF(u,v)I (Amplitude im Frequenzraum) Gefiltertes Bildspektrum IG(u,v)I=IF(u,v)I*IH(u,v)I Gefiltertes Bild g(x,y) Helligkeitswerte im Ortsraum

32 Sylvain Bonnet, Lehrstuhl für mathematische Geologie 32 u (cycles/ pixels) v (cycles/ pixels) HOCHPASS- FILTER

33 Sylvain Bonnet, Lehrstuhl für mathematische Geologie 33 Butterworthfilter als Tiefpass-Filter (1D) u 1


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