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Filterung der räumlichen Frequenzen

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Präsentation zum Thema: "Filterung der räumlichen Frequenzen"—  Präsentation transkript:

1 Filterung der räumlichen Frequenzen
Sylvain Bonnet, Lehrstuhl für mathematische Geologie Sylvain Bonnet, Lehrstuhl für mathematische Geologie und Geoinformatik

2 Helligkeitsvariationen in einem Bild
Ein Bild kann als die Summe von Helligkeitsvariationen unterschiedlicher räumlichen Frequenz betrachtet werden Die räumliche Frequenz bezieht sich auf die Anzahl der (periodischen) Variationen der Helligkeitswerte pro Raumeinheit (in cycles/Pixel für ein Bild) y f(x,y): Helligkeitswert im Ort (x,y) Höhe räumliche Frequenz: abrupte Variation der Helligkeitswerte in eine Richtung (ZB: Grenze Schwarz/Weiß) Niedrige räumliche Frequenz : allmähliche Variation der Helligkeitswerte in eine Richtung (ZB: eintonige Fläche, Abstufung von Grauwerten) x Sylvain Bonnet, Lehrstuhl für mathematische Geologie Sylvain Bonnet, Lehrstuhl für mathematische Geologie und Geoinformatik

3 Räumliche Variation der Helligkeit im Bild
DN 255 Sylvain Bonnet, Lehrstuhl für mathematische Geologie Sylvain Bonnet, Lehrstuhl für mathematische Geologie und Geoinformatik

4 Sylvain Bonnet, Lehrstuhl für mathematische Geologie
x Eintonige Fläche: keine räumliche Variation der Helligkeitswerte in x- und y- Richtung => räumliche Frequenz =0 in beide Richtungen Eintonige Fläche in x-Richtung => räumliche Frequenz=0 in x-Richtung Abstufung von Helligkeitswerten in y-Richtung => niedrige räumliche Frequenz in y-Richtung Wiederholung von abrupten Variationen der Helligkeitswerte in x- und y-Richtungen => höhe räumliche Frequenz in beiden Richtungen Sylvain Bonnet, Lehrstuhl für mathematische Geologie Sylvain Bonnet, Lehrstuhl für mathematische Geologie und Geoinformatik

5 Sylvain Bonnet, Lehrstuhl für mathematische Geologie
Zerlegung des Signals in 2 Komponenten verschiedener Frequenz Originalbild Helligkeitswert (DN) = x Filterung der Signalkomponente niedriger räumlichen Frequenz HP-gefiltertes Bild + LP-gefiltertes Bild Filterung der Signalkomponente hoher räumlichen Frequenz Sylvain Bonnet, Lehrstuhl für mathematische Geologie Sylvain Bonnet, Lehrstuhl für mathematische Geologie und Geoinformatik

6 Sylvain Bonnet, Lehrstuhl für mathematische Geologie
Periodisches Signal (DN) Phase Amplitude Periode=1/Frequenz Sylvain Bonnet, Lehrstuhl für mathematische Geologie Entfernung (x) Sylvain Bonnet, Lehrstuhl für mathematische Geologie und Geoinformatik

7 Sinus- und kosinusförmige Periodische Signal
Parameter eines periodischen Signals: Amplitude Periode (Frequenz) Phase Sylvain Bonnet, Lehrstuhl für mathematische Geologie

8 Sylvain Bonnet, Lehrstuhl für mathematische Geologie
Zerlegung des Signals in Kosinus- und Sinusfunktionen Frequenz 1 Amplitude 1 Phase 1 + Amplitude= Gewicht des periodischen Signals Phase = Verschiebung zwischen den Signalen (=> konstruktive oder destruktive Summe) Frequenz 2 Amplitude 2 Phase 2 + Frequenz 3 Amplitude 3 Phase 3 Helligkeitswerte (DN) = Sylvain Bonnet, Lehrstuhl für mathematische Geologie X (Reihe von Pixel) Sylvain Bonnet, Lehrstuhl für mathematische Geologie und Geoinformatik

9 Sylvain Bonnet, Lehrstuhl für mathematische Geologie
Zerlegung des Signals in Kosinus- und Sinusfunktionen A1= Helligkeitswerte (DN) A2= A3= Sylvain Bonnet, Lehrstuhl für mathematische Geologie Sylvain Bonnet, Lehrstuhl für mathematische Geologie und Geoinformatik

10 Sylvain Bonnet, Lehrstuhl für mathematische Geologie
Zerlegung des Bildsignals in Kosinus- und Sinusfunktionen Sylvain Bonnet, Lehrstuhl für mathematische Geologie Sylvain Bonnet, Lehrstuhl für mathematische Geologie und Geoinformatik

11 Sylvain Bonnet, Lehrstuhl für mathematische Geologie
Zerlegung eines Bild in periodischen Helligkeitsvariationen unterschiedlicher räumlichen Frequenz Ein Bild kann als Summe von sinusförmigen Helligkeitsvariationen unterschiedlicher räumlicher Frequenz betrachtet werden f(i,j): Helligkeitswert des Pixels (i,j) im Bild f(i,j) = ∑ (periodische Helligkeitsvariationen unterschiedlicher räumlichen Frequenz) Fourier Transform (FT): mathematische Methode zum Zerlegen eines Bildes in sinusförmigen Komponenten unterschiedlischer räumlichen Frequenzen 1D Z.B für ein Signal von „Quadrat-Wellen“ in einer Reihe von Pixel: Beitrag jeder Sinusfunktion =Amplitude Sylvain Bonnet, Lehrstuhl für mathematische Geologie Sylvain Bonnet, Lehrstuhl für mathematische Geologie und Geoinformatik

12 2D-inverse diskrete Fourier Transform
Helligkeitswerte f(x,y) als Summe von Kosinus- und Sinus- Funktionen (Wellen) unterschiedlicher räumlichen Frequenzen (u,v): f(x,y): Helligkeitswert f im Pixel (x,y) Nx: Anzahl von Pixel in der x-Richtung Ny: Anzahl von Pixel in der y-Richtung F(u,v): Amplitude der Funktion von Frequenz u,v (x-und y-Richtung) Sylvain Bonnet, Lehrstuhl für mathematische Geologie

13 2D diskrete Fourier Transform
Die „Fourier Transform“ liefert die Koeffizienten (Amplitude bzw. Beiträge) F(u,v) der Sinus- und Kosinusförmigen Funktionen im Bild f(x,y): f(x,y): Helligkeitswert f im Pixel (x,y) Nx: Anzahl von Pixel in der x-Richtung Ny: Anzahl von Pixel in der y-Richtung F(u,v): Amplitude der Funktion von Frequenz u,v (x-und y-Richtung) Sylvain Bonnet, Lehrstuhl für mathematische Geologie

14 FT: Ortsraum => Frequenzraum
f(x,y) als Bildfunktion (Grauwert-Ort-funktion) F(u,v) als Ortsfrequenzfunktion Der Funktionswert F(u,v) gibt Phase und Betrag (Amplitude) der sinusförmigen Grauwertskomponenten in f(x,y) von Frequenz in X-Richtung und Frequenz in Y-Richtung an. Zwischen den stetigen Funktion f(x,y) und F(u,v) besteht eine eindeutige Beziehung, so dass eine Inverse-Transformation möglich ist Sylvain Bonnet, Lehrstuhl für mathematische Geologie Sylvain Bonnet, Lehrstuhl für mathematische Geologie und Geoinformatik

15 Die Parameter der Fourier Transform
Sylvain Bonnet, Lehrstuhl für mathematische Geologie

16 Sylvain Bonnet, Lehrstuhl für mathematische Geologie
Sylvain Bonnet, Lehrstuhl für mathematische Geologie und Geoinformatik

17 Sylvain Bonnet, Lehrstuhl für mathematische Geologie

18 Ortsraum Spektrum im Frequenzraum f(x) Amplitude (F(u)) x Frequenz (u)
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19 Sylvain Bonnet, Lehrstuhl für mathematische Geologie

20 Sylvain Bonnet, Lehrstuhl für mathematische Geologie

21 Amplitudespektrum im Frequenzraum
v : Frequenz in y-Richtung Intensität (Pixelwert) = Amplitude u : Frequenz in x-Richtung (0,0) Orientierung Steigende Frequenz Sylvain Bonnet, Lehrstuhl für mathematische Geologie Sylvain Bonnet, Lehrstuhl für mathematische Geologie und Geoinformatik

22 Sylvain Bonnet, Lehrstuhl für mathematische Geologie
Amplitudenspektrum: Visualisierung im Frequenzraum der Amplituden (=Beiträge) der periodischen Funktionen verschiedener Frequenzen (u,v) F(u,v) = Pixelwert im Frequenzraum = Amplitude der periodischen Funktion, die die Frequenzen u (in x-Richtung) und v (in y-Richtung) besitzt Sylvain Bonnet, Lehrstuhl für mathematische Geologie Sylvain Bonnet, Lehrstuhl für mathematische Geologie und Geoinformatik

23 Fourier-Transformation (FFT) von einfachen periodischen Bildsignalen
Sylvain Bonnet, Lehrstuhl für mathematische Geologie

24 Sylvain Bonnet, Lehrstuhl für mathematische Geologie
x FFT u y IF(u,v)I bzw. Amplitudenspektrum im Frequenzraum f(x,y) bzw. Ortsraum Sylvain Bonnet, Lehrstuhl für mathematische Geologie Sylvain Bonnet, Lehrstuhl für mathematische Geologie und Geoinformatik

25 Sylvain Bonnet, Lehrstuhl für mathematische Geologie
Ortsraum (x,y) bzw. Frequenzraum (u,v) Sylvain Bonnet, Lehrstuhl für mathematische Geologie Sylvain Bonnet, Lehrstuhl für mathematische Geologie und Geoinformatik

26 Bilder und zugehörige Amplitudenspektrum
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27 Sylvain Bonnet, Lehrstuhl für mathematische Geologie
Fourier-Filterung Durch eine Multiplikation jeder Frequenz-Komponenten F(u,v) eines Bildes anhand einer bestimmte Gewichtungsfunktion (Filter) kann man bestimmte Frequenz-Komponenten erniedrigen und Anderen erhöhen (Erhöhung der Amplitude) Die zugehörige Veränderungen sind im Ortsraum durch eine Rück-Transformation (FFT-1) sichtbar Diese selektive Beseitigung von Frequenz-Komponenten heißt Fourier-Filterung Sylvain Bonnet, Lehrstuhl für mathematische Geologie Sylvain Bonnet, Lehrstuhl für mathematische Geologie und Geoinformatik

28 Sylvain Bonnet, Lehrstuhl für mathematische Geologie
Originalbild f(x,y) Bildspektrum: F(u,v)= IF(u,v)I *exp( -i *(u,v)) FT Gefiltertes Bildspektrum G(u,v): = IG(u,v)I * exp( -i *(u,v)) IG(u,v)I= IF(u,v)I * IH(u,v)I G(u,v) = F(u,v) + H(u,v) Gefiltertes Bild g(x.y) FT-1 Transfer-Funktion („Amplitude Filter“): H(u,v) Z.B: Low Pass Filter: H(u,v)= IH(u,v)I mit IH(u,v)I =1 für u<uc & v<vc IH(u,v)I =0 für u>uc & v>vc wobei uc & vc : „cutoff“ -Frequenzen ORTSRAUM (x,y) Sylvain Bonnet, Lehrstuhl für mathematische Geologie FREQUENZRAUM (u,v) ORTSRAUM (x,y) Sylvain Bonnet, Lehrstuhl für mathematische Geologie und Geoinformatik

29 Sylvain Bonnet, Lehrstuhl für mathematische Geologie
Filterungsart Filter werden eingesetzt, um z.B. den Einfluss von Datenfehlern oder Störsignalen zu verringern, hochfrequente von niederfrequenten Komponenten des Signals zu trennen, oder um bestimmte Frequenzbereiche in Signalen hervorzuheben Sylvain Bonnet, Lehrstuhl für mathematische Geologie

30 Filterung im Frequenzraum
Gefiltertes Bildspektrum IG(u,v)I= IF(u,v)I*IH(u,v)I Transfer-Funktion H(u,v) Sylvain Bonnet, Lehrstuhl für mathematische Geologie

31 Sylvain Bonnet, Lehrstuhl für mathematische Geologie
Bildspektrum IF(u,v)I (Amplitude im Frequenzraum) Spektrum von H(u,v): IH(u,v)I =0=>Schwarz IH(u,v)I =1=>Weiß Gefiltertes Bildspektrum IG(u,v)I=IF(u,v)I*IH(u,v)I Gefiltertes Bild g(x,y) Helligkeitswerte im Ortsraum Sylvain Bonnet, Lehrstuhl für mathematische Geologie Sylvain Bonnet, Lehrstuhl für mathematische Geologie und Geoinformatik

32 Sylvain Bonnet, Lehrstuhl für mathematische Geologie
v (cycles/ pixels) u (cycles/ pixels) HOCHPASS-FILTER Sylvain Bonnet, Lehrstuhl für mathematische Geologie

33 Butterworthfilter als Tiefpass-Filter (1D)
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